1、2.3.1 數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法 歸納推理是合情推理歸納推理是合情推理，它可以幫助我們，它可以幫助我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律，但是不能用來證明數(shù)學(xué)結(jié)論，數(shù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，但是不能用來證明數(shù)學(xué)結(jié)論，數(shù)學(xué)歸納法是已知證明方法，專門用來證明與學(xué)歸納法是已知證明方法，專門用來證明與自然數(shù)相關(guān)的命題。自然數(shù)相關(guān)的命題。1數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法:對于某些與自然數(shù)對于某些與自然數(shù)n有關(guān)的有關(guān)的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性命題常常采用下面的方法來證明它的正確性:先證明當(dāng)先證明當(dāng)n取第一個值取第一個值n0時命題成立；然后時命題成立；然后假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=k (k N*，kn0)時命題成立，證明時命題成立，證明當(dāng)當(dāng)n=k+1時

2、命題也成立這種證明方法就叫做時命題也成立這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法2數(shù)學(xué)歸納法的基本思想：數(shù)學(xué)歸納法的基本思想： 即先驗證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)即先驗證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)n0，如果當(dāng)，如果當(dāng)n=n0時，命題成立，再假設(shè)當(dāng)時，命題成立，再假設(shè)當(dāng)n=k(kn0，kN*)時，命題成立時，命題成立(這時命題這時命題是否成立不是確定的是否成立不是確定的)。根據(jù)這個假設(shè)，。根據(jù)這個假設(shè)，如能推出當(dāng)如能推出當(dāng)n=k+1時，命題也成立，時，命題也成立， 那么就可以遞推出對所有不小于那么就可以遞推出對所有不小于n0的正整的正整數(shù)數(shù)n0+1，n0+2，命題都成立，命題都成立. 例如在本章例

3、如在本章2.1節(jié)的練習(xí)中，同學(xué)們用歸節(jié)的練習(xí)中，同學(xué)們用歸納推理猜想到納推理猜想到 223333(1)123(*)4n nn 這個猜想是一個與自然數(shù)相關(guān)的命題，這個猜想是一個與自然數(shù)相關(guān)的命題，其正確性有待證明。要證明公式（其正確性有待證明。要證明公式（*）成）成立，原則上要對每一個正整數(shù)立，原則上要對每一個正整數(shù)n實施證明。實施證明。但是這個證明步驟是無限的，無法實施，但是這個證明步驟是無限的，無法實施，需要另尋方法。數(shù)學(xué)歸納法可以用有限的需要另尋方法。數(shù)學(xué)歸納法可以用有限的步驟，完成這個命題的證明。其步驟如下：步驟，完成這個命題的證明。其步驟如下：（1）當(dāng)）當(dāng)n=1時，（時，（*）式左端等

4、于）式左端等于1，右端，右端也等于也等于1，因此（，因此（*）式對）式對n=1成立；成立；（2）假設(shè)當(dāng)）假設(shè)當(dāng)n=k時，（時，（*）式成立，即假設(shè)）式成立，即假設(shè)223333(1)1234kkk在此前提下，可推出在此前提下，可推出22333333(1)123(1)(1)4kkkkk而而22232(1)(1)(1) (1)44kkkkkk22(1) (2)4kk 由此可見在假設(shè)（由此可見在假設(shè)（*）式對）式對n=k成立的前成立的前提下，推出（提下，推出（*）式對）式對n=k+1成立。成立。于是可以斷定（于是可以斷定（*）式對一切正整數(shù)）式對一切正整數(shù)n成立成立. 由步驟（由步驟（1），可知（），

5、可知（*）式對）式對n=1成立；成立；由（由（*）式對）式對n=1成立及步驟（成立及步驟（2），可知對），可知對n=1+1=2，（，（*）式成立；再由（）式成立；再由（*）式對）式對n=2成立及步驟（成立及步驟（2），可知對），可知對n=2+1=3，（*）式成立；繼續(xù)上述步驟，可知（）式成立；繼續(xù)上述步驟，可知（*）式對式對n=3+1=4，n=4+1=5，n=5+1=6，n=(k1)+1=k，都成立。都成立。 于是（于是（*）式對一切正整數(shù)）式對一切正整數(shù)n成立。成立。數(shù)學(xué)歸納法：數(shù)學(xué)歸納法： 一個與自然數(shù)相關(guān)的命題，如果一個與自然數(shù)相關(guān)的命題，如果 那么可以斷定，這個命題對那么可以斷定，這個

6、命題對n取第一個取第一個值后面的所有正整數(shù)成立。值后面的所有正整數(shù)成立。（1）當(dāng)）當(dāng)n取第一個值取第一個值n0時命題成立；時命題成立； （2）在假設(shè)當(dāng)）在假設(shè)當(dāng)n=k(kN+，且，且kn0)時命時命題成立的前提下，推出當(dāng)題成立的前提下，推出當(dāng)n=k+1時命題也時命題也成立，成立，例例1用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果an是一是一個等差數(shù)列，公差是個等差數(shù)列，公差是d，那么，那么an=a1+(n1)d對一切對一切nN+都成立。都成立。證明：（證明：（1）當(dāng)）當(dāng)n=1時，左邊時，左邊=a1，右邊，右邊=a1,等式是成立的；等式是成立的；（2）假設(shè)當(dāng)）假設(shè)當(dāng)n=k時，等式成立，即時，等式

7、成立，即ak=a1+(k1)d， 那么那么ak+1=ak+d=a1+(k1)d+d=a1+kd， 這就是說，當(dāng)這就是說，當(dāng)n=k+1時，等式也成立，時，等式也成立， 由（由（1）和（）和（2）可以斷定，等式對任何）可以斷定，等式對任何nN+都成立。都成立。例例2用數(shù)學(xué)歸納法證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+3+5+(2n1)=n2.證明：（證明：（1）當(dāng)）當(dāng)n=1時，左邊時，左邊=1，右邊，右邊=1，等式成立；等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)）假設(shè)當(dāng)n=k時，等式成立，即時，等式成立，即1+3+5+(2k1)=k2. 那么那么1+3+5+(2k1)+2(k+1)1 =k2+2(k+1)1=k2+2k+1=(k+1)2. 這就是說，當(dāng)這就是說，當(dāng)n=k+1時，等式也成立，時，等式也成立， 由（由（1）和（）和（2）可以斷定，等式對任何）可以斷定，等式對任何nN+都成立。都成立。例例3用數(shù)學(xué)歸納法證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明： 21 42 73 10(31)(1)nnn n 證明：（證明：（1）當(dāng)）當(dāng)n=1時，左邊時，左邊=4，右邊，右邊=4，因為左邊因為左邊=右邊，所以等式是成立的；右邊，所以等式是成立的；（2）假設(shè)當(dāng)）假設(shè)當(dāng)n=k時，等式成立，即時，等式成立，即 21 42 73 10(31)(1)kkk k 21 4 2 7 3 10(31) (1)3(