1、2.2.1 綜合法與分析法綜合法與分析法1綜合法綜合法 綜合法是綜合法是從原因推導到結果從原因推導到結果的思維方法，的思維方法，而分析法是一種而分析法是一種從結果追溯到產生這一結從結果追溯到產生這一結果的原因果的原因的思維方法。具體地說，綜合法的思維方法。具體地說，綜合法是從已知條件出法，經過逐步的推理，最是從已知條件出法，經過逐步的推理，最后達到待證結論。分析法則是從待證結論后達到待證結論。分析法則是從待證結論出法，一步一步尋求結論成立的充分條件，出法，一步一步尋求結論成立的充分條件，最后達到題設的已知條件或已被證明的事最后達到題設的已知條件或已被證明的事實。實。例例1求證：求證： 5321

2、232log 19log 19log 19證明：因為證明：因為 1loglogabba所以所以 左式左式=log195+2log193+3log192 =log19(53223)=log19360.因為因為log19360log19361=2，所以所以 5321232log 19log 19log 19例例2如圖，設四面體如圖，設四面體PABC中中, ABC=90，PA=PB=PC，D是是AC的中點，求證：的中點，求證：PD垂直于垂直于ABC所在的平面。所在的平面。 P A D C B證明：連接證明：連接PD，BD，因為，因為BD是是RtABC斜邊上的中線，斜邊上的中線，所以所以 DA=DB=

3、DC，又因為，又因為 PA=PB=PC， 而而PD是是PDA、PBD、PCD的公共邊的公共邊,所以所以PDA PBD PCD，于是于是PDA=PDB=PDC，而而PDA=PDC=90，可見可見PDAC，PDBD，由此可知，由此可知，PD垂直于垂直于ABC所在的平面所在的平面.這個證明的步驟是：這個證明的步驟是：（1）由已知）由已知BD是是RtABC斜邊上的中線斜邊上的中線,推出推出DA=DB=DC，記為，記為P0(已知已知)P1;（2）由）由DA=DB=DC，和已知條件，推出，和已知條件，推出三個三角形全等，記為三個三角形全等，記為P1P2；（3）由三個三角形全等，推出）由三個三角形全等，推出

4、PDA=PDB=PDC=90,記為記為P2P3;（4）由）由PDA=PDB=PDC=90,推出推出PD垂直于垂直于ABC所在的平面，記為所在的平面，記為P3 P4(結論結論)； 這個證明步驟用符號表示就是這個證明步驟用符號表示就是P0(已知已知)P1P2P3P4(結論結論). 2分析法分析法例例3求證：求證：372 5證明：因為證明：因為 都是正數，都是正數， 372 5和所以為了證明所以為了證明 372 5只需證明只需證明 22( 37)(2 5)展開得展開得102 2120即即215只需證明只需證明2125，因為，因為2125成立，成立，所以不等式所以不等式 成立。成立。372 5分析法證

5、明的邏輯關系是：分析法證明的邏輯關系是：B(結論結論) B1 B2 Bn A(已知已知). 在分析法證明中，從結論出發的每一個在分析法證明中，從結論出發的每一個步驟所得到的判斷都是結論成立的充分條步驟所得到的判斷都是結論成立的充分條件，最后一步歸結到已被證明的事實。因件，最后一步歸結到已被證明的事實。因此從最后一步可以倒推回去，直到結論，此從最后一步可以倒推回去，直到結論，但這個倒推過程可以省略。但這個倒推過程可以省略。例例4求證：當一個圓與一個正方形的周求證：當一個圓與一個正方形的周長相等時，這個圓的面積比正方形的面積長相等時，這個圓的面積比正方形的面積大大 證明：設圓和正方形的周長為證明：

6、設圓和正方形的周長為L，依題意，圓的面積為依題意，圓的面積為 2()2L正方形的面積為正方形的面積為2( )4L因此本題只需證明因此本題只需證明 22()( )24LL為了證明上式成立，只需證明為了證明上式成立，只需證明 222416LL兩邊同乘以正數兩邊同乘以正數 24L得得 114因為上式是成立的，所以因為上式是成立的，所以 22()( )24LL 這就證明了如果一個圓與一個正方形的這就證明了如果一個圓與一個正方形的周長相等，那么這個圓的面積比這個正方周長相等，那么這個圓的面積比這個正方形的面積大。形的面積大。222416LL3小結：小結： 分析法和綜合法是分析法和綜合法是思維方向相反思維方向相反的兩種的兩種思考方法。在數學解題中，思考方法。在數學解題中，分析法分析法是從數是從數學題的待證結論或需求問題出發，一步一學題的待證結論或需求問題出發，一步一步地探索下去，最后達到題設的已知條件。步地探索下去，最后達到題設的已知條件。綜合法綜合法則是從數學題的已知條件出發，經則是從數學題的已知條件出發，經過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求問題。對于解答證明來說，分析法表