1、第 18 頁 共 7 頁教學(xué)目的:會(huì)運(yùn)用受力分析及向心力公式解決圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題教學(xué)重點(diǎn):掌握解決圓周運(yùn)動(dòng)的兩種典型的臨界問題教學(xué)難點(diǎn):會(huì)分析判斷臨界時(shí)的速度或受力特征教學(xué)內(nèi)容一、有關(guān)概念1、向心加速度的概念2、向心力的意義（由一個(gè)力或幾個(gè)力提供的效果力）二、內(nèi)容1、在豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題（ 1）如圖4 2 2 和圖 4 2 3 所示，沒有物體支撐的小球，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)過最高點(diǎn)的情況：v0圖 4 2 2圖 4 2 3臨界條件：繩子或軌道對(duì)小球沒有力的作用：mg=m v v臨界 = Rg ；R能過最高點(diǎn)的條件：vRg ，當(dāng)v>Rg 時(shí)，繩對(duì)球產(chǎn)生拉力，軌道對(duì)球產(chǎn)生壓力；

2、不能過最高點(diǎn)的條件：v< v 臨界 （實(shí)際上球還沒到最高點(diǎn)時(shí)就脫離了軌道）.（ 2）如圖4 2 4 的球過最高點(diǎn)時(shí)，輕質(zhì)桿對(duì)球產(chǎn)生的彈力情況：當(dāng)v=0 時(shí)，F(xiàn)N =mg（ FN 為支持力）；當(dāng)0< v<Rg時(shí)， FN隨v增大而減小，且mg> FN>0，F(xiàn)N 為支持力；當(dāng) v= Rg 時(shí)， FN=0； 當(dāng)v>Rg 時(shí)， FN為拉力，F(xiàn)N隨 v的增大而增大端連接著一個(gè)質(zhì)量m試討論在下列兩種情況若是圖4 2 5 的小球在軌道的最高點(diǎn)時(shí)，如果vRg ，此時(shí)將脫離軌道做平拋運(yùn)動(dòng)，因?yàn)檐壍缹?duì)小球不能產(chǎn)生拉力.例 1 長 L 0.5m，質(zhì)量可以忽略的的桿，其下端固定于O

3、點(diǎn)，上2kg 的小球A， A 繞 O 點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)（同圖5），在A 通過最高點(diǎn)，下桿的受力：當(dāng) A 的速率v1 1m s時(shí)當(dāng) A 的速率v2 4m s時(shí)解析：V0= gL 10× 0.5 m s5 m s小球的速度大于5 m s時(shí)受拉力，小于 5 m s時(shí)受壓力。4解法一：當(dāng)v1 1m s<5 m s 時(shí)，小球受向下的重力mg 和mg N mN mg m2vL2vL 16Nmg即桿受小球的壓力16N 。當(dāng)v2 4m s>5 m s時(shí)，小球受向下的mg重力 mg 和向下的拉力F，由牛頓第二定律mg F2vF m L mg 44N即桿受小球的拉力44N 。解法二：小球在最高點(diǎn)

4、時(shí)既可以受拉力也可以受支持力，因此桿受小球的作用力也可以是拉力或者是壓力。我們可不去做具體的判斷而假設(shè)一個(gè)方向。如設(shè)桿豎直向下拉小球的情形。A ，則小球的受力就是上面解法中的22mg F m L 得F m（ L g）v1 1m s時(shí)，F(xiàn)1 16Nv2 4m s時(shí)，F(xiàn)2 44N 。F1 為負(fù)值，說明它的實(shí)際方向與所設(shè)的方向相反，即小球受力應(yīng)向上，為支持力。則桿應(yīng)受壓力。F2為正值，說明它的實(shí)際方向與所設(shè)的方向相同，即小球受力就是向下的，是拉力。則桿也應(yīng)受拉力。例 2 如圖 4 所示，在傾角30°的光滑斜面上，有一長m 0.2 kg 的小球，使之在斜面上作圓周運(yùn)動(dòng)，求：（1） 小球（2）

5、 如細(xì)繩受到9.8N 的拉力就會(huì)斷裂，求小球通過最低點(diǎn)l 0.4m 的細(xì)繩，一端固定在O點(diǎn)，另一端拴一質(zhì)量為通過最高點(diǎn)A時(shí)最小速度；時(shí)的最大速度.2、在水平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題在水平面上做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)角速度 變化時(shí)，B物體有遠(yuǎn)離或向著圓心運(yùn)動(dòng)的要根據(jù)物體的受力情況，判斷物體受某個(gè)力是否存在以及這個(gè)力存在時(shí)方向朝哪繩的拉力等）。趨勢(shì)。 這時(shí)，如靜摩擦力、例 3 如圖 9 所示， 一個(gè)光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角為 30°，一條長度為L體可看質(zhì)點(diǎn)），物體以速率v 繞圓錐體的軸線做水平勻速圓周運(yùn)動(dòng)。解析：設(shè)小球剛好對(duì)錐面沒有壓力時(shí)的速率為O

6、 處，另一端拴著一個(gè)質(zhì)量為m 的小物體（物時(shí)，求繩對(duì)物體的拉力；當(dāng) v當(dāng) v32gL 時(shí)，求繩對(duì)物體的拉力。0 ，則有圖9解得 062 3gl1）當(dāng)gl 0時(shí) , 有 T sin 30 N cos30ml sin 30（2分 ）T cos30 N sin 302）當(dāng)l 0 時(shí)，小1 33mg （2分 ）解得Tmg 1 .03mg（2分 ）6球離開錐面，設(shè)繩與軸線夾角為，則Tcos mg（2分 ） Tsin m（2分 ） 解得 T 2mg（2分 ）l sin 30例 4 如圖 6 所示，兩繩系一質(zhì)量為m 0.1kg 的小球，上面繩長L 2m，兩端都拉直時(shí)與軸的夾角分別為30°與45&#

7、176;，問球的角速度在什么范圍內(nèi)，兩繩始終張緊，當(dāng)角速度為3 rad s時(shí)，上、下兩繩拉力分別為多大？解析：當(dāng)角速度 很小時(shí)，AC 和 BC 與軸的夾角都很小，BC并不張緊。當(dāng) 逐漸增大到30°時(shí)，BC 才被拉直（這是一個(gè)臨界狀態(tài)），但 BC 繩中的張力仍然為零。設(shè)這時(shí)的角速度為 1，則有：TACcos30°mgTACsin30°m 12Lsin30 °將已知條件代入上式解得 1 2.4 rad s當(dāng)角速度 繼續(xù)增大時(shí)TAC 減小，TBC增大。設(shè)角速度達(dá)到 2時(shí)，TAC 0（這又是一個(gè)臨界狀態(tài)），則有：T BCcos45°mgTBCsin45

8、°m 22Lsin30 °將已知條件代入上式解得 2 3.16 rad s所以 當(dāng) 滿足 2.4 rad s 3.16 rad s， AC、 BC 兩繩始終張緊。本題所給條件 3 rad s，此時(shí)兩繩拉力TAC 、 TBC都存在。TACsin30°TBCsin45°m 2Lsin30 °TACcos30°T BCcos45°mg將數(shù)據(jù)代入上面兩式解得TAC 0.27N，TBC 1.09N注意： 解題時(shí)注意圓心的位置（半徑的大?。?。如果 < 2.4 rad s時(shí)，TBC 0， AC 與軸的夾角小于30°。如果

9、> 3.16rad s時(shí)，TAC 0， BC 與軸的夾角大于45°。例 5 如圖 7 所示，細(xì)繩一端系著質(zhì)量M 0.6kg 的物體，靜止在水平面上，另一端通過光滑的小孔吊著質(zhì)量m0.3kg 的物體，M 的中與圓孔距離為0.2m，并知M 和水平面的最大靜摩擦力為2N。現(xiàn)使此平面繞中心軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，問角速度 在什么范圍m 會(huì)處于靜止?fàn)顟B(tài)？（g 10m s2） 先以m 0 為題引入，由淺入深解析：要使m 靜止， M 也應(yīng)與平面相對(duì)靜止。而Mm圖7與平面靜止時(shí)有兩個(gè)臨界狀態(tài)：當(dāng) 為所求范圍最小值時(shí)，M 有向著圓心運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，水平面對(duì)M 的靜摩擦力的方向背離圓心，大小等于最大靜摩擦力2N。此

10、時(shí)，對(duì)M 運(yùn)用牛頓第二定律。有T fm M 12r且T mg解得 1 2.9 rad s當(dāng) 為所求范圍最大值時(shí)，最大靜摩擦力2N。再對(duì) M 運(yùn)用牛頓第二定律M 有背離圓心運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，水平面對(duì)M 的靜摩擦力的方向向著圓心，大小還等于解得 2 6.5 rad sT fm M 22r所以，題中所求 的范圍是：2.9 rad s< < 6.5 rad s例 6 如圖 8 所示，水平轉(zhuǎn)盤上放有質(zhì)量為m 的物塊，當(dāng)物塊到物塊和轉(zhuǎn)軸的繩剛好被拉直（繩上張力為零）。 物體和轉(zhuǎn)盤間最大 倍。求：當(dāng)轉(zhuǎn)盤角速度 1 2r 時(shí)，細(xì)繩的拉力T1。轉(zhuǎn)軸的距離為r 時(shí)， 連接靜摩擦力是其下壓力的當(dāng)轉(zhuǎn)盤角速度 2

11、2r 時(shí)，細(xì)繩的拉力T2。解析： 設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)過程中物體與盤間恰好達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為1 )因?yàn)椴亮Γ?xì)繩的拉力仍為0，即2)因?yàn)?，則FT則，對(duì)A： FfAm-F T=mrA 22、圓周運(yùn)動(dòng)3、連接體的臨界問題例 1、如圖所示，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的水平圓盤上，放有質(zhì)量均為m 的小物體A、 B，A、 B 間用細(xì)線沿半徑方向相連，它們到轉(zhuǎn)軸距離分別為RA=20cm， RB=30cm。 A、 B 與盤面間的最大靜摩擦力均為重力的0.4倍，試求：(1)當(dāng)細(xì)線上開始出現(xiàn)張力時(shí)，圓盤的角速度 0；(2)當(dāng) A 開始滑動(dòng)時(shí)，圓盤的角速度 ；(3)當(dāng)即將滑動(dòng)時(shí)，燒斷細(xì)線，A、 B 狀態(tài)如何?答案： (1) 當(dāng)細(xì)

12、線上開始出現(xiàn)張力時(shí)，表明B 與盤間的靜摩擦力已達(dá)到最大，設(shè)此時(shí)圓盤角速度為是 kmg=mrB 02解得：0 kg / rB =3.7rad/s(2) 當(dāng) A開始滑動(dòng)時(shí)，表明A與盤的靜摩擦力也已達(dá)到最大，設(shè)此時(shí)盤轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為，線上拉力為對(duì)B： FfBm+FT=mrB 2又： FfAm=FfBm=kmg解得 =4rad/s 。(3) 燒斷細(xì)線，A與盤間的靜摩擦力減小，繼續(xù)隨盤做半徑為rA=20cm的圓周運(yùn)動(dòng)，而 B由于FfBm不足以提供必要的向心力而做離心運(yùn)動(dòng)。答案： (1) 3.7rad/s (2) 4rad/s (3)A做圓周運(yùn)動(dòng)，B做離心運(yùn)動(dòng)分析： 1 、利用極限分析法的“放大”思想分析臨界

13、狀態(tài)。認(rèn)清臨界情景和條件，建立臨界關(guān)系是解決此類問題的關(guān)鍵。中的連接體加速度一般不同，所以，解決這類連接體的動(dòng)力學(xué)問題時(shí)一般用隔離法。但也可用整體法來求解。 1、汽車通過拱橋顆頂點(diǎn)的速度為10 m s 時(shí)，車對(duì)橋的壓力為車重的4 。如果使汽車駛至橋頂時(shí)對(duì)橋恰無壓力，則汽車的速度為A、 15 m s()B、 20 m sC、 25 m sD、2、如圖所示，在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤上，沿直徑方向上放置以細(xì)線相連的30m sA、 B 兩個(gè)小物塊。 A 的質(zhì)量為B 的質(zhì)量為A、 B 與盤面間相互作用的摩擦力最大值為其重力的0.5 倍，試求（ 1 ）當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為多少時(shí)，細(xì)線上開始出現(xiàn)張力？（ 2）欲使A

14、、 B 與盤面間不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，則圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角速度為多大？（）解析： （ 1） 較小時(shí)，A、 B 均由靜摩擦力充當(dāng)向心力，增大，可知，它們受到的靜摩擦力也增大，而，所以 A 受到的靜摩擦力先達(dá)到最大值。再增大，AB 間繩子開始受到拉力。由，得：（ 2）達(dá)到 后， 再增加，B 增大的向心力靠增加拉力及摩擦力共同來提供，A 增大的向心力靠增加拉力來提供，由于A 增大的向心力超過B 增加的向心力，再增加，B 所受摩擦力逐漸減小，直到為零，如再增加，B 所受的摩擦力就反向，直到達(dá)最大靜摩擦力。如再增加，就不能維持勻速圓周運(yùn)動(dòng)了，A 、 B 就在圓盤上滑動(dòng)起來。設(shè)此時(shí)角速度為，繩中張力為，對(duì)A、 B

15、 受力分析：對(duì) A有對(duì) B有聯(lián)立解得：3、一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細(xì)圓管，位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑為R（比細(xì)管半徑大得多）。在圓管中有兩個(gè)直徑與細(xì)管內(nèi)徑相同的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）。A 球的質(zhì)量m1， B 球的質(zhì)量為m2，它們沿環(huán)形管順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的速度都為v0，設(shè)A 球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)，B 球恰好運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)。若要此時(shí)兩球作用于圓管的合力為零，那么（ 97 年高考題）m1、 m2、 R 與 v0 應(yīng)滿足的關(guān)系式是。4、如圖39 3 所示，物體P 用兩根長度相等、不可伸長的細(xì)線系于豎直桿上，它們隨桿轉(zhuǎn)動(dòng)，若轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為 ，則 ABC A 只有超過某一值時(shí)，繩子AP 才有拉力B 繩子 BP 的拉力隨

16、的增大而增大C繩子BP 的張力一定大于繩子AP 的張力D 當(dāng) 增大到一定程度時(shí)，繩AP 的張力大于BP 的張力5、 如圖 2 所示， 在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的水平圓盤上，沿半徑方向放著用細(xì)線連接的質(zhì)量相等的兩物體 A 和B，它們與盤間的摩擦因數(shù)相同當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速加快到兩物體剛好還未發(fā)生滑動(dòng)時(shí)，燒斷細(xì)線，則兩物體的運(yùn)動(dòng)情況將是【】A兩物體均沿切線方向滑動(dòng)B兩物體均沿半徑方向滑動(dòng)，離圓盤圓心越來越遠(yuǎn)C兩物體仍隨圓盤一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，不會(huì)發(fā)生滑動(dòng)D物體A仍隨圓盤一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，不會(huì)發(fā)生滑動(dòng)；物體 B 發(fā)生滑動(dòng)，沿一條曲線向外運(yùn)動(dòng)，離圓盤圓心越來越遠(yuǎn)6、 半徑為 R的光滑半圓球固定在水平面上，如圖所示頂部有一小

17、物體v0= gR ，物體甲將A 沿球面下滑至M 點(diǎn)B 先沿球面下滑至某點(diǎn)N ，然后便離開球面做斜下拋運(yùn)動(dòng)C按半徑大于R 的新的圓弧軌道做圓周運(yùn)動(dòng)D 立即離開半圓球做平拋運(yùn)動(dòng)7、長度為0 5m 的輕質(zhì)細(xì)桿OA， A 端有一質(zhì)量為3kg 的木球，以O(shè) 點(diǎn)為圓心，在豎直面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，小球通過最高點(diǎn)的速度為2m/s，取g = 10 m/s2，則此時(shí)球?qū)p桿的力大小是，方向向。8、 如圖所示，在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的水平盤上，沿半徑方向放著用細(xì)線相連的質(zhì)量相等的兩物體和B，它們與盤間的摩擦因數(shù)相同，當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速加快到兩物體剛好沒有發(fā)生滑動(dòng)時(shí)，燒斷細(xì)線，則兩物體的運(yùn)動(dòng)情況將是A兩物體均沿切線方向滑動(dòng)B 兩物

18、體均沿半徑方向滑動(dòng)，遠(yuǎn)離圓心C兩物體仍隨圓盤一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，不會(huì)滑動(dòng)D 物體 A 仍隨圓盤做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，物體B 沿曲線運(yùn)動(dòng)，遠(yuǎn)離圓心9、如圖所示，木板B 托著木塊A 在豎直平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從與圓心相平的位置動(dòng)到最高點(diǎn)b 的過程中()A、 B 對(duì) A 的支持力越來越大B 、 B 對(duì) A 的支持力越來越小C、 B 對(duì) A 的摩擦力越來越大D 、 B 對(duì) A 的摩擦力越來越小10、如圖所示，兩根長度相同的細(xì)繩，連接著相同的兩個(gè)小球讓它們?cè)诠饣乃矫鎯?nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其中T1 T2 為 (O 為圓心，兩段繩子在同一直線上，此時(shí)，兩段繩子受到的拉力之比A、 1 1B、 2 1C、 3 2D

19、、 3 111、如圖所示,小球 M 與穿過光滑水平板中央的小孔O 的輕繩相連，用手拉著繩的另一端使M 在水平板上作半徑為a ， 角速度為 的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求： (1) 此時(shí) M 的速率 .(2)若將繩子突然放松一段，O 作半徑為b 的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求繩由放松到拉直的時(shí)間t .小球運(yùn)動(dòng)t 時(shí)R(比細(xì)管的半徑大得多)，在圓管中有兩個(gè)直徑m1， B 球的質(zhì)量為m2，它們沿環(huán)形圓管順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，B 球恰好運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，若要此時(shí)兩球作用于圓管的12、一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細(xì)圓管，位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑為與細(xì)管內(nèi)徑相同的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))，A 球的質(zhì)量為經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的速度都是v0，設(shè)A 球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，合力為零，那么m1， m2， R 與 v0應(yīng)滿足的關(guān)系。1一探照燈照射在云層底面上，云層底面是與地面平行的平面，如圖所示，云層底面距地面高h(yuǎn)，探照燈以角速度 在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)光束轉(zhuǎn)到與豎直方向夾角為 時(shí)，云