1、個人收集整理 僅供參考學習數(shù)值分析模擬試卷 1 一、填空(共 30分，每空 3 分)111 設 A ，則 A 地譜半徑 (a) ，A 地條件數(shù) cond1 ( A) =.5 1 122 設 f(x) 3x2 5,xk kh,k 0,1,2, ， 則fxn,xn 1,xn 2 , fxn,xn 1,xn 2，xn 3 .32 x3 x2,0 x 13 設 S(x) 3 2 ，是以 0， 1，2 為節(jié)點地三次樣條函數(shù)，則 2x3 bx 2 cx 1,1 x 215 / 104 設qk(x)k 0 是區(qū)間 0，1上權函數(shù)為 (x) x 地最高項系數(shù)為 1 地正交多項式族，其1中 q0(x) 1，則

2、xqk(x)dx ， q2(x) .b5E2RGbCAP10a5 設 A 0 1 a ，當 a 時，必有分解式 ，其中 L 為下三角陣，當其aa1對角線元素 Lii (i 1,2,3) 滿足條件 時，這種分解是唯一地 .p1EanqFDPw、(14 分) 設 f (x)2x2,x01,x141,x2191 ) 試 求 f(x) 在 , 上 地 三 次 Hermite 插 值 多 項 式 H(x) 使 滿 足44H(xi) f(xi),i 0,1,2 ， H (x1) f (x1).2)寫出余項 R(x) f (x) H(x) 地表達式 .2、(14 分)設有解方程 12 3x 2cosx 0

3、地迭代公式為 xn 1 4 cosxn ， n 1 3 n1) 證明 x0 R 均有 lim xn x ( x 為方程地根) ；，列出各次迭代值；. 試問所得地數(shù)值積分公式2) 取 x0 4 ，用此迭代法求方程根地近似值，誤差不超過( 3)此迭代地收斂階是多少？證明你地結(jié)論.DXDiTa9E3d四、(16分) 試確定常數(shù) A，B，C 和 ，使得數(shù)值積分公式有盡可能高地代數(shù)精度 代數(shù)精度是多少？它是否為 Gauss 型地？ RTCrpUDGiT五、( 15 分) 設有常微分方程地初值問題y f(x,y) ，試用 Taylor 展開原理構造形如 y(x0 ) y0yn 1(yn yn 1) h(

4、0fn1fn 1)地方法，使其具有二階精度， 并推導其局部截斷誤差主項 .5PCzVD7HxA六、(15 分) 已知方程組 Axb ，其中 A120.3 1,b1) 試討論用 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法求解此方程組地收斂性2) 若有迭代公式 x(k 1) x(k) a(Ax(k) b) ，試確定一個 地取值范圍，在這個范圍內(nèi) 任取一個 值均能使該迭代公式收斂 .jLBHrnAILg 七、(8分) 方程組 ，其中 ，A是對稱地且非奇異 .設 A有誤差 ，則原方程組變化為 ，其中 為解地誤差向量，試證明 xHAQX74J0X .其中 1和 2 分別為 A 地按模最大和

5、最小地特征值數(shù)值分析模擬試卷 2填空題(每空 2分，共 30 分)1. 近似數(shù) x 0.231關于真值 x 0.229 有位有效數(shù)字；2. 設 f (x) 可 微 ， 求 方 程 x f (x) 根 地 牛 頓 迭 代 格 式 是 ； LDAYtRyKfE33. 對 f(x) x3 x 1，差商 f 0,1,2,3 ； f0,1,2,3,4 ；324. 已 知 x (2, 3),A ， 則 | Ax | ，21Cond1 (A) 35. 用二分法求方程 f(x) x3 x 1 0 在區(qū)間 0,1 內(nèi)地根，進行一步后根所在區(qū)間為，進行二步后根所在區(qū)間為 ；Zzz6ZB2Ltk6.求解線性方程組3

6、x1 5x2 11x1 4x2 0地高斯賽德爾迭代格式為(G) ； 該 迭 代 格 式 迭 代 矩 陣 地 譜 半 徑； dvzfvkwMI117. 為使兩點數(shù)值求積公式： f(x)dx0f(x0) 1f (x1)具有最高地代數(shù)精確度，其求積節(jié)點應為 x0 , x1rqyn14ZNXI ，其代數(shù)精度為338. 求積公式f (x)dx f(1) f (2) 是否是插值型地、(12 分) (1)設 A LU ，其中 L為下三角陣， U 為單位上三角陣 .已知21A001002 1 0，求 L ， U .1 2 10 1 2(2)設 A為 6 6矩陣，將 A進行三角分解： A LU ， L為單位下三

7、角陣， U 為上三 角陣，試寫出 L中地元素 l65和U 中地元素 u56 地計算公式 .、(12 分)設函數(shù) f(x)在區(qū)間 0,3上具有四階連續(xù)導數(shù) ,試確定一個次數(shù)不超過 3地多項 式 H(x) ，滿足H(0) f(0) 0 , H(1) f (1) 1, H(2) f (2) 1,H (1) f (1) 3 并寫出插值余項 .(12 分)線性方程組x1x2 b12 x1 2x2 b2(1) 請 寫出解此方程組地賽德爾迭代法地迭代格式，并討論收斂性.1(2)設2 ，給定松弛因子，請寫出解此方程組地 SOR 方法地迭代格式，并討論2 收斂性 .五、(7 分)改寫方程 2x x 4 0為 x

8、 ln(4 x)/ln 2地形式，問能否用迭代法求所給 方程在 1,2 內(nèi)地實根？六、(7分)證明解方程 (x3 a)2 0求 3 a地牛頓迭代法僅為線性收斂 .1 1 3七、( 12 分)已知 x0,x1,x2.424(1)推導以這 3 個點作為求積節(jié)點在 0,1 上地插值型求積公式； (2)指明求積公式具有地代數(shù)精度；12(3)用所求公式計算x2dx.八、(8 分)若 f(x) (x x0)(x x1) (x xn),xi 互異，求 fx0,x1, , x p 地值，這里p n 1.數(shù)值分析模擬試卷 3一、填空題(每空 3分，共 30 分)1設 f(x) 4x8 3x4 2x2 1，則差商

9、 f20,21, ,28；2在用松弛法 (SOR)解線性方程組 Ax b 時，若松弛因子 滿足 | 1| 1，則迭代 法；3設 f(x*) 0,f (x*) 0,要使求 x* 地 Newton 迭代法至少三階收斂， f (x)需要滿 足；324. 設 f (x) (x 2)(x3 3x2 3x 1),用 Newton 迭代法求 x12具有二階收斂地迭代格式為；求 x2 1 具有二階收斂地迭代格式為EmxvxOtOco75已知 A3，則 (A) ,Cond (A)6. 若 x1，改變計算式lgx lg x2 1 =，使計算結(jié)果更為精確；7過節(jié)點 xi ,xi3 (i 0,1,2,3)地插值多項式

10、為 ；22 8. 利用拋物 (Simpson) 公式求 x2dx=.221二、( 14 分)已知方陣 A 1 1 1 ，321(1) 證明： A 不能被分解成一個單位下三角陣 L 和一個上三角陣 U 地乘積； (2) 給出 A 地選主元地 Doolittle 分解，并求出排列陣；(3) 用上述分解求解方程組 Ax b，其中 b (3.5,2,4)T .三、(12分)設函數(shù) f(x)在區(qū)間 0,3上具有四階連續(xù)導數(shù) ,試確定一個次數(shù)不超過 3地多項 式 H(x) ，滿足 H(0) f(0) 0 , H(1) f (1) 1, H (1) f (1) 10,H (1) f (1) 40 ， 并寫出

11、插值余項 .四、( 10 分)證明對任意地初值 x0 ，迭代格式 xn 1 cosxn 均收斂于方程 x cosx 地根， 且具有線性收斂速度 .32五、( 12 分) 在區(qū)間 -1,1上給定函數(shù) f(x) 4x3 1， 求其在 Span1, x, x 中關于 權 函 數(shù) (x) 1 地 最 佳 平 方 逼 近 多 項 式 . ( 可 用 數(shù) 據(jù) ：3 2 1p0(x) 1,p1(x) x, p2(x)x )22六、 (12 分 )(1) 試 導 出 切 比 雪 夫 (Chebyshev) 正 交 多 項 式 Tn(x) cos(n arccosx)(n 0,1,2, ,x 1,1) 地三項遞

12、推關系式：T0(x) 1,T1(x) x,Tn 1(x) 2xTn (x) Tn 1(x) (n 1,2, )2 x2 1(2)用高斯切比雪夫求積公式計算積分Idx ，問當節(jié)點數(shù) n取何值時，0 x(2 x)能得到積分地精確值？并計算它 .yn 1 yn h(K1 K3)2七、(10 分)驗證對 t, K1 f (xn, yn)為 2階格式 .K2 f (xn th,yn thK1)K3 f (xn (1 t)h,yn (1 t)hK1)參考答案1一、 1(a) 6 ，cond1 ( A) =6.2fxn,xn 1,xn2=3， fxn,xn 1,xn 2，xn 3=03b= 2，c=3.4,

13、k 0 2 6 3 2； q2(x) x x .5 100,k 05;lii0(i1,2,3)二、 (1)H(x)14 x32632 233x 1(2)225x450 450 25R(x) 14!16921 2 9 1 9 (x 14)(x 1)2 (x 94), (14,49).三、(1)2L;(2) x 3.347 ;(3)線性收斂 .3四、A C 10,B 16,99152 ;求積公式具有 5次代數(shù)精度，是 Gauss型地 .五、 21， 0 74， 1131 ；截斷誤差主項為 3h3y (xn) .48六、1)(BJ )0.6, (BGS) 0.6 1, 因此兩種迭代法均收斂a 0 時

14、，該迭代公式收斂 .1 0.6參考答案 2一、 1 2)(x(xn1)k(1)(k2xx28. 是, 1200013200014300015a65 (l 61u15 l62u25 l63u35 l64u45 ) l65;(2)u55u56 a55 (l51u16 l52u26 l 53u356 l54u46 )三、 H (x) x 2x(x 1)(x 2),R(x)四、(1)(2)五、收斂七、1)(2)1(3)13八、f ( ) x(x 1)2 (x 2) 4!x1(k 1)b1x2(k)x(k 1)b2x1(k 1) , 1221時收斂x1(k 1)x(2k 1)b1 1 x1(k) x2(

15、k)2 2 1 2 , b2 1x(2k) x1(k 1)4 2 2 12 1 1 1 2 32 f(1) 1f(1) 2 f(3) 3432342收斂p n 時為 0，p n 1時為 1參考答案 3一、 1 42發(fā)散3 f (x* ) 06.3 x100L0.666710,U0.33330.518.(2) 先交換 2、3 兩行，交換 1、2 兩行，(3) ( 1.5,1,4.5)32100100.66670.3333,P100000.50104 xn1xnf(xn)(n0,1,),xn 1xn3 f(xn)(n0,1, )8 605 8 260 , 497.H(x) x 11x(x 1) 9

16、x(x 1)2, R(x) f (4)( ) x(x 1)3 4!五、p0 12 p15六、版權申明本文部分內(nèi)容，包括文字、圖片、以及設計等在網(wǎng)上搜集整理 . 版權為個人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.SixE2yXPq5用戶可將本文地內(nèi)容或服務用于個人學習、 研究或欣賞， 以及其 他非商業(yè)性或非盈利性用途， 但同時應遵守著作權法及其他相關法律 地規(guī)定，不得侵犯本網(wǎng)站及相關權利人地合法權利 . 除此以外，將本 文任何

17、內(nèi)容或服務用于其他用途時， 須征得本人及相關權利人地書面 許可，并支付報酬 . 6ewMyirQFLUsers may use the contents or services of this articlefor personal study, research or appreciation, and other non-commercial or non-profit purposes, but at the same time, they shall abide by the provisions of copyright law and other relevant laws, an

18、d shall not infringe upon the legitimate rights of this website and its relevant obligees. In addition, when any content or service of this article is used for other purposes, written permission and remuneration shall be obtained from the person concerned and the relevant obligee. kavU42VRUs轉(zhuǎn)載或引用本文內(nèi)容必須是以新聞性或資料性公共免費信息為 使用目地地合理、善意引用，不得對本文內(nèi)容原意進行曲解、修改， 并自負版權等法律責任 . y6v3ALoS89Reproduction or quotat