1、微專題十一數學問題中圓的尋覓第九章平面解析幾何解題技法眾所周知，圓是常見的平面圖形，無論從形或數兩方面來看，圓都具有豐富的內涵.當我們面對某些數學問題時，倘若能夠從圓的視角來審視問題，即尋覓問題中圓的隱形的蹤影，常常能使問題的求解過程變得清晰明了，簡單快捷.本文擬就如何尋覓問題中圓的蹤影，分三個方面予以概述.一、尋覓幾何圓所謂尋覓幾何圓，是指通過構造一個問題背后的相關圓，借助圓的幾何性質求解問題.例1在銳角ABC中，A45，若a ，求bc的取值范圍.以下是本題的常見解法：解因為BC180A135，0B90，0C90，所以45C90.又由余弦定理得b2sin B，c2sin C，上述解法，局限于

2、“數”，倘若基于“形”，則可畫出ABC的外接圓O，如圖1，設BM，CN為圓O的直徑.當點A在劣弧MN(不含端點)上運動時，ABC即為銳角三角形，此時，ABC的面積S滿足SMBCSSDBC(D為劣弧MN的中點)，即所以bc(MBMC，DB2.這種解法，直觀簡潔，避免了繁冗的三角變換過程.例2在ABC中，sin(AB)sin Csin B，D是BC的一個三分點(靠近點B)，記 ，則當取最大值時，求tanACD的值.這是一道有一定難度的綜合問題.假如僅從常規的函數視角審視問題，求解過程頗為不易.下面，我們從構造圓的思維考慮問題，則有以下簡明解法.解由sin(AB)sin Csin Bsin(AB)s

3、in B可得2cos Asin Bsin B，因為A(0，180)，故A60.畫出ABC的外接圓O，如圖2，記A，B，C所對的邊長順次為a，b，c.不難證明：當最大時，AD過圓心O(否則ADAOODAOODAD)，過O作OEBC，交BC于E.所以OD1，即有ODBD，故OBDDOB30，BOA150，ABO15，所以ABC45.從而ACDACB180604575，因為A60，所以BOC120，OBCOCB30.二、尋覓解析圓解析圓，即為坐標圓.解題時，依照題設，通過建立直角坐標系，尋覓隱藏在問題背后的圓的方程，依托圓的解析性質求解問題.例3(2018浙江)已知a，b，e是平面向量，e是單位向量

4、.若非零向量a與e的夾角為 ，向量b滿足b24eb30，則|ab|的最小值是A. 1 B. 1 C.2 D.2下面給出一種基于構造解析圓的解法.解設e(1,0)，a(x，y)，b(m，n)，又由b24eb30可得m2n24m30，整理得(m2)2n21.例4在平面四邊形ABCD中，AB1，AC ，BDBC，BD2BC，求線段AD的最大值與最小值.本題是某地模擬試卷中的一道題，其中給出的該題詳解是基于正弦定理、余弦定理的求解，過程不易.下面給出根據已知構造解析圓的更加簡捷的求法.解如圖4，以B為原點，以AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則A(1,0).設BCr，則可設C(rcos ，rsin )，又因為BDBC，BD2BC，則點D的坐標(xD，yD)滿足三、尋覓雙面圓尋覓雙面圓，即尋覓隱含在問題背后的具有幾何與代數特征的圓，然后，借助于圓的綜合性質，達到破解問題的目的.本題按照常規思路求解，不太容易.如若能夠伸出