1、第五章平面向量與解三角形 5.1平面向量的概念及線性運算、平面向量基本定理及坐標表示高考數學高考數學 (浙江專用)考點一平面向量的線性運算及幾何意義考點一平面向量的線性運算及幾何意義統一命題、省統一命題、省( (區、市區、市) )卷題組卷題組五年高考1.(2017課標全國文,4,5分)設非零向量a,b滿足|a+b|=|a-b|,則()A.abB.|a|=|b|C.abD.|a|b|答案答案A本題考查向量加法的幾何意義,向量模的概念.解法一:由向量加法的幾何意義知,|a+b|=|a-b|等價于以向量a,b為鄰邊的平行四邊形的對角線相等,則該平行四邊形是矩形,所以ab.解法二:由|a+b|=|a-

2、b|得a2+2ab+b2=a2-2ab+b2,即ab=0,則ab,故選A.2.(2017北京理,6,5分)設m,n為非零向量,則“存在負數,使得m=n”是“mn0”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案答案A由存在負數,使得m=n,可得m、n共線且反向,夾角為180,則mn=-|m|n|0,故充分性成立.由mn0,可得m,n的夾角為鈍角或180,故必要性不成立.故選A.3.(2015課標,7,5分)設D為ABC所在平面內一點,=3,則()A.=-+B.=-C.=+D.=-BCCDAD13AB43ACAD13AB43ACAD43AB13ACAD

3、43AB13AC答案答案A=+=+=+=+(-)=-+.故選A.ADABBDABBCCDAB43BCAB43ACAB13AB43AC4.(2015陜西,7,5分)對任意向量a,b,下列關系式中的是()A.|ab|a|b|B.|a-b|a|-|b|C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)(a-b)=a2-b2不恒成立答案答案B|ab|=|a|b|cos|a|b|,故A正確;由向量的運算法則知C,D也正確;當b=-a0時,|a-b|a|-|b|,B錯誤.故選B.評析評析本題考查向量的運算法則等知識,考查邏輯推理能力.1.(2017課標全國理,12,5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動

4、點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若=+,則+的最大值為()A.3B.2C.D.2APABAD25考點二平面向量基本定理及坐標表示考點二平面向量基本定理及坐標表示答案答案A本題考查向量的運算.分別以CB、CD所在的直線為x軸、y軸建立直角坐標系,則A(2,1),B(2,0),D(0,1).點P在以C為圓心且與BD相切的圓上,可設P.則=(0,-1),=(-2,0),=.又=+,=-sin+1,=-cos+1,+=2-sin-cos=2-sin(+),其中tan=,(+)max=3.22cos ,sin55ABADAP22cos2,sin155APABAD25152515122.(2019浙

5、江,17,6分)已知正方形ABCD的邊長為1.當每個i(i=1,2,3,4,5,6)取遍1時,|1+2+3+4+5+6|的最小值是,最大值是.ABBCCDDAACBD答案答案0;25解析解析本題考查平面向量的坐標表示及坐標運算,在向量的坐標運算中涉及多個未知數據以此來考查學生的數據處理能力,數學運算及數據分析的核心素養.如圖,建立平面直角坐標系,則A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),=(1,0),=(0,1),=(-1,0),=(0,-1),=(1,1),=(-1,1),故|1+2+3+4+5+6|=|(1-3+5-6,2-4+5+6)|=.(*)ABBCCDDAACBDA

6、BBCCDDAACBD2213562456()()顯然(*)式中第一個括號中的1,3與第二個括號中的2,4的取值互不影響,只需討論5與6的取值情況即可,當5與6同號時,不妨取5=1,6=1,則(*)式即為,1,2,3,4-1,1,1=3,2-4=-2(2=-1,4=1)時,(*)式取最小值0,當|1-3|=2(如1=1,3=-1),2-4=2(2=1,4=-1)時,(*)式取最大值2,當5與6異號時,不妨取5=1,6=-1,則(*)式即為.同理可得最小值仍為0,最大值仍為2,綜上,最小值為0,最大值為2.221324()(2)5221324(2)()55解題關鍵解題關鍵本題未知量比較多,所以給

7、學生的第一感覺是難,而實際上注意到圖形為規則的正方形,i(i=1,2,3,4,5,6)的取值只有兩種可能(1和-1),這就給建系及討論i的值創造了條件,也是求解本題的突破口.3.(2019上海,9,5分)過曲線y2=4x的焦點F并垂直于x軸的直線分別與曲線y2=4x交于A、B,A在B上方,M為拋物線上一點,=+(-2),則=.OMOAOB答案答案3解析解析由題意可得A(1,2),B(1,-2),設M的坐標為(x,y),由=+(-2)得(x,y)=(1,2)+(-2)(1,-2)=(2-2,4),因為M在拋物線上,所以16=4(2-2),解得=3.OMOAOB4.(2018課標全國理,13,5分

8、)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若c(2a+b),則=.答案答案12解析解析由已知得2a+b=(4,2).又c=(1,),c(2a+b),所以4-2=0,解得=.125.(2017山東文,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,).若ab,則=.答案答案-3解析解析a=(2,6),b=(-1,),ab,2-6(-1)=0,=-3.6.(2015北京,13,5分)在ABC中,點M,N滿足=2,=.若=x+y,則x=,y=.AMMCBNNCMNABAC答案答案;-1216解析解析由=2知M為AC上靠近C的三等分點,由=知N為BC的中點,作出草圖:則有=(+),所以

9、=-=(+)-=-,又因為=x+y,所以x=,y=-.AMMCBNNCAN12ABACMNANAM12ABAC23AC12AB16ACMNABAC12167.(2015江蘇,6,5分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,nR),則m-n的值為.答案答案-3解析解析由a=(2,1),b=(1,-2),可得ma+nb=(2m,m)+(n,-2n)=(2m+n,m-2n),由已知可得解得從而m-n=-3.29,28,mnmn 2,5,mn教師專用題組教師專用題組1.(2015四川,7,5分)設四邊形ABCD為平行四邊形,|=6,|=4.若點M,N滿足=3,=2,

10、則=()A.20B.15C.9D.6ABADBMMCDNNCAMNM答案答案C依題意有=+=+,=+=-=-,所以=-=9.故選C.AMABBMAB34BCNMNCCM13DC14BC13AB14BCAMNM34ABBC1134ABBC132AB3162BC2.(2017天津文,14,5分)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若=2,=-(R),且=-4,則的值為.BDDCAEACABADAE答案答案311解析解析本題主要考查平面向量的線性運算以及數量積運算.由=2得=+,所以=(-)=-+-,又=32cos60=3,=9,=4,所以=-3+-2=-5=-4,解得=.BDDCAD13AB

11、23ACADAE1233ABACACAB13ABAC132AB232AC23ABACABAC2AB2ACADAE83113311思路分析思路分析根據=2得=+,利用=-4以及向量的數量積建立關于的方程,從而求得的值.BDDCAD13AB23ACADAE一題多解一題多解以A為原點,AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標系,如圖,因為AB=3,AC=2,A=60,所以B(3,0),C(1,),又=2,所以D,所以=,而=-=(1,)-(3,0)=(-3,),因此=(-3)+=-5=-4,解得=.3BDDC5 2 3,33AD5 2 3,33AEACAB33ADAE532 3331133113.(20

12、15課標,13,5分)設向量a,b不平行,向量a+b與a+2b平行,則實數=.答案答案12解析解析由于a,b不平行,所以可以以a,b作為一組基底,于是a+b與a+2b平行等價于=,即=.11212考點一平面向量的線性運算及幾何意義考點一平面向量的線性運算及幾何意義三年模擬A A組組 20172019 20172019年高考模擬年高考模擬考點基礎題組考點基礎題組1.(2019浙江學軍中學高三上期中,3)設a,b是不共線的兩個非零向量,已知=2a+pb,=a-b,若三點A,B,C共線,則p的值為()A.2B.4C.-2D.-4ABBC12答案答案D因為A,B,C三點共線,所以=(0),故有=,則p

13、=-4,故選D.ABBC2121p2.(2019浙江高考信息優化卷(五),7)已知ABC為等邊三角形,AB=2,設點P,Q滿足=,=(1-),R,若=-,則=()A.B.C.D.APABAQACBQCP3212122110232 22 答案答案A如圖,設=b,=c,則|b|=|c|=2,且bc=2,又=+=-b+(1-)c,=+=-c+b,由=-知,-b+(1-)c(-c+b)=(-1)|c|2-|b|2+(-2+1)bc=-,即4(-1)-4+2(-2+1)=-,整理得42-4+1=0,即(2-1)2=0,解得=,選A.ABACBQBAAQCPCAAPBQCP323232123.(2019浙

14、江寧波效實中學高三上期中,12)已知平面向量a=(2,1),b=(-1,m).若ab,則m=;若ab,則m=.答案答案-;212解析解析ab2m+1=0,m=-;ab-2+m=0,m=2.124.(2018浙江新高考調研卷三(杭州二中),12)已知平行四邊形ABCD,|=2|=2,且=1,=,=2,則=;若DE和AF交于點M,且=x+y,則x+y=.ABADABADAEEBDFFCAFDEAMABAD答案答案;1657解析解析=(+)(-)=-=.設=,由=+,得=+,設=m,則=m+(1-m),則從而=,故=+x+y=.AFDEADDFAEAD23ADAB12ABAD132AB2AD16AD

15、AB16AF1AMAF23ABADAM23ABADDMDEAMAEAD2,231.mm37AM27AB37AD575.(2019浙江寧波效實中學高三上期中,15)在OAB中,已知|=,|=1,AOB=45,點P滿足=+,其中2+=3,則|的最小值為.OB2ABOPOAOBOP答案答案3 55解析解析在OAB中,由正弦定理易得sinOAB=1,故OAB是等腰直角三角形.將OB、OA分別延長至點C、D,使得OC=3OB=3,OD=OA=.故由條件得=+.又+=1,故點P在直線CD上.在OCD中,用兩次余弦定理,解得CD=,cosOCD=,則sinOCD=.易知|取到最小值時,OPCD.此時|=|s

16、inOCD=.23232OP23OD13OC23133 523 10101010OPOPOC3 55.考點二平面向量基本定理及坐標表示考點二平面向量基本定理及坐標表示(2019浙江寧波效實中學高三上期中,6)已知ABC中,=,=2,若CD,BE相交于點P,則=()A.+B.-C.+D.-ADDBAEECCP14AB12AC14AB12AC12AB14AC12AB14AC答案答案B如圖,易得SBDE=SADE=SBCE,DP=PC,=-=-,選B.CP12CD1212ABAC14AB12ACB B組組2017201920172019年高考模擬年高考模擬專題綜合題組專題綜合題組時間:15分鐘分值:

17、26分一、選擇題(每小題4分,共8分)1.(2019浙江高考信息優化卷(一),2)已知a=(1,2),b=(2,x),若a+b與a-b平行,則實數x的值為()A.4B.1C.-4D.-1答案答案A由題意得a+b=(3,x+2),a-b=(-1,2-x),由平行條件得3(2-x)=-(x+2),解得x=4.故選A.2.(2019浙江紹興數學調測(3月),8)如圖,圓O是邊長為2的正方形ABCD的內切圓,若P,Q是圓O上兩個動點,則的取值范圍是()A.-3-2,0B.-3-2,-1C.-5,0D.-5,-1APCQ22答案答案A=(-)(-)=-+=-.=,=-1-2-2-1=-3-2,當且僅當A

18、,Q,P,C共線時取等號(如圖).又,0.故選A.APCQOPOAOQOCOPOQOAOQOCOPOAOCOPOQOAPQ2OAOPOQ2222OPOQQPAPCQOAPQ22QP22APCQ,2APCQ3.(2019浙江寧波高三上期末,14)在ABC中,D為邊BC的中點,經過AD的中點E的直線交邊AB,AC于點M,N,若=m,=n,則m+n=;該直線將原三角形分成兩部分,則三角形AMN與四邊形BCNM面積之比的最小值是.ABAMACAN二、填空題(共18分)答案答案4;13解析解析如圖,=(+)=+=+,因為M,E,N三點共線,所以+=1,即m+n=4;=,則問題轉化為求的最大值,而=mn=4,所以=.AE1212ABAC14AB14AC4mAM4nAN4m4nAMNBCNMSS四邊形AMNABCAMNSSS11ABCAMNSSABCAMNSSABCAMNSS1|sin21|sin2ABACBACAMANBAC|ABAM|ACAN22mnAMNBCNMSS四邊形141134.(2019浙江高考數學仿真卷,17)如圖,在扇形OAB中,AOB=60,C為上的一個動點(不含端點),若=x+y,且z=x+y無最大值,則實數的取值范圍是.ABOCOAOB解析當=0時,z=x