1、2021年普通高等學校招生全國統一測試理科數學本試卷共5頁.測試結束后,將本試卷和做題卡一并交回.考前須知：1 .做題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區.2 .選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚.3 .請根據題號順序在做題卡各題目的做題區域內作答,超出做題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上做題無效.4 .作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.5 .保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀.一、選擇題：此題共12小題,每題5分,共60分.在每

2、題給出的四個選項中,只有一項為哪一項符合題目要求的.1.設集合A=x|x2-5x+6>0,B=x|xT<0,貝UAAB=A.(",1)B.(21)C.(3T)D,(3,+8)2.設z=T+2i,那么在復平面內Z對應的點位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.A?=(2,3),Ac=(3,t),晶=1,那么/露A.TB.2C.2D.34.2021年1月3日嫦娥四號探測器成功實現人類歷史上首次月球反面軟著陸,我國航天事業取得又一重大成就,實現月球反面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯系.為解決這個問題,發射了嫦娥四號中繼星“鵲橋,鵲橋沿著圍

3、繞地月拉格朗日12點的軌道運行.L2點是平衡點,位于地月連線的延長線上.設地球質量為Mi,月球質量為M2,地月距離為R,L2點到月球的距離為r,根據牛頓運動定律和萬有引力定律,r滿足方程:M1M2M1rE7=(Rr)/.i=R'由于“的值很因此在近似計算中小,3:3314,:二532全3a3,那么r的近似值為(1-：)5.演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分,評定該選手的成績時,從9個原始評分中去掉最高分、1個最低分,得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比,不變的數字特征是B,平均數6.假設a>b,那么A.ln(a-b)>0B.3a<3b7.C.a3

4、-b3>0D.a>b%3為兩個平面,那么all3的充要條件是a內有無數條直線與3平行“內有兩條相交直線與3平行8.C.a,3平行于同一條直線2假設拋物線y=2px(p>0)的焦點是橢圓3pa,3垂直于同一平面2y+=1的一個焦點,那么p=PD.極差C.49.卜列函數中,以為周期且在區間2n一)單調遞增的是2A.f(x)=cosXf(x)=sin2xC.f(x)=cosxf(x)=sinxJi10.“C(0,-),2sin2a=cos2廿1,貝Usina=A.C.、.322XV22211.設F為雙曲線c：f.=1但>0,b>0)的右焦點,O為坐標原點,以OF為直徑的

5、圓與圓x+y=aab交于P,Q兩點.假設PQ=OF,那么C的離心率為A.應B.73C.2D.而12 .設函數f(x)的定義域為R,滿足f(x+1)=2f(x),且當XW(0,1時,f(x)=x(x1).假設對任意.8xu(-,m,都有f(x)那么m的取值范圍是9A.一二,8,3二、填空題：此題共4小題,每題5分,共20分.13 .我國高鐵開展迅速,技術先進.經統計,在經停某站的高鐵列車中,有10個車次的正點率為0.97,有20個車次的正點率為0.98,有10個車次的正點率為0.99,那么經停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為.14 .f(x)是奇函數,且當x<0時,f(x)=ea

6、x.假設f(ln2)=8,那么a=._.冗15 .zXABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.假設b=6,a=2c,B=,那么AABC的面積為316 .中國有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體,但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是半正多面體(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體表達了數學的對稱美.圖2是一個棱數為48的半正多面體,它的所有頂點都在同一個正方體的外表上,且此正方體的棱長為1.那么該半正多面體共有個面,其棱長為.(此題第一空2分,第二空3分.)三、解做題：共70分.解容許寫出文字說明、證實過程或演算

7、步驟.第1721題為必考題,每個試題考生都必須作答.第22、23為選考題,考生根據要求作答.(一)必考題：共60分.17 .(12分)如圖,長方體ABCDABiCiDi的底面ABCD是正方形,點E在菱AAi上,BE±ECi.(1)證實：BE,平面EBiCi；(2)假設AE=AiE,求二面角B£CCi的正弦值.18 .(i2分)ii分制乒乓球比賽,每贏一球得i分,當某局打成i0:i0平后,每球交換發球權,先多得2分的一方獲勝,該局比賽結束.甲、乙兩位同學進行單打比賽,假設甲發球時甲得分的概率為0.5,乙發球時甲得分的概率為0.4,各球的結果相互獨立.在某局雙方i0:i0平后,

8、甲先發球,兩人又打了X個球該局比賽結束.(i)求P(X=2)；(2)求事件X=4且甲獲勝的概率.19 .i2分數列an和bn滿足ai=i,bi=0,4an+=3an-bn+4,4bn由=3bnan4.(i)證實：an+bn是等比數列,an6n是等差數列；(2)求an和bn的通項公式.20 .(12分).x1函數fx=lnx.xT(1)討論f(x)的單調性,并證實f(x)有且僅有兩個零點；(2)設Xo是f(x)的一個零點,證實曲線y=lnx在點A(%,ln%)處的切線也是曲線y=ex的切線.21 .12分點A(-2,0),B(2,0),動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為-1.記M的軌

9、跡為曲線C.2(1)求C的方程,并說明C是什么曲線；(2)過坐標原點的直線交C于P,Q兩點,點P在第一象限,PEx軸,垂足為E,連結QE并延長交C于點G.(i)證實：4PQG是直角三角形；(ii)求4PQG面積的最大值.(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做,那么按所做的第一題計分.22 .選彳4-4:坐標系與參數方程(10分)在極坐標系中,O為極點,點M(/,4)(P0A0)在曲線C:P=4sin8上,直線1過點A(4,0)且與OM垂直,垂足為P.(1)當用=；時,求P.及l的極坐標方程；(2)當M在C上運動且P在線段OM上時,求P點軌跡的極坐標方程.23 .

10、選彳4-5：不等式選講(10分)f(x)=|x-a|x|x-2|(x-a).(1)當a=1時,求不等式f(x)<0的解集；(2)假設xw(*,1)時,f(x)<0,求a的取值范圍.2021年普通高等學校招生全國統一測試理科數學-參考答案1.A2,C3.C4.D5.A6.C7,B8.D9.A10.B11.A12.B13. 0.9814. W15. 6.316. 26;72-117. 解：(1)由得,BC_L平面ABB1A,BE二平面ABB1A1,故B1cl_BE.又BE_LEC1,所以BE_L平面EB1C1.由(1)知ZBEB1=90,由題設知RtAABERtAAB1E,所以/AEB

11、=45-故AE=AB,AA=2AB.T4以D為坐標原點,DA的方向為x軸正方向,|DA|為單位長,建立如下圖的空間直角坐標系Diyz,CB=(1,0,0),CE=(1-1,1),那么C(0,1,0),B(1,1,0),Ci(0,1,2),E(1,0,1),CC1=(0,0,2).設平面EBC的法向量為n=(x,v,x),那么CBn=0,nhI,即CEn=0,x=0,x-yz=0,所以可取n=(0,-1,-1).設平面ECCi的法向量為m=(x,y,z),那么yHCC1m=0,2z=0,J1,即?,CEm=0,x-yz=0.所以可取m=(1,1,0).nm1于是cos<n,m>=一一

12、.In|m|2所以,二面角B-EC-C1的正弦值為.218 .解：(1)X=2就是10：10平后,兩人又打了2個球該局比賽結束,那么這2個球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5>0.4+(105)X(1-0.4)=0.5.(2) X=4且甲獲勝,就是10：10平后,兩人又打了4個球該局比賽結束,且這4個球的得分情況為：前兩球是甲、乙各得1分,后兩球均為甲得分.因此所求概率為0.5X(104)+(105)>0.40.5>0.4=0.1.1,、19 .解：(1)由題設得4(an4+bn由)=2(an+bn),即an+bn+=(an+bn).21 ,又由于a1+b1

13、=l,所以an+bn)是首項為1,公比為一的等比數列.2由題設得4(an+-bn+)=4(an-bn)+8,即an書bn+=anbn+2.又由于a1)1=l,所以an-bn是首項為1,公差為2的等差數列.1,八,(2)由(1)知,an+bn=Tj,anbn=2n1.2111所以an=-(an+bn)+(an-bn)+n-,222111b=_(anb)_(an-b)=-n+.22220.解：(1)f(x)的定義域為(0,1)U(1,+8).一.一12由于f'(x)=+2A0,所以f(x)在(0,1),(1,+8)單調遞增.x(x-1)e1由于f(e)=1<0,e-12e21“二2一

14、心e-3>0,所以f(x)在(1,+8)有唯一零點x1,一、一一1)即f(x)=0.又0<<1,為1x11f(lnx1F=f(x)=0,故f(x)在(0,1)有唯一零點x1e2-1綜上,f(x)有且僅有兩個零點.1八x,一)在曲線y=e上.x01lnxc(2)由于一=e,故點B(Tnx0,x.1.1x01+1Inx0由題設知f(x0)=0,即Inx0=-,故直線AB的斜率k=-0=-0手=x0-1-Inx0-x0x01x一；x0x0-1x,1、1.1曲線y=e在點B(-1nX0,)處切線的斜率是一,曲線y=lnx在點A(x°,lnx°)處切線的斜率也是一,

15、x0x0x0所以曲線y=lnx在點A(x°,lnx°)處的切線也是曲線y=ex的切線.12221.解：(1)由題設得一,一=-,化簡得左+)-=1(|x仔2),所以C為中央在坐標原點,焦x2x-2242點在x軸上的橢圓,不含左右頂點.(2)(i)設直線PQ的斜率為k,那么其方程為y=kx(k.0).y=kx22xyr42得x=±*二=1.12k22,一記u=-=,貝UP(u,uk),Q(u,uk),E(u,0).,12k2kk于是直線QG的斜率為k,方程為y=k(x-u).22y=-(x-u),由,22得.42一22-222(2+k)x-2ukx+ku8=0.uk

16、3-2,2k2設G(Xg,Yg),那么u和Xg是方程的解,故Xg“3k22),由此得Yg2kuk32-uk1從而直線pg的斜率為上三k=u(3k22)k2-u2k2所以PQ_LPG,即4PQG是直角三角形.(ii)由(i)得|PQ|=2uJl+k2,|PG|=2uk,k212k2,所以PQG的面積1S=|PQlIPG|=28k(1k2)k)(12k2)(2k2)-1.2(1.k)21設t=k+,那么由k>0得t或,當且僅當k=1時取等k8t由于s=8在2,+8)單調遞減,所以當t=2,12t2k=1時,S取得最大值,最大值為169一一16因此,PQG面積的最大值為一922.解：(1)由于M(P.,為而C上,當“0="3時,"0由得|OP|=|OA|cos=23設Q(P,9)為l上除P的任意一點.在RtAOPQ中,=|OP|=2,經檢驗,點P(2,)在曲線Pcos|H=2上.所以,i的極坐標方程為Pcosieji=2.(2)設P(P,日),在RtzXOAP中,|OP|=|OA|cos8=4cos6,即P=4cosB.由于