1、第7節(jié)拋物線(xiàn)，了解拋物線(xiàn)在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用；2.掌握拋物線(xiàn)的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).知識(shí)梳理1. 拋物線(xiàn)的定義(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)l ( F?l )的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(xiàn)定點(diǎn)F叫做拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，定直線(xiàn) I叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn) 其數(shù)學(xué)表達(dá)式：Ml MR = d( d為點(diǎn)M到準(zhǔn)線(xiàn)I的距離).2. 拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)圖形1匹、tft-L¥7d 3標(biāo)準(zhǔn)方程2y = 2px(p>0)2y =2px( p>0)2x = 2py(p>0)2x =2py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn) F到準(zhǔn)線(xiàn)1的距離性質(zhì)頂點(diǎn)O0,

2、0)對(duì)稱(chēng)軸y= 0x = 0焦占八 '、八、Fp，0f - 2, 0F0,2F0， 2離心率e= 1準(zhǔn)線(xiàn)方程px 一 2px= 2py= 2py=2范圍x>0, y Rx<0, y Ry>0, x RyW 0, x R開(kāi)口方向向右向左向上向下常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1. 通徑：過(guò)焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱(chēng)軸的弦長(zhǎng)等于2p,通徑是過(guò)焦點(diǎn)最短的弦.2pp2. 拋物線(xiàn)y= 2px(p>0)上一點(diǎn)P(xo, yo)到焦點(diǎn), 0的距離| PR = Xo+ $，也稱(chēng)為拋物線(xiàn)的焦半徑.診斷自測(cè)1. 思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“V或“X)(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn) F和一條定直線(xiàn)I的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定

3、是拋物線(xiàn).()oa 方程y= ax2(az0)表示的曲線(xiàn)是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線(xiàn)，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是4，。，準(zhǔn)線(xiàn)方程是x = 一；.()4(3)拋物線(xiàn)既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，又是軸對(duì)稱(chēng)圖形.()2P 一p2AB為拋物線(xiàn)y = 2px(p>0)的過(guò)焦點(diǎn)F 2，0的弦，假設(shè)A(xi, yi) , B(x2, y ,那么XiX2=,2yiy2= p ,弦長(zhǎng) |AB = xi + X2+ p.()解析(i)當(dāng)定點(diǎn)在定直線(xiàn)上時(shí)，軌跡為過(guò)定點(diǎn)F與定直線(xiàn)I垂直的一條直線(xiàn)，而非拋物線(xiàn)22 i一i 方程y= ax (a*0)可化為x =-y,是焦點(diǎn)在y軸上的拋物線(xiàn)，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是0,-a4ai準(zhǔn)線(xiàn)方程是 y =一廠.

4、(3)拋物線(xiàn)是只有一條對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形答案 (i) X (2) X (3) X (4) V2. 以x= i為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為()2A.y = 2x2_22B.y = 2xC. y = 4xD.y = 4x解析 由準(zhǔn)線(xiàn)x= i知，拋物線(xiàn)方程為:2r py = 2px(p>0)且2= i, p= 2,拋物線(xiàn)的方程為y2 = 4x.答案 D3. (20i8 黃岡聯(lián)考)方程y2= 4x表示拋物線(xiàn),且該拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到直線(xiàn)x=m的距離為解析拋物線(xiàn)y2= 4x的焦點(diǎn)為F(i , 0)，它與直線(xiàn) x= m的距離為 d= | m- i| = 4, m= 34,那么m的值為()A.5B. 3 或

5、5D.6C. 2 或 6或5,應(yīng)選B.答案 BP( 2, 4),4.(教材練習(xí)改編)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)那么該拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為解析 很明顯點(diǎn)P在第三象限，所以?huà)佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)可能在x軸負(fù)半軸上或y軸負(fù)半軸上當(dāng)焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上時(shí)，設(shè)方程為y2=- 2px( p> 0)，把點(diǎn)R 2, 4)的坐標(biāo)代入得(一4)2 = 2pX ( 2),解得p= 4,此時(shí)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2 = 8x;當(dāng)焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上時(shí)，設(shè)方程為x2= 2py(p>0)，把點(diǎn)P( 2, 4)的坐標(biāo)代入得(12)2 = 2pX ( 4)，解得p=，此時(shí)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2 = y.綜上可知

6、，拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2= 8x或x2= y.答案 y2 = 8x 或 x2 = y5.拋物線(xiàn)方程為 y2= 8x,假設(shè)過(guò)點(diǎn)Q 2, 0)的直線(xiàn)I與拋物線(xiàn)有公共點(diǎn)，那么直線(xiàn) I的斜率的取值范圍是解析 設(shè)直線(xiàn)I的方程為y = k(x + 2)，代入拋物線(xiàn)方程，消去y整理得k2x2 + (4k2 8)x +2 2 2 2 2 24k = 0,當(dāng) k= 0 時(shí)，顯然滿(mǎn)足題意；當(dāng) k豐 0 時(shí)，A = (4 k 8) 4k 4k = 64(1 k) >0, 解得一K kv 0或0v kw 1,因此k的取值范圍是1, 1.答案1, 1考點(diǎn)一拋物線(xiàn)的定義及應(yīng)用【例1】(1)F是拋物線(xiàn)y2= x的焦點(diǎn)

7、，A, B是該拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)，|AH + I BF = 3,那么線(xiàn)段AB的中點(diǎn)D到y(tǒng)軸的距離為()B.1C.47(2)假設(shè)拋物線(xiàn)y2= 2x的焦點(diǎn)是F,點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)， 又有點(diǎn)A(3 , 2)，那么| PA + | PH 取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.2 1解析(1)因?yàn)閽佄锞€(xiàn)y = x的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x= 4.1如下列圖，過(guò)點(diǎn)A, B, D分別作直線(xiàn)x= 4的垂線(xiàn)，垂足分別為G, E,M 因?yàn)閨AF + | BF1 = 3，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，|AG = |AF , |BE =| BF|，所以| AG + I BE = 3，所以|MD = 1 B日；1 AG = 3，即線(xiàn)段 AB的中點(diǎn)D到y(tǒng)軸的距

8、離代入y2 = 2x,得(2)將x = 3代入拋物線(xiàn)方程(y2 = 2x,得 y=± 6J6>2,.A在拋物線(xiàn)內(nèi)部，如圖1設(shè)拋物線(xiàn)上點(diǎn) P到準(zhǔn)線(xiàn)I : x = ©的距離為d,由定義知|PA +1 PF| = |PA + d,當(dāng)PAL I時(shí)，|PA + d最小，最小值為2,此時(shí)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2, x= 2，二點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2 , 2).答案 (1)C(2 , 2)規(guī)律方法應(yīng)用拋物線(xiàn)定義的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)由拋物線(xiàn)定義，把拋物線(xiàn)上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與到準(zhǔn)線(xiàn)距離相互轉(zhuǎn)化pp 注意靈活運(yùn)用拋物線(xiàn)上一點(diǎn)P(xo, yo)到焦點(diǎn)F的距離| PF| = | xo| +牙或| PF| = |y

9、o| +專(zhuān).【訓(xùn)練1】(1)動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)(1 , 0)，且與直線(xiàn) x = 1相切，那么動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為(2022 全國(guó)n卷)F是拋物線(xiàn)C: y2= 8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線(xiàn)交y軸于點(diǎn)N.假設(shè)M為FN的中點(diǎn)，貝U | FN =.解析 設(shè)動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)為(x, y)，那么圓心到點(diǎn)(1 , 0)的距離與到直線(xiàn)x = 1的距離相 等，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義易知?jiǎng)訄A的圓心的軌跡方程為y2= 4x. 如圖，不妨設(shè)點(diǎn) M位于第一象限內(nèi)，拋物線(xiàn) C的準(zhǔn)線(xiàn)交x軸于點(diǎn)A,N過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn) B,交y軸于點(diǎn)P,. PM/ OFA二由題意知，F(xiàn)(2 , 0), | FQ = | AQ = 2.2

10、點(diǎn)M為FN的中點(diǎn)，PM/ OF1|MP = 2l FQ = 1.又 | BP =| AQ = 2,| MB =|MP + | BP = 3.由拋物線(xiàn)的定義知IMF = | MB = 3，故I FN = 2| MF = 6.2答案 (1) y = 4x (2)6考點(diǎn)二拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)【例2】雙曲線(xiàn)2xC：-a線(xiàn)的距離為2，那么拋物線(xiàn)A.x2=誓yB.C2的方程為()16住=3 yC.x2= 8yD.2x = 16y(2022 全國(guó)I卷)以?huà)佄锞€(xiàn)C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A, B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線(xiàn)于D, E兩點(diǎn)| AB = 4 '2, | DE = 2；5，貝U C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為

11、()A.2 B.4 C2x解析(1) T 22y話(huà)=1(a>0, b>0)的離心率為2,2 2 | 2u= 2，即 $=屮=4 , L 3aa aa2x22Px = 2py(p> 0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為0, 2，a= b2y2 = 1(a>0, b>0)的漸近線(xiàn)方程為y=±a，即 y=±®.由題意得.1 + 32=2，解得2的方程為x2=16y. 不妨設(shè)拋物線(xiàn) C： y2= 2px(p>0)，圓的方程為x2 + y2= r2(r >0),| AB = 4 2 | DE = 2 .'5,拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為 x=-號(hào),不妨設(shè)

12、 Ap, 22 , D p 卡,.點(diǎn) A 4, 2- '2 , D 號(hào)，"5 在圓 x2 + y2= r2上, p 216p2 p + 8= 4 + 5，解得p= 4(負(fù)值舍去),故C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為4.答案(1)D(2)B，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開(kāi)口方向，在方程的類(lèi)型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有 一個(gè)參數(shù)p,只需一個(gè)條件就可以確定拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程2.在解決與拋物線(xiàn)的性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點(diǎn)來(lái)解題， 特別是涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線(xiàn)的問(wèn)題更是如此【訓(xùn)練2】(1)如圖，過(guò)拋物線(xiàn) y2= 2px( p>0)的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)代B,交

13、其準(zhǔn)線(xiàn)I于點(diǎn)C,假設(shè)|BC = 2| BF，且| AF = 3,那么此拋2b = 1(a>0, b>0C2: x2= 2py( p>0) 的焦點(diǎn)到雙曲線(xiàn)C的漸近物線(xiàn)的方程為.2 過(guò)拋物線(xiàn)y= 4x的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交該拋物線(xiàn)于 A, B兩點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)假設(shè)| AF = 3, 那么厶AOB勺面積為(1)解析 設(shè)A, B在準(zhǔn)線(xiàn)上的射影分別為Ai, Bi,由于| BQ = 2| BF = 2| BB|，那么直線(xiàn)的斜率為y/3,故| AQ = 2|AA| = 6,從而 | BF = 1, | AB = 4,故rAAr=曙=2即卩p= 3,從而拋物線(xiàn)的方程為卜3x. 如圖，由題意知，拋物

14、線(xiàn)的焦點(diǎn) F的坐標(biāo)為(1 , 0)，又| AF = 3,由拋 物線(xiàn)定義知，點(diǎn) A到準(zhǔn)線(xiàn)x=- 1的距離為3,所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，將 x= 2代入y = 4x得y = 8,由圖知點(diǎn) A的縱坐標(biāo)為y= 2 ,2，所以A(2 ,2 .；2)，所以直線(xiàn) AF的方程為y = 2 ：2(x 1),聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程y= 2.2 x 1，y2= 4x,1x = 2，解得 2 或y= '2x = 2,y= 2 '2,由圖知b2,-：2 ,所以SjL aob=12 x 1X |yA yB|3*22答案(1) y2=3x學(xué)考點(diǎn)三直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系(多維探究) 命題角度1直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的公共

15、點(diǎn)(交點(diǎn))問(wèn)題【例3 1(2022 全國(guó)I卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)I : y= t(t豐0)交y軸于點(diǎn)M交拋物線(xiàn)C:y2= 2px( p>0)于點(diǎn)P,M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N,連接Oh并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H.(1)求IOHION ； 除H以外，直線(xiàn) MH與C是否有其它公共點(diǎn)？說(shuō)明理由t2解如圖，由得MO, t), P2p, t ,t2又N為M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，故 N, t ,p故直線(xiàn)ON的方程為y = px,將其代入y2= 2px整理得px2 2t2x= 0,2t22t2解得 Xi = 0, X2 =，因此 H, 2t .PP所以N為OH勺中點(diǎn)，即|°N = 2.1 ON 直線(xiàn)M

16、HW C除H以外沒(méi)有其它公共點(diǎn)，理由如下：p2t直線(xiàn)MH勺方程為y t = 2x，即x = -p(y t).代入 y2 = 2px 得 y2 4ty + 4t2= 0,解得 yi = y2 = 2t,即直線(xiàn)MHf C只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以除H以外，直線(xiàn)MHW C沒(méi)有其它公共點(diǎn)命題角度2與拋物線(xiàn)弦長(zhǎng)(中點(diǎn))有關(guān)的問(wèn)題2 1【例3 2】(2022 北京卷)拋物線(xiàn) C: y2= 2px過(guò)點(diǎn)P(1 , 1)，過(guò)點(diǎn)0, 作直線(xiàn)丨與 拋物線(xiàn)C交于不同的兩點(diǎn) M N,過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線(xiàn)分別與直線(xiàn) OP ON交于點(diǎn)A, B,其中 O為原點(diǎn).(1)求拋物線(xiàn)C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程；求證：A為線(xiàn)段BM的中

17、點(diǎn).2 1(1) 解把 R1 , 1)代入 y = 2px,得 p= ,2所以?huà)佄锞€(xiàn)C的方程為y= x ,一 1 1焦點(diǎn)坐標(biāo)為4 , 0 ,準(zhǔn)線(xiàn)方程為x= 4.(2) 證明當(dāng)直線(xiàn)MN斜率不存在或斜率為零時(shí)，顯然與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)不滿(mǎn)足題意，所以直線(xiàn)MN也就是直線(xiàn)I)斜率存在且不為零1由題意，設(shè)直線(xiàn)I的方程為y = kx + (k豐0), I與拋物線(xiàn)C的交點(diǎn)為MX1, y" , NX2, y2)., 1y = kx+- ,2 2由2 消去 y 得 4k x+ (4 k 4)x + 1= 0.y = x ,22考慮 A = (4k 4) 4X4 k = 16(1 2k),由題可知有兩交

18、點(diǎn)，所以判別式大于零，所以1XiX2= 4k2.1 kXi + X2 =2 ,k因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為(1 , 1)，所以直線(xiàn) OP的方程為y = x，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(Xi, Xi).直線(xiàn)ON的方程為y= X2x，點(diǎn)B的坐標(biāo)為X1,竽. ,y2X1y1X2+ y2X1 2x1X2因?yàn)?y1 + 2X1=-X2X21 1kX1 + X2 + kX2 + 2 X1 2x1X2X212k 2X1X2+ - X2+ X1X211 k2k 2X 冢+亍=0.X2所以y1 +y2X1X2=2X1.故A為線(xiàn)段BM的中點(diǎn).規(guī)律方法 1.直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系和直線(xiàn)與橢圓、雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系類(lèi)似，一般要用到 根與系數(shù)的關(guān)

19、系2.有關(guān)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的弦長(zhǎng)問(wèn)題，可直接使用公式| AB =為+ X2+ p,假設(shè)不過(guò)焦點(diǎn)，那么必須用一般弦長(zhǎng)公式3. 涉及拋物線(xiàn)的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求、“整體代入等解法.提醒：涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)一般用“點(diǎn)差法求解【訓(xùn)練3】(2022 全國(guó)I卷)F為拋物線(xiàn)C: y2= 4x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直 線(xiàn)11, 12，直線(xiàn)I 1與C交于A B兩點(diǎn)，直線(xiàn)l 2與C交于D, E兩點(diǎn)，貝U | AB + | DE的最小 值為()A.16B.14解析 拋物線(xiàn)Cy2= 4x的焦點(diǎn)為F(1，0)，由題意可知丨1，丨芥的斜率為k，貝UI2直線(xiàn)的1斜率為一匚，

20、故丨1： y = k(x 1)，12： y =1y2= 4x，y = k x 1，k(x 1).消去 y 得 k2x2 (- k2 + 4)x + k2= 0.設(shè) A(xi, yi),巳 X2, y2),Xl+ X2 =2k2+ 442+ F，4 由拋物線(xiàn)定義可知，| AE| = xi + X2 + 2 = 4+ 2.k同理得 | DEf = 4+ 4k2,+ |DEf = 8 + 4k2+ k2 > 8+ 2 16= 16.1 2當(dāng)且僅當(dāng)亡=k2,即卩k =±1時(shí)取等號(hào).故|AB + |DE的最小值為16.答案 A根底穩(wěn)固題組建議用時(shí)：40分鐘、選擇題1.2022 濟(jì)南月考假

21、設(shè)拋物線(xiàn)y= ax2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是0 ,1，那么a等于A.1b.2C.2解析因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為2 1x= ay，1所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,亦， 那么有4a= 1,解得a=4.答案 D2.2022 全國(guó)n卷設(shè)F為拋物線(xiàn)C: y2= 4x的焦點(diǎn)，曲線(xiàn)y = £ k>0與C交于點(diǎn)P, PF丄xz.軸，那么k =3C.2解析 由題可知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為1 , 0，由PF丄x軸知，|PF = 2,所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為k(1 , 2)，代入曲線(xiàn) y= 一(k>0)得 k = 2.x答案 D3.2022 張掖診斷過(guò)拋物線(xiàn)y2= 4x的焦點(diǎn)的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于PX1, y" , Qx2

22、, y2兩點(diǎn),如果 Xi + X2 = 6，那么 | PQ =()解析 拋物線(xiàn)y2= 4x的焦點(diǎn)為F(1 , 0)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為x, | PQ =|PH + IQF = xi+ 1+ X2+ 1 =Xi + X2+ 2 = 8.答案 B4.(2022 鐵嶺質(zhì)檢)設(shè)拋物線(xiàn)C y2= 3x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A為C上一點(diǎn)，假設(shè)| FA = 3,那么直線(xiàn)FA的傾斜角為()71A.nB.4d. nn 或 3n44解析 如圖，作 AHL l 于 H,那么| AH =|FA = 3,作 FEL AH于 E,那么 |AE33=32=2，在 Rt aef中,cos / EAF= PAI| AF12nn/ EAF= y

23、，即直線(xiàn)FA的傾斜角為 j，同理點(diǎn)A在x軸下方時(shí)，直線(xiàn)FA的傾斜角為答案 C25.(2022 衡水調(diào)研)拋物線(xiàn)y= 4x，過(guò)點(diǎn)P(4,0)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于A(X1,y" , B(X2,y2)兩點(diǎn)，那么y1+ y2的最小值為()x = 4,22解析當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，其方程為x = 4，由2 得y1= 4, y2= 4, y1 + y2,y = 4x,y2= 4x,24設(shè)其方程為 y = k(x 4),由r 、 得 ky 4y 16k = 0, y + y2= ,= 16,y= k x 4，k16y1+ y2= (y1+ y2)2 2=2 + 32 > 32,綜上可知,y2

24、+ y；?32.k y2+ y2的最小值為32.答案 D二、填空題6.(2022 廣東省際名校聯(lián)考)圓(x + 1)2 + y2= 1的圓心是拋物線(xiàn) y2 = px( p<0)的焦點(diǎn)，貝U pp解析 由題意知圓心為(一 1, 0)，那么4=一 1,解得P= 4.答案 427. (2022 黃山模擬)拋物線(xiàn)C： y = 8x,焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P(0 , 4)，點(diǎn)A在拋物線(xiàn)上，當(dāng)點(diǎn)A到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)I的距離與點(diǎn)A到點(diǎn)P的距離之和最小時(shí)，延長(zhǎng)AF交拋物線(xiàn)于點(diǎn) 3那么厶AOB 的面積為.解析 F(2，0)，設(shè)A在拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)上的投影為A',由拋物線(xiàn)的定義知，| AA' | = | AF ,

25、那么點(diǎn)A到點(diǎn)P(0 , 4)的距離與 A到該拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離之和d= | AFf + | AF >| PF = 2、/5,當(dāng)F, A, P三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)d取得最小值，此時(shí)直線(xiàn)AB的斜率為一2，方程為y= 2(x 2)，即x =舟+ 2,代入拋物線(xiàn)C： y2由題意將點(diǎn)A(2 , 2)代入x = 2py,得p= 1,故x = 2y.設(shè)B(x,3)，代入x2= 2y中，得x= .''6，故水面寬為2 ：6米.答案 2 ；6三、解答題9. 拋物線(xiàn)C： y2= 2px( p>0)的焦點(diǎn)為F,拋物線(xiàn)C與直線(xiàn)11: y= x的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8.(1) 求拋物線(xiàn)C的方程；= 8x,

26、可得y2+ 4y 16= 0, 解得 y= 2 2 .'5或一2+ 2 ；5. AOB勺面積為 1x 2X |( 2 2 .;5) ( 2 + 2 ,1，5)| = 4 :5.答案4 ;'58. 如圖是拋物線(xiàn)形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米.水位下降1米后,水面寬米.QraKj12解析 建立如圖平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物方程為x = 2py(p> 0).AB的中點(diǎn)為(2) 不過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)丨2與11垂直，且與拋物線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)A, B,假設(shè)線(xiàn)段P,且| 0P = | PB，求 FAB的面積解(1)易知直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為(8，- 8),( 8)2 = 2p

27、X 8,二 2p= 8 ,拋物線(xiàn)方程為 y2= 8x.1 2與X軸的 直線(xiàn)12與1 i垂直，故可設(shè)直線(xiàn) 丨2： x= y + m A(xi, yi) , B(x?, y2)，且直線(xiàn) 交點(diǎn)為M2y = 8x,2由得 y - 8y 8m= 0,x = y+ mA = 64+ 32n>0,. n>-2.yi + y2= 8, yiy2= 8n,2 2yw2xiX2 n.642由題意可知 OAL OB 即 xiX2+ yiy2= m 8n= 0, n= 8 或 n= 0(舍)，直線(xiàn) 12: x = y+ 8, M(8 , 0).FAB= SFMB+ SFMA=TFM lyi y2|=3yi

28、+ y22 4yiy2= 24 5.2xi0. (20i7 全國(guó)I卷)設(shè)A, B為曲線(xiàn) C y=二上兩點(diǎn),4A與B的橫坐標(biāo)之和為4.(i)求直線(xiàn)AB的斜率;設(shè)M為曲線(xiàn)C上一點(diǎn)，C在M處的切線(xiàn)與直線(xiàn) AB平行，且 AML BM求直線(xiàn)AB的方程.解設(shè) A(xi, yi) , 0X2, y2),2 2xiX2那么 xi 豐 X2, yi = 4, y2 = , xi + X2 = 4.yi y xi + X2于是直線(xiàn) AB的斜率k = -= -= i.xi X242丄x /口，X(2)由 y = 4，得 y，= 2X3設(shè)MX3 , y3),由題設(shè)知2 = i ,解得X3=-,于是M2 , i).設(shè)直

29、線(xiàn)AB的方程為y = x + m故線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為N(- , - + m, |MN = |m+ i|.2X 2將 y= x + m代入 y=得 x 4x 4m= 0.當(dāng) A = i6(m+ i)>0 ,即 m> i 時(shí)，xi, 2 = 2±2 m+ i.從而 | AB| = 2| Xi X2| = 4 21.由題設(shè)知 |AB| = 2| MN，即 4 21= 2( m 1),解得m= 7.所以直線(xiàn)AB的方程為x y + 7= 0.能力提升題組(建議用時(shí)：20分鐘)2xG2: 3 y? = 1的右焦點(diǎn)G2的一條漸近線(xiàn)，那么 p =111. (2022 南昌模擬)拋物線(xiàn) C： y = 2x2(p>0)的焦點(diǎn)與雙曲線(xiàn)的連線(xiàn)交C于點(diǎn)MM在第一象限)，假設(shè)G在點(diǎn)M處的切線(xiàn)平行于A.161 2 2解析由拋物線(xiàn) C : y= 2x(p>0)得 x = 2py( p>0),p所以?huà)佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為0, 2 .2由x3 y2= 1 得 a= 3