1、精品文檔精品文檔導數及其應川第1講變化率與導數、導數的運算【2013年高考會這樣考】1 .利用導數的幾何意義求曲線在某點處的切線方程.2 .考查導數的有關計算，尤其是簡單的函數求導.【復習指導】本講復習時，應充分利用具體實際情景，理解導數的意義及幾何意義，應能靈活運用導數公式及導數運算法則進行某些函數求導.科*KAOJIZIZHUDAOKUE一一2一一一一一一八一一一一一一一八一一一一八一一屆”一占一一一一一一4一一一4Q1*考基自主導學的看感記j教學相長基礎梳理1.函數y=f(x)從xi到X2的平均變化率函數y=f(x)從X1到X2的平均變化率為.X2X1若Ax=X2-X1,®=f

2、(X2)f(X1),則平均變化率可表示為1y.LjX2,函數y=f(X)在x=X0處的導數定義稱函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率liAxm»0§=liAxm>0f(X0+彳廠f(X0%函數y=f(x)在X=X0處的導數，記作f'(x0)或y1|x=X0,即4.Xf'(X0)=liAxm»0y.ZAX(2)幾何意義函數f(x)在點處的導數f'%)的幾何意義是在曲線y=f(x)上點(X0,f%)處切線的斜_率.相應地,切線方程為y-f(X0)=f'(x0)(x-X0).3.函數f(x)的導函數稱函數f'(x)=li

3、Am>0f(x十危尸癥年f(x)的導函數，導函數有時也記作v；LX4.基本初等函數的導數公式原函數導函數若f(x)=c則f(x)=0若f(x)=xn則f'(x)=nxn_J,n為自然數若f(x)=x/x>0,產0)則f'(x)=從，科為有理數若f(x)=sinx則f'(x)=cosX若f(x)=cosX則f'(x)=sinx若f(x)=aX(a>0,且aw1)則f'(x)=axlna若f(x)=ex則，(x)=eX若f(x)=logax(a>0,且aw1)1則f(x)=xlna若f(x)=Inx1則f'(x)=x5.導數四

4、則運算法則(1)f(x)=g(x)'=f'(x)力'(x);(2)f(x)g(x)'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);(3(3()1=f(xgxgxfXg色)(g(x)w0)6.復合函數的求導法則Vx = yuu&復合函數y=f(g(x)的導數和函數y=f(u),u=g(x)的導數間的關系為附以極博一個區別曲線y=f(x)“在”點P(xo,yo)處的切線與“過”點P(xo,yo)的切線的區別:曲線y=f(x)在點P(xo,yo)處的切線是指P為切點，若切線斜率存在時，切線斜率為k=f'(xo),是唯一的一條切線；曲線y=f

5、(x)過點P(xo,yo)的切線，是指切線經過P點，點P可以是切點，也可以不是切點，而且這樣的直線可能有多條.兩種法則(1)導數的四則運算法則.復合函數的求導迭則一.三個防范1 .利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆.2 .要正確理解直線與曲線相切和直線與曲線只有一個交點的區另L3 .正確分解復合函數的結構，由外向內逐層求導，做到不重不漏.雙基自測4 .下列求導過程中！)=5；訴'=丘；。ogax)TTT；(ax)，=(elnax)z=(exlna)z=exlnalna=axlnaxina其中正確的個數是().A.1B.2C.3D.4答案D2.(人教B版教材

6、習題改編)函數f(x)=(x+2a)(xa)2的導數為().A.2(x2a2)B,2(x2+a2)C.3(x2-a2)D.3(x2+a2)解析f(x)=(x-a)2+(x+2a)2(xa)=3(x2-a2).答案C3. (2。11湖南)曲線y=.si”x一1在點M層。處的切線的斜率為().sinx+cosx24D.1B.2解析本小題考查導數的運算、導數的幾何意義，考查運算求解能力.cosxfsinx+cosxsinxfcosxsinx1任y'=1(sinxcosx；=年1芯，把x=4代入得導數值為答案B12.A.C.(0(2+ 0° )+ 0° )B. (-1,0)

7、U(2, +8)D. (-1,0)解析令 f' (x) = 2x2 x>2,又x>0,所以x>2.故選C.答案 C4 2 fx 2fx+1 一%S 0,利用數軸標根法可解得一1 v xv 0 或 x4. (2011江西)若f(x)=x22x4lnx,則f'(x)>0的解集為().5. 如圖，函數f(x)的圖象是折線段ABC,其中A,B,C的坐標分別為(0,4),(2,0),(6,4),則 f(f(0) = _答案 2 0 gxfl(用數字作答).-202即 y= 3x2x -2x0,由 H八2 八3y = 3xox 2xoKAOXIANGTAHJIUDA

8、QXI鼾新考向.事例度破步考向探究導析得(xx0)2(x+2xo)=0,解得x=xo,x=-2xo.若XoW0,則交點坐標為(Xo,x0),(-2x0,8x3)；若x0=0,則交點坐標為(0,0).方法總結“利用定義求導數的一般過程是：(1)求函數的增量國;(2)求平均變化率+Z.AX求極限liAxe0Ty.LjX【訓練1】利用導數的定義證明奇函數的導數是偶函數，偶函數的導數是奇函數.f(x+ Ax) f(x)f' (x) = li Axm» 0證明法一設y=f(x)是奇函數，即對定義域內的任意x都有f(x)=f(x)Ax“一x+Ax)-f(x)xTiM0f(x沙。(x)因此

9、f'(x)為偶函數，同理可證偶函數的導數是奇函數.法二設y=f(x)是奇函數，即對定義域內的任意x都有f(-x)=-f(x),即f(x)=f(-x)因此f'(x)=f(x)'=-f(x)'=f'(x)則f'(x)為偶函數同理可證偶函數的導數是奇函數.考向二導數的運算【例2】？求下列各函數的導數:(i)y=板+x5 + sin x"? ；(2)y= (x+ 1)(x + 2)(x+ 3); x2x(3)y= sin 1 2cos 4 ;片 i+ix；審題視點先把式子化為最簡式再進行求導.x：+ x5+ sin x解(i)- y=-2:x3

10、 , 3 , sin x =x 2+x+Ty = x- 2 / +(x3)，+ (x 2sin x)'=3x 5+ 3x2 2x 3sin x + x 2cos x.(2)法 y = (x2+ 3x+ 2)(x+ 3) = x3 + 6x2 + 11 x+ 6, .y' = 3x2+12x+ 11.法二 y' = (x+ 1)(x+ 2)' (x+3)+(x+1)(x+ 2)(x+3)'= (x+1)' (x+2)+(x+ 1)(x+ 2)' (x+3)+(x+1) - (x+2)=(x+ 2+ x+ 1)(x+ 3)+ (x+ 1)(x

11、+ 2)=(2x+ 3)(x+ 3)+ (x+ 1)(x+ 2)= 3x2+ 12x+ 11. : y= sinx U cosx ;= 1sin x,1 ,1,一Qsin x j = 3sin x)12cos x.11_ 1+vx+1 - yx _ 2y 1 - Vx 1 + 5(1 血(1+或)1 x，yb-x)(1-xj (1-x 2.方法總結(1)熟記基本初等函數的導數公式及四則運算法則是正確求導的基礎.(2)必要時對于某些求導問題可先化簡函數解析式再求導.【訓練2】求下列函數的導數：(1)y=xnex；(2)y=cos xsin x(3)y=exlnx;(4)y=(x+1)2(x-1)

12、.解(1)y'=nxn1ex+xnex=xn1ex(n+x).一sin2xcos2x1y-sin2xsin2X(3)y，=exlnx+exX=exX+lnx.(4);y=(x+1)2(x1)=(x+1)(x21)=x3+x2-x-1,'V,=3x2+2x1.考向三求復合函數的導數【例3】？求下列復合函數的導數.(1)y=(2x3)5；(2)y=V3Z7x；(3)y=sin2|2x+3j(4)y=ln(2x+5).審題視點正確分解函數的復合層次，逐層求導.解設u=2x3,則y=(2x-3)5,由y=u5與u=2x3復合而成，：7=f'(u)u'(x)=(u5y(2

13、x3)'=5u42=10u4=10(2x-3)4.(2)設u=3x,則y=>/3x.,1一由y=U2與u=3x受合而成.V'=，(U)u，(x)=(u2)'(3xy=2u-1(-1)_11_13-x一2u2=2<3二x=2x-6.設y=u2,u=sinv,v=2x+則 v； =yuuj Vx' = 2u cos v 2= 4sin 2x+ 3t設y= In u,Io ,工、 cos2x+ 3 廠2sin4x+235 i.u = 2x+ 5,貝U yx' = Vu' ux',_J2y=2x+5(2x+5)=2x+5解這類問題方法

14、總結”由復合函數的定義可知，中間變量的選擇應是基本函數的結構,的關鍵是正確分析函數的復合層次，一般是從最外層開始，由外向內，一層一層地分析，把復合函數分解成若干個常見的基本函數，逐步確定復合過程.【訓練3】求下列函數的導數：(1)y=收+1;(2)y=sin22x；(3)y=exsin2x;(4)y=ln，1+x2.解(1)y'=A2-2x=/,2W+1W+1(2)y'=(2sin2x)(cos2x)X2=2sin4x(3)y'=(ex)sin2x+ex(cos2x)X2=ex(2cos2xsin2x).(4)y=/2f22x=2.W+x2/1+x1+xHKAOTIIZ

15、HUANXIANTUPQQ考題專項突破規范解答6如何求曲線上某一點的切線方程【問題研究】考常常涉及的問題.利用導數的幾何意義求函數在某一點的坐標或某一點處的切線方程是高這類問題最容易出現的錯誤就是分不清楚所求切線所過的點是不是切線而導致錯誤.【解決方案】解這類問題的關鍵就是抓住切點.看準題目所求的是“在曲線上某點處的切線方程”還是“過某點的切線方程”，然后求某點處的斜率，用點斜式寫出切線方程.【示例】？(本題滿分12分)(2010山東)已知函數f(x)=lnx-ax+1a1(aCR).x當a=1時，求曲線y=f(x)在點(2,f(2)處的切線方程；(2)當aw2時,討論f(x)的單調性.量速破

16、力(1)求出在點(2,f(2)處的斜率及f(2),由點斜式寫出切線方程；(2)求f'(x),再對a分類討論.解答示范(1)當a=-1時，f(x)=lnx+x+2-1,xx+x2xC(0,+8).所以f(x)=2,x(0,+00)(1分)x因此f'(2)=1,即曲線y=f(x)在點(2,f(2)處的切線斜率為1.又f(2)=ln2+2,所以曲線y=f(x)在點(2,f(2)處的切線方程為y-(ln2+2)=x2,即x-y+ln2=0.(3分)e、r1aAm、11,a1axX+1a(2)因為f(x)=lnxax+x1,所以f(x)=xa+x2=x2,x(0,+°0).(4

17、分)令g(x)=ax2x+1a,xC(0,+8).當a=0時，g(x)=x+1,xC(0,十00),所以當xC(0,1)時，g(x)>0,此時f'(x)V0,函數f(x)單調遞減；當xC(1,+8)時，g(x)<0,此時f'(x)>0,函數f(x)單調遞增；(6分)當aw0時，由f'(x)=0,即ax2x+1a=0,解得x1=1,x2=11.a1一a.當a=2時，x1=x2,g(x)>0恒成立，此時f(x)<0,函數f(x)在(0,)上單倜遞減；(7分)1一1b.當0vav2時，£1>1>0.xC(0,1)時,g(x)

18、>0,此時f(x)<0,函數f(x)單調遞減;x(1,-1時，g(x)0,此時f'(x)>0,函數f(x)單調遞增;xl-1,+°0時,g(x)aa>0,此時f'(x)<0,函數f(x)單調遞減；(9分)c.當a<0時，由于11<0,xC(0,1)時，g(x)>0,此時f'(x)<0,函數f(x)單調遞減；axC(1,+8)時，g(x)<0,此時f'(x)>0,函數f(x)單調遞增.(11分)綜上所述：當aw。時，函數f(x)在(0,1)上單調遞減，函數f(x)在(1,)上單調遞增；,1一，當a=2時，函數f(x)在(0,+°°)上單倜遞減；,1一，當0va<2時，函數f(x)在(0,1)上單倜遞減，函數f(