1、課時作業47利用空間向量證明空間中的位置關系1如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，側棱PA底面ABCD，且PAAD2，E，F，H分別是線段PA，PD，AB的中點求證：(1)PB平面EFH；(2)PD平面AHF.證明：建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz.A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，H(1,0,0)(1)E，H分別是線段AP，AB的中點，PBEH.PB平面EFH，且EH平面EFH，PB平面EFH.(2)(0,2，2)，(1,0,0)，(0,1,1)，·0×02×1

2、(2)×10，·0×12×0(2)×00.PDAF，PDAH.又AFAHA，PD平面AHF.2如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，點D是AB的中點.(1)證明ACBC1；(2)證明AC1平面CDB1.證明：因為直三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長分別為AC3，BC4，AB5，所以ABC為直角三角形，ACBC.所以AC，BC，C1C兩兩垂直如圖，以C為坐標原點，直線CA，CB，CC1分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則C(0,0,0)，A(3,0,0)，B(0,4,0)，C1(0,0,4)，A1(3

3、,0,4)，B1(0,4,4)，D.(1)因為(3,0,0)，(0，4，4)，所以·0，所以ACBC1.(2)設CB1與C1B的交點為E，連接DE，則E(0,2,2)，(3,0,4)，所以，DEAC1.因為DE平面CDB1，AC1平面CDB1，所以AC1平面CDB1.3如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5.(1)求證：AA1平面ABC；(2)證明：在線段BC1上存在點D，使得ADA1B，并求的值證明：(1)因為AA1C1C為正方形，所以AA1AC.因為平面ABC平面AA1C1C，AA1平面AA1C1C，且AA1

4、垂直于這兩個平面的交線AC，所以AA1平面ABC.(2)由(1)知AA1AB，AA1AC.由題知AB3，BC5，AC4，所以ABAC.如圖，以A為原點建立空間直角坐標系A­xyz，則B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)設D(x，y，z)是直線BC1上的一點，且，所以(x，y3，z)(4，3,4)，解得x4，y33，z4，所以(4，33，4)由·0，(0,3，4)，則9250，解得.因為0,1，所以在線段BC1上存在點D，使得ADA1B，此時，.4如圖，棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都等于2，ABC和A1AC均為60°

5、;，平面AA1C1C平面ABCD.(1)求證：BDAA1；(2)在直線CC1上是否存在點P，使BP平面DA1C1，若存在，求出點P的位置，若不存在，請說明理由解：(1)證明：設BD與AC交于點O，則BDAC，連接A1O，在AA1O中，AA12，AO1，A1AO60°，A1O2AAAO22AA1·AOcos60°3，AO2A1O2AA，A1OAO.由于平面AA1C1C平面ABCD，且平面AA1C1C平面ABCDAC，A1O平面AA1C1C，A1O平面ABCD.以OB，OC，OA1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0，1,0)，B(，

6、0,0)，C(0,1,0)，D(，0,0)，A1(0,0，)，C1(0,2，)由于(2，0,0)，(0,1，)，·0×(2)1×0×00，即BDAA1.(2)假設在直線CC1上存在點P，使BP平面DA1C1，設，P(x，y，z)，則(x，y1，z)(0,1，)從而有P(0,1，)，(，1，)設平面DA1C1的法向量為n(x1，y1，z1)，則又(0,2,0)，(，0，)，則取n(1,0，1)，因為BP平面DA1C1，則n，即n·0，得1，即點P在C1C的延長線上，且C1CCP.5如圖1所示，正ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E，F分別是A

7、C和BC邊的中點，現將ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，如圖2所示(1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由；(2)求二面角E-DF-C的余弦值；(3)在線段BC上是否存在一點P，使APDE？證明你的結論解：(1)AB平面DEF，理由如下：在ABC中，由E，F分別是AC，BC中點，得EFAB.又AB平面DEF，EF平面DEF，AB平面DEF.(2)以D為原點，分別以DB，DC，DA所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0，2，0)，E(0，1)，F(1，0)，易知平面CDF的法向量為(0,0,2)，設平面EDF的法

8、向量為n(x，y，z)，則即取n(3，3)，則cos，n，二面角E-DF-C的余弦值為.(3)存在證明如下：設P(x，y,0)，則·y20，y.又(x2，y,0)，(x,2y,0)，(x2)(2y)xy，xy2.把y代入上式得x，P，點P在線段BC上在線段BC上存在點P，使APDE.6如圖(1)所示，在RtABC中，C90°，BC3，AC6，D，E分別為AC，AB上的點，且DEBC，DE2，將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如圖(2)所示(1)求證：A1C平面BCDE；(2)若M是A1D的中點，求CM與平面A1BE所成角的大小；(3)線段BC上是否存在一點P

9、，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說明理由解：(1)因為ACBC，DEBC，所以DEAC，所以DEA1D，DECD，A1DDCD，所以DE平面A1DC，所以DEA1C.又因為A1CCD，DECDD，所以A1C平面BCDE.(2)以C為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系則A1(0,0,2)，D(0,2,0)，M(0,1，)，B(3,0,0)，E(2,2,0)設平面A1BE的法向量為n(x，y，z)，則n·0，n·0.又因為(3,0，2)，(1,2,0)，所以令y1，則x2，z，所以n(2,1，)設CM與平面A1BE所成的角為.因為(0,1，)，所以sin|cosn，|.所以CM與平面A1BE所成角的大小為.(3)線段BC上不存在一點P，使平面A1DP與平面A1BE垂直理由如下：假設這樣的點P存在，設其坐標為(p,0,0)，其中p0,3設平面A1DP