1、8-5微分方程應用舉例在前面幾節，已經舉了一些力學、運動學方面應用微分方程的實例，本節將再集中學 習幾個在其他方面的應用實例，說明微分方程在許多實際領域中都有著廣泛的應用.應用微分方程解決實際問題通常按下列步驟進行：(1)建立模型：分析實際問題，建立微分方程，確定初始條件；(2)求解方程：求出所列微分方程的通解，并根據初始條件確定出符合實際情況的特解；(3)解釋問題：從微分方程的解，解釋、分析實際問題，預計變化趨勢.例1 有一個303012(m3)的車間，空氣中CO2的容積濃度為0.12%.為降低CO2的含量，用一臺風量為 1500( m3/min)的進風鼓風機通入 CO2濃度為0.04%的新

2、鮮空氣，假定通 入的新鮮空氣與車間內原有空氣能很快混合均勻，用另一臺風量為1500( m3/ min)的排風鼓風機排出，問兩臺鼓風機同時開動10min后，車間中CO2的容積濃度為多少？解車間體積為10800m3.設鼓風機開動t (min)后，車間空氣中 CO2的含量為x=x(t),那么容積濃度為 x10800記在t到t+dt這段時間內，車間 CO2含量的改變量為 dx,則 dx =該時間段內CO 2通入量-該時間段內CO2排出量=單位時間進風量進風CO2的濃度時間-單位時間排風量排風CO 2濃度 時間=15000.04% dt-1500xdt,10800于是有 dx_=1500 0.04% -

3、1500 x dt10800即 dx = A (4.32- x)dt 36初始條件 x(0)=108000.12%=12.96 .方程為可分離變量的方程，其通解為_5 t x(t)=4.32+Ce 36 .將初始條件代入上式，得 C=8.64 .于是在t時刻車間內空氣中 CO2的含量為5-t x(t)=4.32(1+2 e 36 ) .所以鼓風機打開10min后，車間中CO2濃度為x(10) = 6.47 =0.06%.1080010800例2(馬爾薩斯人口方程)英國人口學家馬爾薩斯在1798年提出了人口指數增長模型：人口的增長率與當時的人口總數成正比.若已知t=t0時人口總數為xo,試根據馬

4、爾薩斯模型，確定時間t與人口總數x(t)之間的函數關系.據我國有關人口統計的資料數據，1990年我國人口總數為11.6億，在以后的8年中，年人口平均增長率為 14.8 %。，假定年增長率一直 保持不變，試用馬爾薩斯方程預測2005年我國的人口總數.解 記t時的人口總數為 x=x(t),則人口的增長率為也，據人口指數增長模型為dtdl=rx(t),( r為比例系數，即馬爾薩斯增長指數)(1)dt并附初始條件：x( t0)= x .方程是可分離變量方程，易得它的通解為x=Cert.將初始條件x(t0)=代入，得C=x0e0 .于是時間t與人口總數x(t)之間的函數關系為 x( t)=x0er(t工

5、).將t=2005, t0= 1990, x0=11.6, r=0.0148代入，可預測出 2005年我國的人口總數為0.01482005-1990)x|t=2005=1 1.6e球14.5(億).例3有一由電阻、電感串接而成的電路，如圖8-6所示，其中電源電動勢 E=E0Sint,( E0, 0 為常量)，電阻R和電感L為常量，在t=0時合上開關S,其時電流為零，求此電路中電流i與時間t的函數關系.解 由電學知識，電感 L上的感應電動勢為 Ld_,根據回路電壓定律，有dtE = Ri+L d_,dt即di +,上加以，dt L L初始條件為i(0)=0 .3ti(t)=Ce L + R2方程

6、是一階非齊次線性微分方程，它的通解為E0(Rsinot-oLcosot). .2L2將初始條件i(0)=0代入上式，得C= EM .于是所求電流為R22L2E=ti (t)=0(8Le L +Rsint- ccLcoscot), ( t0).R22L2例4輕質油料滴入靜水中后會迅速擴散，在水面形成一層圓形油膜.設油膜半徑的增加速度與油膜厚度成正比，滴入油料的體積為V。，油料在水中擴散過程中的形狀近似看做圓柱體，初始t=0時圓柱高度為h0,求油膜半徑與時間t的關系.解 設圓柱體油料半徑r=r(t),厚度h=h(t),則在任何時刻t有r(t)h(t)=Vo.(1)兩邊對t求導，得2 r(t)” h

7、(t)+r2(t)d=0,dtdtdr據油膜半徑的增加速度與油膜厚度成正比，dr k kh(t，得dt2kh2+ j_V0_ dh_=0,即dh-=-2k (Zht).二h(t) dtdt V0分離變量后成為1h ” dh=-2k 叵dt , Vo 3兩邊積分得1h(t)=k 3V0 7彳-T3r (t) =J 3 kJt+C(2)、JV 0由初始條件r2(0)h(0)=r2(0)ho=V0,得 r(0)= XT ；代入(2)得 C=L_ .回代二h0(3kh0 f到(2),最終得油膜半徑與時間t的關系為3 13kV0V0 3 1圖8-8r=-t +(-)23 - 二二 h0例5 一邊長為3m

8、的立方體形狀的木材浮于水面上處于平衡位置，然后向水里按下 X0(m)后松手，物體會在上面 上下沉浮振動(圖8-8).已知振動的周期為 2s,水的密度 為1,試求物體的質量及物體沉浮振動的規律.解 設物體的質量為 m ,物體在時刻t相對于平衡位 置的位移為x,振動規律為x=x(t).因為x是相對于平衡位 置的位移，物體所受重力已經被抵消，故物體在振動過程中只要考慮浮力的作用.假設x以向下為正向.由阿基米德原理，當物體位移為x時所受浮力F(x)與x的符號相反，大小為：F(x)=-3M3MxM1000g=-9000xg,(g=9.8m/s2 為重力力口速度).由牛頓第二定律得m dx =-9000g

9、 x,即 m dx +9000gx=0dt2dt2這是一個二階常系數齊次方程，滿足初始條件x(0)=xo, x (0)=0 .其特征方程為r2+9000 =0,特征根為“=_ 9000g i,通解為 mm一、c 19000g 5 . 19000g ,x( t)= Cicos f t+C2sin n t.由周期T=9000gmc 加/曰 9000g=2,解得旦=n ,mm = 9000g2JI之8937(kg).所以x(t尸CicosM+CzsinE.由初始條件，得 Ci=x(0)=xo, Cz= x (0) =0,所以物體的位移規律為x(t)=xocosm.Ji例6在例3的電路上，若再串接一個

10、的電容C,且 R2-1L0,C第5題圖(電路中電阻較小或電容較小 ).求合上開關后電路上電流的變化的 一般形式.S圖8-7解 以Q(t)表示電路上流動的電量，則由電學知識，電容兩2 .端的電動勢為 Ec=1q；電感兩端的電動勢El= Ld-= Ld_Q ;Cdt dt 2電阻兩端的電動勢 ER=Ri=RdQ_.據回路電壓定律，有dt22 -Ld-Q-+ RdQ-+lQ=E0Sin6t,或 dQ- + -R- - + Q=- sincct,(3)dt 2dt Cdt2 L dt CL L方程(3)是二階線性常系數的，對應的特征方程為r2+Rr+工=0,特征根 ri = (- R- Jr2 -4

11、)， r2= (- R+. R2 -4 ) - L CL2L . C 2LC因為R2- 4L 0,所以(3)對應的齊次方程的通解為 C士t1 R cQ (t)= e(Cisin.()2 t+C2cosCL 2L設Q*(t)為(3)的一個特解，據公式可得*，、，匚 CQ (t)= jVt jEsinst Ldtldt .應用積分公式ax ax . .e e sin bxdx = 2 (a sin bx - b cosbx) Ca baxax .e .、一fe cosbxdx = 22 (bsinbx +a cosbx )+C，a b*-可得Q (t)=- E0 2 上蟲(2 sin t cos

12、-t)dtL( 1 r2 )-0L(-2 r22)(-2 ri2)r2(-risin t- -cos t)+ ( sin -t-ricos ,t)2 E 0 22 KLd)F )( -i)，2-cr2)sin t-，(ri+2)cos tE2 1R=-0 ( ，) sin t+ cos tL(，2 r22)( 一 - ri2)CLL=-E0( - 2- ) sin，t+ R cos .tL( 2 W)2(LR)2 CLL即 Q (t) =-E0 sin( M+叼,tang望.L( 2 -C)2(-LR)24/ T所以方程(3)的通解為(4)Q(t尸 et(Cisin1 _( R )2 t+C2

13、cos1 .( R )2 t)CL 2LCL 2L- E0丁 sin( cot+中).L(7 -cL)2( lR)T根據i=dQ_,即得電路上電流變化的一般形式為 dti(t尸 e中( C3sin 1 -( R )2+C4cos1 _(R)2t)CL 2 LCL 2L- E0r cos( 0t+ 9 ,L( 2 -ct)2(lR)22其中 岫(3)確定.且 C3 = -RC1 -C2J-( )2 ,C 32L2 CL2LRC 2cc )2習題8-51. 一曲線過點(1,1),且曲線上任意點 M(x, y)處的切線與過原點的直線OM垂直，求此曲線方程.2 .設質量為m的降落傘從飛機上下落后，所受空氣阻力與速度成正比, 機時(t=0)速度為零.求降落傘下落的速度與時間的函數關系.3 .設火車在平直的軌道上以16m/s的速度行駛.當司機發現前方約時，立即以加速度-0.8 m/s2制動(剎車).試問：(1)自剎車后需經多長時間火車才能停車？(2)自開始剎車到停車，火車行駛了多少路程？4太陽能熱水器加熱水時，在某時間段水溫