1、學科：數學平行四邊形的識別【學習目標】i.利用圖形的旋轉和簡單的推理掌握平行四邊形的簡單識別方法.2.能綜合運用平行四邊形的特征與識別方法來解決實際問題.【基礎知識概述】1 .平行四邊形的識別方法：(1)定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.(2)方法1:兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.(3)方法2:兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.(4)方法3:對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.(5)方法4: 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.注意：識別四邊形為平行四邊形有五種方法選擇，應根據具體條件而定；“平行且相等”用符號與表示.2 .平行四邊形識別方法的選擇：已知條件選擇的識別

2、方法邊一組對邊相等方法2或方法4一組對邊平行定義或方法4角一組對角相等方法1對角線方法33 .平行四邊形知識的運用：(1)直接運用平行四邊形特征解決某些問題，如求角的度數，線段的長度，證明角相等或互補，證明線段相等或倍分等.(2)識別一個四邊形為平行四邊形，從而得到兩直線平行.(3)先識別一個四邊形是平行四邊形，然后再用平行四邊形的特征去解決某些問題.4 .平行四邊形作圖：(1)常見的平行四邊形的作圖：已知兩鄰邊和夾角作平行四邊形.已知一邊、一條對角線及它們夾角作平行四邊形.已知一邊和兩條對角線作平行四邊形.已知兩鄰邊和一條對角線作平行四邊形.已知一邊和一個內角以及過這個角頂點的一條對角線作平

3、行四邊形.(2)完成圖形的關鍵步驟：先由條件作出它們能確定的三角形.然后再將三角形補成平行四邊形.注意：作圖前要先畫草圖，然后根據草圖決定先畫什么，再畫什么.四邊形的作圖基本上都是先畫三角形，再補成平行四邊形， 這也體現了將四邊形知識化歸成三角形問題的思想方法.【例題精講】例1 如圖12-1-14所示，已知 U7ABCD中，E, F分別是AD , BC的中點，AF與EB交 于G, CE與DF交于H,試說明四邊形 EGFH為平行四邊形.圖 12-1-14分析：本題考查平行四邊形的識別，那么多的識別方法中，選擇哪一種呢？考慮到D4EC口及中點，易知四邊形 AFCE和EBFD都是平行四邊形，從而 G

4、E / FH, GF / EH ,如 若采取先確定識別方法，再找條件將會使解題復雜化.解：在口AECD中，AD JLBC ,已知E, F分別為AD , BC的中點，所以AEj/FC , EDLBF ,所以四邊形 AFCE、EBFD都是平行四邊形.所以 AF / EC, BE / FD ,即GF / EH, GE/ FH.所以四邊形 EGFH為平行四邊形.說明：本題是由定義判定平行四邊形，在判定四邊形為平行四邊形時，要充分利用已知條件選擇判定方法.例2如圖12-1-15, OABCD,以AC為邊長在其兩側各作一個正 ACP和AACQ,試 說明四邊形BPDQ是平行四邊形.p解： OABCD, .A

5、B / CD, Z 1 = Z 2. ACP和 ACQ是正三角形， .PA=QC, / PAC=/ QCA = 60° ,PA/ QC,.四邊形PCQA是平行四邊形， PQ與AC平分. AC與PQ互相平分，BD與PQ互相平分, 四邊形BPDQ是平行四邊形.思考：能否通過兩組對邊分別相等得到結論.提示：能.易證 PAB與 QCD重合，PB=QD,同理 PD=QB. 四邊形BPDQ是平行四邊形.注意：合理選擇平行四邊形的識別方法.例3 已知四邊形 ABCD中，AC交BD于點O,如果只給出條件“ AB / CD"，那么還不能判定四邊形 ABCD為平行四邊形，給出以下四種說法:如果

6、再加上條件" BC=AD"，那么四邊形 ABCD 一定是平行四邊形.如果再加上條件"/ BAD =/ BCD"，那么四邊形 ABCD 一定是平行四邊形.如果再加上條件" AO=OC"，那么四邊形 ABCD 一定是平行四邊形.如果再加上條件"/ DBA=Z CAB"，那么平行四邊形 ABCD 一定是平行四邊形.其中正確的說法是（）.A.和B.、和C.和D.、和解：用逐個篩選法.關于，由于 AB / CD,知/ ABD = / CDB ,如果 AD = BC及DB = BD , 一般不能得到4ABD與 CDB重合，或者

7、 ABD與 CAD重合，這樣證對邊相等缺少充足理由.關于，由 AB / CD,知/ ABD = / CDB ,如果/ BAD = / BCD ,再用 BD = DB ,可得 ABD 與 CDB 重合，于是 AB = DC , ABJLDC ,故得 6BCD.關于，由 AB/CD 知，/OAB=/OCD, / OBA = / ODC ,若 AO = OC ,則 AOB與 COD重合，于是AB = DC ,即AB=DC ,故得 6ECD.關于，由/ DBA =/ CAB ,知OA=OB,又AB / CD知/ DBA =Z BDC ,同理也會有OC=OD,但OA不一定等于 OC,如12-1-16就是

8、一個反例.圖 12-1-16綜上所述，知正確，應選 C.例4 如圖12-1-17,在 U7ABCD中，點 E、F在AC上，且 AF = CE,點G、H分別在AB分.CD 上，且 AC = CH, AC 與 GH 相交于點 O,試說明(1)EG/FH; (2)GH、EF互相平圖 12-1T7分析： 要證EG/FH,需證/ GEO = /HFO,要證/ GEO = Z HFO,需證/ AEG = Z CFH,故先證 AGE與 CHF完全重合.(2)要證GH、CF互相平分，需證四邊形 GFHE是平行四邊形.解： 四邊形ABCD是平行四邊形,AB / CD, ./ BAC = / DCA . AF =

9、 CE,AE = CF.AG = GH,AGE 與ACHF 重合.(2)連結 GF、EH,.GE平行且等于 FH,四邊形GFHE是平行四邊形，GH、EF互相平分.線段相等或倍分，兩注意：用平行四邊形的識別方法和特征可解決有關的相等或互補,直線平行等問題，一般是先判定一個四邊形是平行四邊形，然后用平行四邊形的性質解決有關問題.【中考考點】本節要求大家會用平行四邊形的識別方法解決有關問題，并能和特征結合證題.【命題方向】本節多以填空題、證明題、綜合題形式出現.【常見錯誤分析】錯誤：對角線平分的四邊形是平行四邊形.誤區分析：錯誤在“對角線平分”不夠準確，詞意含糊，不知兩條對角線是怎么平分，應該改為“

10、對角線互相平分” .正解：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.【學習方法指導】平行四邊形的特征與識別表，對應記憶更有利于理解和區分.用r RQ【同步達綱練習】、填空題1 .四邊形任意相鄰兩個內角都互補，那么這個四邊形是 .2 .OABCD 中，AB=2,BC = 3, /B、/C 的平分線分別交 AD 于 E、F,貝 U EF =.3 . 一個四邊形的邊長依次是a、b、c、d,且a2 +b2 +c2+d2 =2ac + 2bd ,則這個四邊形是.4 .把邊長為4cm、5cm、6cm,兩個完全重合的三角形拼成四邊形，一共能拼成 種不同的四邊形，其中有 個平行四邊形.5 .在OABCD中，如果/

11、A的余角比/ B的補角大10° ,那么/ A =, /B6 .分別過 ABC的頂點作它的對邊的平行線，圍成 A' B' C',已知AA' B' C'的周長為4 cm,則 ABC的周長為 .二、選擇題7 .能判定四邊形 ABCD是平行四邊形的題設是（）.A . AB / CD , AD = BCB. ZA = ZB, ZC=ZDC. AB =CD, AD = BCD. AB = AD , CB = CD8 .下列條件中能判斷四邊形是平行四邊形的是（）.A. 一組對角相等B.兩條對角線互相垂直C.兩條對角線互相平分D. 一對鄰角和為180&

12、#176;三、解答題9 .在OAECD中，點E、F在AC上，且AF = CE,點G、H分別在 AB、CD上，且AG= CH, AC與GH交于O,試說明GH、EF互相平分.10 .畫平行四邊形，使兩條對角線長分別為10 cm, 8 cm, 一邊長為7cm.CBF,11 .如圖12-1-19,在 DAECD中，e是ab上一點，F是CD上一點，且/ ADE = /四邊形BFDE也是平行四邊形嗎？試說明理由.圖 12-1-19DF /12 .在等腰 ABC中，AB=AC, D為底邊 BC上一點，DE/AC交AB于E,AB交AC于F,試說明AB = DE + DF .13 .如圖12-1-20,在 OA

13、BCD中，/ BAD和/ BCD的平分線分別交 BC、AD于E、F,且分別交DC、BA的延長線于G、H,除U7AECD外，指出圖中其余的平行四邊形.并說明理由.9.略.10.略.14 .如圖12-1-21,田村有一口呈四邊形的池塘，在它的四個角處種有一棵大核桃樹,田村準備開挖池塘養魚池，想池塘面積擴大一倍， 又想保持核桃樹不動， 并要求擴建后的池若不能，請塘成平行四邊形形狀， 請問田村能否實現這一設想？若能請你設計并畫出圖形;說明理由.圖 12 1 2115 .如圖12-1-22,已知四邊形 ABCD是平行四邊形，CE / BD , EFLAB于點F, E、，1,D、A在一條直線上，那么有 DF=AE.請你說明理由.DC圖 12-1-22請海定作業后用曾答臬！參考答案【同步達綱練習】一、1. 平行四邊形2. 13. 平行四邊形4. 6, 35. 40° ; 140°6. 2 cm二、7. C 8. C11 .提示：證 ADE與4CFB重合,可得 DE=BF, AE = CF. ABCD為平行四邊形，AB = DC,，BE=DF,四邊形BFDE也是平行四邊形.12 .由已知四邊形 AEDF為平行四邊形，4EBD為等腰三角形，則DF = AE, DE=BE,所以 AB = AE + BE = DE