1、問題描述某商場銷售的某種商品。市場上這種商品的銷售速率假設是不變的，記為r ; 每次進貨的訂貨費為常數g與商品的數量和品種無關；使用自己的倉庫存儲商品 時，單位商品每天的存儲費用記為c2，使用租借的倉庫存儲商品，單位商品每天 的存儲費用記為C3，且C2豈C3 ；允許商品缺貨，但因缺貨而減少銷售要造成損失， 單位商品的損失記為C4 ;每次訂貨，設貨物在x天后到達，交貨時間x是隨機的； 自己的倉庫用于存儲該商品的最大容量為 Q0，每次到貨后使這種商品的存儲量 q補充到固定值Q為止，且Qo : Q ;在銷售過程中每當存儲量q降到L時即開始 訂貨。建立單種商品總損失費用達到最低的訂貨點 L* （最優訂

2、貨點）的數學模型。問題分析本題所研究的主要對象就是由消費者、商場、供貨方三方組成的一個消費鏈。 其示意圖見圖1。圖.1消費鏈示意圖如圖中所示，在實際生活中消費者與商場的相互作用決定了商品的消費速率 r，供貨方與商場的相互作用決定了到貨時間 x，而且兩者應該均為隨機變量。 在考慮以上兩種隨機變量的影響的情況下， 根據商場所掌握的數據如每次訂貨的 訂貨費用Ci，倉庫存儲費用C2、C3，缺貨情況下單位商品每天的損失 C4以及存 儲商品的最大容量Qo、Q等參數，確定最佳訂貨點L*。模型的假設和符號說明模型的假設 訂貨點L的取值范圍為：0,Q】。 到貨天數x為離散型隨機變量，且x0，當x：0時，令其概率

3、px =0 訂貨周期包括從周期開始到訂貨日期和從訂貨日期到貨到日期兩部分組成， 即訂貨周期T二 x。并且每次貨到時，均將貨存量加到 Q。 商品存儲時，首先存儲滿自己倉庫然后，再存儲到租借倉庫。 商品銷售時，首先銷售完租借倉庫商品，再銷售自己倉庫商品。 在商品的存儲與銷售過程中，兩種倉庫的商品在使用上是連續的。即當商品 存滿自己倉庫后，立即存入租借倉庫；當租借倉庫商品售完后，立即出售自 己倉庫商品。 計算缺貨損失時，缺貨量采用累計計算方法。即前一天缺貨量自動累計到下 一天，而不是當作常量來處理。模型的符號說明r某種商品的銷售速率，即每天銷售某商品的數量ci每次訂貨的訂貨費用C2單位商品在自己倉庫

4、中每天的存儲費用C3單位商品在租借倉庫中每天的存儲費用C4缺貨情況下單位商品每天的損失Qo自己倉庫用于存儲商品的最大容量Q商品的總存儲量（自己倉庫最大存儲量與租借倉庫最大存儲量之和 ）q任意時刻倉庫中商品的存儲量L訂貨點，即訂貨時倉庫中商品存儲量L*使總損失費達到最低的最優訂貨點T訂貨周期C周期商品存儲總費用，包括商品儲存費和缺貨時損失費C周期內商品平均存儲費用Tx到貨天數，即從訂貨點時刻到貨到時的時間間隔px隨機變量x所對應的概率E C周期商品總平均存儲費用數學期望T模型的建立本問題的建模思路：首先，根據題目所給條件以及本文假設條件得到倉庫商品的幾種存儲狀態示意圖；然后，對于我們得到的商品存

5、儲各個不同狀態， 導出 一個周期內商品庫存總費用表達式以及該周期內商品庫存平均總費用表達式； 最 后，根據得到的商品庫存平均費用表達式求得目標函數表達式， 并建立求解最低 的訂貨點L*的方法。 內倉庫商品存儲狀態示意圖的得到根據問題所給條件：某種商品的銷售速率r為一恒定值，可以容易得到一周 期內倉庫商品存儲量q隨時間變化的直線方程：q=Q-rt。依據本文假設得到 訂貨點L的取值范圍為：0,Q，由于到貨天數x為隨機變量，容易分析出商品存 儲狀態示意圖應該包括三種情況（見圖.2）: 貨到時，商品庫存量q介于Qo與Q之間。此時訂貨周期T : Q - Qo ,依假 r設訂貨周期T二 匸丄x，整理得此時

6、L的取值范圍為：L Qo rx ;r 貨到時，商品的庫存量q介于0與Qo之間。此時訂貨周期 色9 汀，整理得到此時L取值范圍為：rx乞L乞Qo r ;rrr 貨到時，商品的庫存量為零，即處于缺貨狀態。此時訂貨周期 Tx Q，整理得此時L的取值范圍為：L ： rx。根據上述三種情況分rr別畫圖即可得到倉庫商品存儲狀態示意圖。4貨到時倉庫貨存量介于與Q之間b貨到時倉庫貨存量介于Q與之間圖.2不同情況倉庫商品存儲狀態示意圖商品存儲費用表達式的得到圖.2中a,b,c圖分別表示了 L在不同取值范圍情況下一個周期內商品庫存量 的變化情況，圖中陰影部分的面積與其相應權重 期內商品庫存總費用C,表達式如下：；

7、Q°dt C3 q -Qo dt，t3t4,Qodtc2. qdt0t3t3t*c1c2L Qoc1c2CiC2tC3，o0oq - Qo0 Qodt C2qdt C3q 一 Qo（C2,C3或C4）的乘積和即為一周rxdt， rx - L - Qodt +c4 乂 * qdt，rxL : rx經積分得到如下結果:2LQ0rxC Q0 Q-L rxc3Q-L rxr2r2c2L - rx-2r，丄 C4"L_rx 22r'rx 乞 L 乞 Qo rxL ： rx2Q xQo x (2Q Qo ) C3 x (Q Qo ) C =+2r2r2 c jC2 xQo X(

8、2Q _Qo )丄 C3 X(Q Qo ) G +2r2r 由此，可以得到一周期內的平均費用 C，將周期的表達式T = QL x代入Tr方程組，并整理可得：亠二 C2 Qo C3L rx，L Qo rxQ - L rx亠2，rx 蘭 L 蘭 Qo + rx 2 Q-L rx 2 Q-L rxc" L_rx ,L . rx2 Q - L rxC2 Qo 2Q -'QoC3Q-'QoC2L - rx-2+2 Q - L rxQ-L rx2 Q-L rxC1 rC2 Qo 2Q - QoC3Q - Q°Q-L rx2 Q-L rx 為了方便起見，我們令rx,即rg

9、ix 二亠C2 QoC3L rx，L QoQ -L rx2護丄一"，XL 蘭Qo+rx,2(X)_ C1 疋 r + Q 沃 Qo(2Q - Qo ) + C3 X (Q -Qo ) g2XQ|_+rx2 匯(QL+rx)2><(Q L + rx) 2 匯(Q L + rx)即 L - QoLrrt iCi"丄 C2 "<Qo（2Q Qo ）丄 C3 "Q Qo f 丄 C4UL rxf曲Lg3 x， L rx,即x Q-L rx 2 Q-L rx 2 Q - L rx 2 Q - L rxr目標函數的建立及優化由題目給出x為離散隨機變

10、量，更切合實際的平均費用應為一周期內平均費用的數學期望E C。所以題目所要求解的最低訂貨點L*即為使E C取最小值It丿It丿所對應的L值，即目標函數應為minE C。由本文假設可知訂貨點L的取值范圍為0,Q 1,那么函數g x定義域跨越了 0點，此時應分為兩種情況描述E CI.當 Q° 乞 L zQ 時，0 ：xrLr此時，EL_Q0<T-be卜送 gi% y pg)+ z gzg W p(Xi)+Z g3(Xi HPx )，其中 p(x)xi 衛x L q°x lXi = X 為離散隨機變量x所對應的概率分布列。II .當 0 空 L :：: Qo 時，x ：0由

11、于離散隨機變量x（貨到天數）為非負值，由假設可知當x：0時，其概率px=O，此時,Lr亠g2 洛 p 人 ' g3 人 p Xil q。lXiXirr在實際問題中，L在其取值范圍內必定存在最優值L*使得E崗最小。此最小值應該在定義域邊界上達到或者在定義域內部達到。極小值L*，必定使EC對L的一階偏導數為零。且我們得到的其中在定義域內部達到的應如下:.:LG rL q°二 / gi 人Xj -09 x 二.:L孑點(g3(x). P人'Lxi 二r.:Lp Xi:L Q - L rx丄，：x :2L Qorg2 x =Cir：L Q - L rx 2L Q0LrrC2 Q0 2Q-Q°C3 Q-Q° 22Q-L rx22Q-L rx2C2L - rx 2Q - L22Q -L rxrx：g3 x =Cir-:LQ