1、專題一求極限的方法【考點】求極限1、近幾年來的考試必然會涉及求極限的大題目，一般為 2-3題12-18分左右，而用極限的 概念求極限的題目已不會出現。一般來說涉及到的方法主要涉及等價量代換、洛必達法則和利用定積分的概念求極限，使用這些方法時要注意條件，如等價量代換是在幾塊式 子乘積時才可使用，洛必達法則是在0比0,無窮比無窮的情況下才可使用，運用極限的四則運算時要各部分極限存在時才可使用等。2、 極限收斂的幾個準則：歸結準則(聯系數列和函數)、夾逼準則(常用于數列的連加)、 單調有界準則、子數列收斂定理(可用于討論某數列極限不存在)3、要注意除等價量代換和洛必達法則之外其他輔助方法的運用，比如

2、因式分解，分子有理 化，變量代換等等。.sin x14、 兩個重要極限lim1 lim(1)x lim(1 x)x e，注意變形，如將第二個式x 0 xxxx 01子x叫(1 x) e中的x變成某趨向于0的函數f(x)以構造“ 1 ”的形式的典型求極限題目。5、一些有助于解題的結論或注意事項需要注意總結，如：(1) 利用歸結原則將數列極限轉化為函數極限(2) 函數在某點極限存在的充要條件是左右極限存在且相等。有時可以利用這點進行解1lim ex 1題，如x 1因左右極限不相等而在這點極限不存在。(當式子中出現絕對值和e的無窮次方的結構時可以考慮從這個角度出發)(3) 遇到無限項和式求極限時想三

3、種方法： 看是否能直接求出這個和式 (如等比數列求和)再求極限 夾逼定理 用定積分的概念求解。(4) 如果f(x)/g(x)當Xix0時的極限存在，而當 Xix0時g(x)0，則當xx0時f(x)也 宀0(5) 一個重要的不等式：sinx x ( x 0)*其中方法考到的可能性較大。6、有關求極限時能不能直接代入數據的問題。7、閉區間上連續函數的性質(最值定理、根的存在性定理、介值定理)8、此部分題目屬于基本題型的題目，需要盡量拿到大部分的分數?！纠}精解求極限的方法】方法一：直接通過化簡，運用極限的四則運算進行運算【例1】求極限lim(x 1)(xm1xm21) = m1) nJim( X2

4、1, x2 x)x 1 (x 1)( xn 1主：此題通過洛必達法則進行求解也非常方便。還可通過變量代換構造等價量?！纠?】求極限lim （Jx21x.x2 x)注：1、遇到“根號加減根號”基本上有兩種方法一一有理化和采取倒變量的方法。2、一個最基本的多項式極限limxnn 1axa?xmm 1b|Xb2x色（系數均不為0）：bn 若n>m，則極限為正無窮； 若*m，則極限為0； 若n=m，則極限為a1。（本質為比較次數）b11要注意的是x是趨向于正無窮，而且分子分母遇到根號時要以根號里x的最高次的次來2計算，如 x21的次數為1。方法二：利用單調有界準則來證明極限存在并求極限例 3】設

5、 U112，un 1-'12 un(n 1,2,.),證明 lim 叫存在并求之甲n方法三：利用夾逼定理一一適用于無限項求極限時可放縮的情況【例4】求極限lim 1 1 n 2 n'3. n n1 nn n=n n n解因 1=1 n 1 1 n2 n3. n nn n而 lim仁lim 折=1nn故由夾逼定理lim 1 1 n 2 n'3 .存n n=1方法四&方法五：等價量代換、洛必達法則一一未定式極限（化加減為乘除！）【例5】nx J e e 求極限嘰tanC原式収沁）tan xex (tanx x) limx 0tan x【例6】求極限limx1x2(a

6、x1ax1)1lim x2(axx1ax 1)=limxx2ax 1 (alim x2x11 (a1)=lim x2 1xIn ax(x 1)In a【例7】求極限limx 0、1 + tanx x 1 sin xsinx x2 (3(1 x2)4 1)原式=xm0sin x x21)( 1+tanx 1 sin x)tanx sinx=limX 0.24 2 osinx x x 23limx 0xtan x(1 cosx)sin x=x叫1 4x23161 cosxcos2xcos3x 【例8】求極限limx 01 cosx解：直接運用洛必達法則和等價量代換可得1 cosx cos2x co

7、s3x lim=x 01 cosxlimsinxcos2xcos3x limx 0x4cos x sin 2x cos3xxsin xcos2xcos3x limx 0sin xsin xcos2xcos3x limx 02x2cos xs in 2xcos3x limx 0lim9cosxcos2xsin3x -x 0xsin xcos2xcos3x limx 0si nx2cos xs in 2xcos3x limx 0x4cos xs in 2xcos3x limx 02x【例9】求極限lim logx(xa xb)x解：由換底公式，limxa b ln(x x )ln xlimxaxb

8、xbbx=limx3x3cosxcos2xs in3x limx 0sin x3cosxcos2xs in3x limx 0x9cosxcos2xs in3x limx 0a | bax bxa bx x3x=1+4+9=14方法六:幕指函數求極限一一取對數再取指數【例10】limn1nsin 一nn2(1limn 1 nsin nn2=limx 1 xsin xx2limt 01sint Q【例11】limx +limx +limt 0limet 0sintsint t 0t301ln xarcta n x2(00)ln xsint t 1sint t t 孑limet 0cost 13t2

9、arcta nx2=elim:+In arcta nx2()In xlimx(一 arctanx2limx-arctanx2lime1 x21 x2【例12】求極限ximZVarc cotxex 1?注意x是趨向正無窮, 向于正無窮。但是指數此時需要先分析底數和指數分別趨向于多少，分析底數易知底數趨arccotx這個函數不是很熟，可以通過圖像先分析cotx再分析arccotx趨向于多少，最后得出結論是指數趨于0。故是一個“0 ”型，所以要用“先取對數再取指數”的方法。對于之后 arccotx的處理，若用羅比達對其求導則會發現再接下來比較難做, 這里給出一個轉化為熟悉的， 間的轉換有很深的熟悉度

10、。可等加量代換的式子的方法,方法較靈活,需要對三角函數之解原式=limxarccot x ln -xelimx=earccot xl nex 1limx1arctaA Inxex 1ln ex 1 ln xlimx=elimx=exeex 1=e?關于第三個等號左右的變化：令y arc cotx，貝Ucot y，故 tantan y1y arctan，綜上， arc cot xxarctanx方法七：運用泰勒定理求極限 適用于直接洛必達不好算時考慮的方法。【例13】求極限lim0x 0x22 2 1 x2x2(cosx ex )(cosx ex )解1+xx2x4o(x4),x 0 ,cosx

11、x22!o(x3), x 0ex2x2 0(x2),0代入原式可得,XmoH X4X方法八：通過定積分的概念來求極限【例14】求limn(&解由于此題無法直接對式子進行化簡，也無法用夾逼定理，故想到用定積分的概念來求解，即即原式=limnn2122nn2n 4 n 9n2n2lim (n11111lim2 2nn1, 211 -nnn11lim2ni 1in1n此時由定積分的概念可將上面的和式看成被積函數112 . 2,3 n1 -1 -nnf (x)在0,1上的定積分，故1 xnn2 4nn2 9_)=2 2 n n1 101 x2dx=4【例15】求極限nlim(n!)n二 lim

12、n1n(n 1)(n 2).2 療n1ilim lnn n i 1 nelim l(n!)n= limnn1n(n 1)(n 2).2 疔n1n(n 1)( n 2).2 1 n limnnlim (23n 11nnnnnn1ni1ln xdx0limnni 1ln nee.1 . z 1 2 3 lim In (-n 1 n、)ennn n nn n1(xlnx x)|o1eelimnk2 2 sin k, ln n【分析】此題看似復雜，其實仔細觀察可以發現本質仍為無限項的和式求極限，故再次想到用定積分的概念求解。故我們需要找到定積分概念中和式極限的“-”和 “ f( i) ”。 n1&qu

13、ot;”我們可以類似【例 5】，自己把這一項構造出來，而f（ J這一項不同于我們以往做n過的題目中f（ i）經常取小區間的左端點 丄或右端點 丄，而是取了中間一個點，但是無nn論如何，由于“取點的任意性”，只要能表示成f（! 1）, f（-）, f（ i）中的一種即可看作為n n到1上f （x）的定積分。1 n k2sin2 k .lim 2In1nn k 1n1112xln xdxxdx002解：原式=2 2k sink1y In yHy2入11 1入u入0n故原式=11xln xdx042 1x In x 0 o (xln x x)dx【一些核心問題&問的很多的題目】1、求極限的時候到底什么時候可以直接代進去?V1 xsin x cosx【例子1】”叫）2xsin 21 cosxcos2xcos3x 【例子2】limx 01 cosx【例子3】