1、量子力學考試題（共五題，每題20分）1、扼要說明：（a）束縛定態(tài)的主要性質(zhì)。（b）單價原子自發(fā)能級躍遷過程的選擇定則及其理論根據(jù)。2、設力學量算符（厄米算符），不對易，令i（-），試證明：（a）的本征值是實數(shù)。（b）對于的任何本征態(tài)，的平均值為0。（c）在任何態(tài)中+3、自旋/2的定域電子（不考慮“軌道”運動）受到磁場作用，已知其能量算符為+ （，>0，»）（a）求能級的精確值。（b）視項為微擾，用微擾論公式求能級。4、質(zhì)量為m的粒子在無限深勢阱（0<x<a）中運動，處于基態(tài)。寫出能級和波函數(shù)，并計算平均值，5、某物理體系由兩個粒子組成，粒子間相互作用微弱，可以忽略。

2、已知單粒子“軌道”態(tài)只有3種：()，()，()，試分別就以下兩種情況，求體系的可能（獨立）狀態(tài)數(shù)目。（i）無自旋全同粒子。（ii）自旋/2的全同粒子（例如電子）。量子力學考試評分標準1、（a），（b）各10分（a）能量有確定值。力學量（不顯含t）的可能測值及概率不隨時間改變。（b）（n l m ms）（n l m ms） 選擇定則：，0,，0 根據(jù)：電矩m矩陣元-enlmms，n l m ms02、（a）6分（b）7分（c）7分（a）是厄米算符，所以其本征值必為實數(shù)。（b）， i- i-G0（c）(+i)(-i)=2+2- (+i)(-i)=(-i)20 <2+2->0，即+3、(

3、a)，(b)各10分(a) + E，令E，則0， -0，E1-，E2當»，（1+）1/2（1+）+E1-+，E2 +（b）+0+，0，0本征值為，取E1（0）-，E2（0）相當本征函數(shù)（Sz表象）為1(0)，2(0)則之矩陣元（Sz表象）為=0，=0，E1E1（0）+-+0-E2E2（0）+4、E1， -i-i-i - 0+四項各5分5、（i），（ii）各10分（i）s0，為玻色子，體系波函數(shù)應交換對稱。有：， a c c a b c c b共6種。（ii）s，單粒子態(tài)共6種：，。任取兩個，可構(gòu)成體系（交換）反對稱態(tài)，如-體系態(tài)共有種或：，三種軌道態(tài)任取兩個，可構(gòu)成一種軌道對稱態(tài)+及

4、一種反對稱態(tài)-，前者應與自旋單態(tài)x00相乘，而構(gòu)成體系反對稱態(tài)，共3種。后者應與自旋三重態(tài)x11， x10 ，x1-1相乘而構(gòu)成體系反對稱態(tài)，共339種。但軌道對稱態(tài)還有型，共3種型，各與自旋單態(tài)配合，共3種體系態(tài)，故體系態(tài)共3+3+915種。 量 子 力 學 習 題第一章 緒論 1.1 由黑體輻射公式導出維恩位移定律：能量密度極大值所對應的波長lm與溫度T成反比，即lmT=b(常量）；并近似計算b的數(shù)值，準確到二位有效數(shù)字。 1.2 在0K附近，鈉的價電子能量約為3eV，求其德布羅意波長。 1.3 氦原子的動能是E=3kT/2（k為玻耳茲曼常數(shù)），求T=1K時，氦原子的德布羅意波長。 1.4

5、 利用玻爾索末菲的量子化條件，求：（1）一維諧振子的能量；（2）在均勻磁場中作圓周運動的電子軌道的可能半徑。 已知外磁場H=10特斯拉，玻爾磁子MB=9×10-24焦耳/特斯拉，試計算動能的量子化間隔DE，并與T=4K及T=100K的熱運動能量相比較。 1.5 兩個光子在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為正負電子對。如果兩光子的能量相等，問要實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，光子的波長最大是多少？第二章 波函數(shù)和薛定諤方程 2.1 由下列兩定態(tài)波函數(shù)計算幾率流密度： (1) y1=eikr/r, (2) y2=e-ikr/r.從所得結(jié)果說明y1表示向外傳播的球面波，y2表示向內(nèi)（即向原點）傳播的球面波。 2.2 一粒

6、子在一維勢場中運動，求粒子的能級和對應的波函數(shù)。 2.3 求一維諧振子處在第一激發(fā)態(tài)時幾率最大的位置。 2.4 一粒子在一維勢阱中運動，求束縛態(tài)(0<E<U0)的能級所滿足的方程。 2.5 對于一維無限深勢阱(0<x<a)中的定態(tài)yn(x)，求、和Dx，并與經(jīng)典力學結(jié)果比較。 2.6 粒子在勢場中運動，求存在束縛態(tài)(E<0)的條件(，m，a，V0關(guān)系)以及能級方程。 2.7 求二維各向同性諧振子V=k(x2+y2)的能級，并討論各能級的簡并度。 2.8 粒子束以動能E=從左方入射，遇勢壘求反射系數(shù)、透射系數(shù)。E<V0及E>V0情形分別討論。 2.9 質(zhì)

7、量為m的粒子只能沿圓環(huán)（半徑R）運動，能量算符，j為旋轉(zhuǎn)角。求能級(En)及歸一化本征波函數(shù)yn(j)，討論各能級的簡并度。第三章 基本原理 3.1 一維諧振子處在基態(tài)，求： (1) 勢能的平均值； (2) 動能的平均值； (3) 動量的幾率分布函數(shù)。 3.2 設t=0時，粒子的狀態(tài)為y(x)=Asin2kx+coskx，求此時粒子的平均動量和平均動能。 3.3 在一維無限深勢阱中運動的粒子，勢阱的寬度為a，如果粒子的狀態(tài)由波函數(shù)y(x)=Ax(a-x)描寫，A為歸一化常數(shù)，求粒子能量的幾率分布和能量的平均值。 3.4 證明：如歸一化的波函數(shù)y(x)是實函數(shù)，則<x px>=i/2

8、；如y=y(r)（與q，j無關(guān)），則<r>= -3/2。 3.5 計算對易式x, Ly，pz, Lx，并寫出類似的下標輪換式(x®y, y®z, z®x)。 3.6 證明算符關(guān)系 3.7 設F為非厄米算符(F+¹F)，證明F可以表示成A+iB的形式，A、B為厄米算符。求A、B與F、F+之關(guān)系。 3.8 一維諧振子(V1=kx2)處于基態(tài)。設勢場突然變成V2=kx2，即彈性力增大一倍。求粒子在V2場中的能級以及此粒子在新勢場的基態(tài)中出現(xiàn)的幾率。 3.9 有線性算符L、M、K，L, M=1，K=LM。K的本征函數(shù)、本征值記為yn、ln (n=1,

9、 2, .)。證明：如函數(shù)Myn及 Lyn 存在，則它們也是K的本征函數(shù)，本征值為(ln±1)。 3.10 證明：如H=/2m+V()， 則對于任何束縛態(tài)<>=0。 3.11 粒子在均勻電場中運動，已知H=/2m-qex。設t=0時=0，=p0，求(t)，(t)。 3.12 粒子在均勻磁場=(0, 0, B)中運動，已知H=/2m -wLz，w=qB/2mc。設t=0時<>=(p0, 0, 0)，求t>0時<>。 3.13 粒子在勢場V()中運動，V與粒子質(zhì)量m無關(guān)。證明：如m增大，則束縛態(tài)能級下降。第四章 中心力場 4.1 證明氫原子中電子

10、運動所產(chǎn)生的電流密度在球極坐標中的分量是Jer=Jeq=0,Jej= -。 4.2 由上題可知，氫原子中的電流可以看作是由許多圓周電流組成的。 (1) 求一圓周電流的磁矩。 (2) 證明氫原子磁矩為 原子磁矩與角動量之比為 這個比值，稱為回轉(zhuǎn)磁比率。 4.3 設氫原子處于狀態(tài)求氫原子能量、角動量平方及角動量z分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學量的平均值。 4.4 利用測不準關(guān)系估計氫原子的基態(tài)能量。 4.5 對于類氫離子的基態(tài)y100，求概然半徑（最可幾半徑）及。 4.6 對于類氫離子的ynlm態(tài)，證明<T>= -<V>= -En。 4.7 對于類氫離子的基態(tài)

11、y100，計算Dx, Dpx，驗證不確定關(guān)系。 4.8 單價原子中價電子（最外層電子）所受原子實（原子核及內(nèi)層電子）的庫侖作用勢可以近似表示成試求價電子能級。與氫原子能級比較，列出主量子數(shù)n的修正數(shù)公式。提示：將V(r)中第二項與離心勢合并，記成，計算()之值，.。第五章 表象理論 5.1 設|yn>，|yk>是厄米算符的本征態(tài)矢，相應于不同的本征值。算符與對易。證明<yk|F|yn>=0。 5.2 質(zhì)量為m的粒子在勢場V(x)中作一維運動，設能級是離散的。證明能量表象中求和規(guī)則 (l為實數(shù))。 5.3 對于一維諧振子的能量本征態(tài)|n>，利用升、降算符計算<

12、T>、<V>、Dx、Dp。 5.4 設為角動量，為常矢量，證明,·=i× 5.5 對于角動量的態(tài)（, Jz共同本征態(tài)），計算Jx、Jy、Jx2、Jy2等平均值，以及DJx、DJy。 5.6 設（單位矢量）與z軸的夾角為q，對于角動量的態(tài)，計算<Jn>（即·的平均值）。 5.7 以表示，Lz共同本征態(tài)矢。在l=1子空間中，取基矢為, 建立，Lz表象。試寫出Lx及Ly的矩陣表示（3階），并求其本征值及本征態(tài)矢（取=1）。 *5.8 對于諧振子相干態(tài)(a=a, a為實數(shù))，計算，。第六章 微擾理論 6.1 如果類氫原子的核不是點電荷，而是半

13、徑為r0，電荷均勻分布的小球，計算這種效應對類氫原子基態(tài)能量的一級修正。 6.2 轉(zhuǎn)動慣量為I、電偶極矩為D的空間轉(zhuǎn)子在均勻電場e中，如果電場較小，用微擾法求轉(zhuǎn)子基態(tài)能量的二級修正。 6.3 設一體系未受微擾作用時只有兩個能級E01及E02，現(xiàn)在受到微擾的作用。微擾矩陣元為H12=H21=a, H11=H22=b; a, b都是實數(shù)。用微擾公式求能量至二級修正值。 6.4 一電荷為e的線性諧振子受恒定弱電場e作用，設電場沿正x方向： (1) 用微擾法求能量至二級修正； (2) 求能量的準確值，并和(1)所得結(jié)果比較。 6.5 設在t=0時，氫原子處于基態(tài)，以后由于受到單色光的照射而電離。設單色

14、光的電場可以近似地表示為esinwt，e及w均為常量；電離后電子的波函數(shù)近似地以平面波表示。求這單色光的最小頻率和在時刻t躍遷到電離態(tài)的幾率。 6.6 基態(tài)氫原子處于平行板電場中，若電場是均勻的且隨時間按指數(shù)下降，即求經(jīng)過長時間后氫原子處在2p態(tài)的幾率。 6.7 計算氫原子由第一激發(fā)態(tài)到基態(tài)的自發(fā)發(fā)射幾率。 6.8 求線性諧振子偶極躍遷的選擇定則。 6.9 粒子（質(zhì)量m）在無限深勢阱0<x<a中運動，處于能量本征態(tài)yn(x)。后受到微擾作用，H=lx, (a) 求躍遷選擇定律(yn®yn，n-n=?)； (b) 利用定態(tài)微擾論，求能級En的一級修正。 6.10 用變分法求

15、氫原子(V=-e2/r) 或三維各向同性諧振子(V=mw2r2)的基態(tài)能量近似值（二者選一）。 (a) 取試探波函數(shù)為y(l, r)=Aexp(-lr); (b) 取試探波函數(shù)為y(l, r)=Bexp(-l2r2)。 6.11 質(zhì)量為m的粒子在勢場V(x)=kx4 (k>0)中作一維運動。試用變分法求基態(tài)能量近似值。建議取試探波函數(shù)y(l, r)=Aexp(-l2r2)。 6.12 某量子力學體系處于基態(tài)y1(x)。t>0后受到微擾作用，H(x,t)=F(x)e-t/t，試證明：長時間后(t>>t)該體系處于激發(fā)態(tài)yn(x)的幾率為第七章 自旋 7.1 證明。 7.2

16、 求在自旋態(tài)中，和的測不準關(guān)系： 7.3 求及的本征值和所屬的本征函數(shù)。 7.4 求自旋角動量在(cosa，cosb，cosg)方向的投影的本征值和所屬的本征函數(shù)。 在這些本征態(tài)中，測量有哪些可能值？這些可能值各以多大的幾率出現(xiàn)？的平均值是多少？ 7.5 設氫原子的狀態(tài)是 (1) 求軌道角動量z分量和自旋角動量z分量的平均值； (2) 求總磁矩 (SI)的z分量的平均值（用玻爾磁子表示）。 7.6 求電子的總角動量算符，Jz的共同本征函數(shù)。 7.7 在Sz表象中，證明。 7.8 對于電子的, 證明（取） 7.9 電子的總磁矩算符是對于電子角動量的l j j態(tài)(mj=j)計算mz的平均值(結(jié)果用量子數(shù)j表示出來)。第八章 多粒子體系 8.1 一體系由三個全同的玻色子組成，玻色子之間無相互作用。玻色子只有兩個可能的單粒子態(tài)。問體系可能的狀態(tài)有幾個？它們的