1、第八章計數原理、概率與統計第 45 講分類加法計數原理與分步乘法計數原理、排列與組合基本問題1 .理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理；會用分類加法計數原理或分步乘法計數原理分析和解決一些簡單的實際問題.2 .理解排列、組合的概念；能利用計數原理推導排列數公式、組合數公式；能解決簡單的實際問題.【基礎檢測】1 .圖書館的一個書架有三層，第一層有 3 本不同的數學書，第二層有 5 本不同的語文知識體系【P96】應用稅率統jrjr【學習目夯實基礎【P96書，第三層有 8 本不同的英語書，現從中任取一本書，不同的取法有A.12B.16C.64D120【解析】由于書架上有 3+5+8=16 本書，則

2、從中任取一本書，共有 16 種不同的取法.【答案】B2 .火車上有 10 名乘客，沿途有 5 個車站，乘客下車的可能方式有（）A.105種 B.51種C.50 種 D.以上都不對【解析】每個乘客都有 5 種不同下車方法，相互獨立，故乘客下車的可能方式有10t5X5XX5=5 種.【答案】B3 .將 2 名教師，4 名學生分成 2 個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由 1 名教師和 2 名學生組成，不同的安排方案共有（）A.8 種 B.9 種 C.10 種 D.12 種【解析】分 3 步進行：為甲地選一名老師，有 d=2 種選法；為甲地選兩個學生，有C2=6 種選法；剩下的

3、1 名教師，2 名學生安排到乙地，有 1 種選法.則不同的安排方案共有 2X6X1=12 種.【答案】D4 .在上海高考改革方案中，要求每位高中生必須在物理、化學、生物、政治、歷史、地理 6 門學科（3 門理科學科，3 門文科學科）中選擇 3 門學科參加等級考試，小丁同學理科成績較好，決定至少選擇兩門理科學科，那么小丁同學的選科方案有種.【解析】選擇兩門理科學科，一門文科學科，有CC1=9 種；選擇三門理科學科，有 1種，故共有 10 種.【答案】105 .下列等式中成立的有.（填寫序號）Cm=庭 CTm；G+1=G+GAl2=(n+2)(n+1)虐【答案】【知識要點】1 .分類加法計數原理完

4、成一件事件有 n_類_不同的方案， 在第一類方案中有 m 種不同的方法， 在第二類方案中有優種不同的方法，在第 n 類方案中有 m 種不同的方法，則完成這件事情，共有 N=_m+m2+下+m_種不同的方法.2 .分步乘法計數原理完成一件事情需要分成 n 個不同的步驟_,完成第一步有 m 種不同的方法，完成第二步有優種不同的方法，完成第 n 步有 m 種不同的方法，那么完成這件事情共有 N=mm2mn種不同的方法.3 .分類加法計數原理與分步乘法計數原理的區別與聯系分類加法計數原理與分步乘法計數原理，都涉及完成一彳事情的不同方法的種數，它們的區別在于：分類加法計數原理與分類有關，各種方法相互獨立

5、,用其中的任一種方法都可以完成這件事；分步乘法計數原理與一分步有關，各個步驟.相互依存一只有各個步驟都完成了，這件事才算完成.4 .排列排列的定義：從 n 個不同的元素中任取 m(mcn)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從 n 個不同的元素中取出 m 個元素的一個排列.(2)排列數的定義：從 n 個不同的元素中任取 m(mcn)個元素的所有排列的個數，叫做從 n 個不同的元素中取出 m 個元素的排列數，用符號A表示.(3)排列數公式：Am=n(n1)(n2)(nm+1),這里 n,mCN*,并且mn.(4)全排列：n 個不同的元素全部取出的一個排列，叫做 n 個不同元素的一個全排列，即An

6、=n-(n-1)-(n-2)2-1=n!.于是排列數公式寫成階乘的形式為5.組合(1)組合的定義： 從 n 個不同的元素中取出 m(mcn)個元素_并成一組_,叫彳從 n 個不同的元素中取出 m 個元素的一個組合.(2)組合數的定義：從 n 個不同的元素中取出 m(mcn)個元素的所有組合的個數,叫做從 n 個不同的元素中取出 m 個元素的組合數，用C表示.n!一_CQm.規定0!1(4)組合數的性質：cm=_cn-m_；cm+1=cm+卅.組合數的計算公式Cmnnm!(nm!n(n1)(n2)(nm+1)m(m1)21,這里n,*0mCN,并且 men.Cn=1等典例剖析忤97】考點 1 分

7、類加法計數原理的應用例 1(1)從甲地到乙地每天有直達汽車 4 班，從甲地到丙地，每天有 5 個班車，從丙地到乙地每天有 3 個班車，則從甲地到乙地不同的乘車方法有()A.12 種 B.19 種 C.32 種 D.60 種【解析】分兩類：一類是直接從甲到乙；另一類是從甲經丙再到乙，可分兩步.第一類有 m=4 種方法，第二類有 n2=5X3=15 種方法，由分類計數原理可得：從甲到乙的不同乘車方法 n=n1+n2=4+15=19.【答案】B(2)數學老師從一弓測試卷的 12 道選擇題、4 道填空題、6 道解答題中任取 3 道題作分析，則在取到選擇題時解答題也取到的不同取法有種.【解析】分三類：其

8、一是選擇、填空、解答各一道，有 C；2ddi=288 種取法；其二是選擇題 2 道、填空題 0 道、解答題 1 道，有戌&=396 種取法；其三是選擇題 1 道、填空題 0 道、解答題 2道，有 C12c4d=180 種取法，綜上滿足題設的不同取法種數為 n=288+396+180=864.【答案】864(3)已知集合昨1,2,3,4,集合 A,B 為集合 M 的非空子集，若對？xCA,yCB,xy 恒成立，則稱(A,B)為集合 M 的一個“子集對”，則集合 M 的“子集對”共有個.【解析】當 A=1時，B 有 231 種情況；當 A=2時，B 有 221 種情況；當 A=3時，B 有 1種情

9、況；當 A=1,2時，B 有 221 種情況；當 A=1,3,2,3,1,2,3時，B 均有 1 種情況；所以滿足題意的“子集對”共有 7+3+1+3+3=17(個).【答案】17【點評】利用分類加法計數原理解題時 2 個注意點(1)根據問題的特點確定一個合適的分類標準，分類標準要統一，不能遺漏；(2)分類時，注意完成這件事件的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復.考點 2 分步乘法計數原理的應用例 2(1)有六種不同顏色，給如圖的六個區域涂色，要求相鄰區域不同色，不同的涂色方法共有()A.4320B.2880C.1440D.720【解析】第一個區域有 6 種不同的涂色方法，第二個區域有 5

10、種不同的涂色方法，第三個區域有4 種不同的涂色方法，第四個區域有 3 種不同的涂色方法，第六個區域有 4 種不同的涂色方法，第五個區域有 3 種不同的涂色方法，根據乘法原理得不同的涂色方法共有 6X5X4X3X3X4=4320 種.【答案】A(2)從一 1,0,1,2 這四個數中選三個不同的數作為函數 f(x)=ax2+bx+c 的系數，則可組成個不同的二次函數，其中偶函數有個(用數字作答).【解析】一個二次函數對應著 a,b,c(aw0)的一組取值，a 的取法有 3 種，b 的取法有 3 種，c 的取法有 2 種，由分步乘法計數原理知共有 3X3X2=18 個二次函數.若二次函數為偶函數,則

11、 b=0,同上可知共有 3X2=6 個偶函數.【答案】18;6(3)某出版社的 7 名工人中，有 3 人只會排版，2 人只會印刷，還有 2 人既會排版又會印刷，現從 7人中安排 2 人排版，2 人印刷，有幾種不同的安排方法.【解析】第一類：既會排版又會印刷的 2 人全不被選出，即從只會排版的 3 人中選 2 人，有 3 種選法；只會印刷的 2 人全被選出，有 1 種選法，由分步計數原理知共有 3X1=3 種選法.第二類：既會排版又會印刷的 2 人中選出 1 人，有 2 種選法.若此人去排版，則再從會排版的 3 人中選 1 人，有 3 種選法，只會印刷的 2 人全被選出，有 1 種選法，由分步計

12、數原理知共有2X3X1=6 種選法；若此人去印刷，則再從會印刷的 2 人中選 1 人，有 2 種選法，從會排版的 3 人中選 2人，有 3 種選法，由分步計數原理知共有 2X3X2=12 種選法；再由分類計數原理知共有 6+12=18 種選法.第三類：既會排版又會印刷的 2 人全被選出，同理共有 16 種選法.所以共有 3+18+16=37 種選法.【點評】利用分步乘法計數原理解題時 3 個注意點(1)要按事件發生的過程合理分步，即分步是有先后順序的.(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這件事.(3)對完成每一步的不同方法數要根據條件準確確定.考點 3 組合基本問題例

13、 3 某市工商局對 35 種商品進行抽樣檢查，已知其中有 15 種假貨.現從 35 種商品中選取 3 種.(1)其中某一種假貨必須在內，不同的取法有多少種？(2)其中某一種假貨不能在內，不同的取法有多少種？(3)恰有 2 種假貨在內，不同的取法有多少種？(4)至少有 2 種假貨在內，不同的取法有多少種？(5)至多有 2 種假貨在內，不同的取法有多少種？【解析】可以從特殊元素出發，考慮直接選取或使用間接法.(1)從余下的 34 種商品中，選取 2 種有d4=561(種)，某一種假貨必須在內的不同取法有 561 種.(2)從 34 種可選商品中，選取 3 種，有區種或者晨一 C24=C34=598

14、4(種).，某一種假貨不能在內的不同取法有 5984 種.(3)從 20 種真貨中選取 1 件，從 15 種假貨中選取 2 件有 C；0C25=2100(種).，恰有 2 種假貨在內的不同的取法有 2100 種.(4)選取2件假貨有 Cl。 種， 選取3件假貨有C35種， 共有選取方式C10C25+C35=2100+455=2555(種).至少有 2 種假貨在內的不同的取法有 2555 種.(5)選取 3 件的總數有 C35,因此共有選取方式C35-C35=6545-455=6090(種).，至多有 2 種假貨在內的不同的取法有 6090 種.【點評】組合問題常有以下兩類題型變化：6 1)“含

15、有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取.7 2)“至少”或“最多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關鍵詞的含義，謹防重復與漏解.用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理.考點 4 排列基本問題例 4 有 3 名男生，4 名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法總數.(1)全體排成一行，其中甲只能在正中間或者兩邊位置.(2)全體排成一行，其中甲不在最左邊，乙不在最右邊.(3)全體排成一行，其中男生必須排在一起.(4)全體排成一

16、行，男、女相間.(5)全體排成一行，男生不能排在一起.(6)全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變.(7)排成前后二排，前排 3 人，后排 4 人.(8)全體排成一行，甲、乙兩人中間必須有 3 人.【解析】(1)利用元素分析法，甲為特殊元素，故先安排甲.左、右、中共三個位置可供甲選擇，有A3種，其余 6 人全排列，有 A6種，由乘法原理得A3A6=2160 種.(2)位置分析法，先排最左邊，除去甲外，有 A6種，余下的 6 個位置全排有 N 種，但應剔除乙在最右邊的排法數AA5種，則符合條件的排法共有A6A!AA!=3720 種.(3)捆綁法：將男生看成一個整體，進行全排列，再與其

17、他元素進行全排列.共有 A3A5=720 種.(4)插空法：先排好男生，然后將女生插入其中的四個空位，共有 AH=144 種.(5)插空法：先排女生，然后在空位中插入男生，共有A4A5=1440 種.(6)定序排列：第一步，設固定甲、乙、丙從左至右順序的排列總數為 N,第二步，對73A一、甲、乙、丙進仃全排列，則為七個人的全排列，因此 A7=NXA?,Nl=其=840 種.(7)與無任何限制的排列相同，有 A7=5040 種.(8)從除甲、乙以外的 5 人中選 3 人排在甲、乙中間的排法有 A3種，甲、乙和其余 2 人排成一排且甲、 乙相鄰的排法有A3A2種.最后再把選出的 3 人的排列插入到

18、甲、 乙之間即可.共有 A3XA2XA3=720種.【點評】排列問題的本質就是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制主要表現在：某些元素“排”或“不排”在哪個位子上，某些元素“相鄰”或“不相鄰”.對于這類問題，在分析時，主要按照“優先”原則，即優先安排特殊元素或優先滿足特殊位子，對于“相鄰”問題可用“捆綁法”，對于“不相鄰”問題可用“插空法”.對于直接考慮較困難的問題，可以采用間接法.1.計數重復或遺漏的原因在于分類、分步的標準不清，一般來說，應檢查分類是否是按元素的性質進行，分步是否是按事件發生的過程進行.2 .排列與組合的定義相近， 它們的區別在于是否與順序有關.處理排列組合問

19、題的一般思想是先選元素(組合)，后排列，按元素的性質“分類”和按事件發生的連續過程“分步”，始終是處理排列組合問題的基本方法和原理，要注意積累分類與分步的基本技能.3 .分清問題與元素順序有關還是無關，是區分排列組合問題的原則；搞清解決問題的方法需分步還是需分類，是統計排列與組合問題總數的依據.圖走進高考P984 .(2016全國卷 H)如圖，小明從街道的 E 處出發，先到 F 處與小紅會合，再一起到【P98】方法總結位于 G 處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為（）A.24B.18C.12D.9【解析】E-有 6 種走法，F 一 G 有 3 種走法，由乘法原理

20、知，共 6X3=18 種走法.【答案】B5 .（2017天津）用數字 1,2,3,4,5,6,7,8,9 組成沒有重復數字，且至多有一個數字是偶數的四位數，這樣的四位數一共有個.（用數字作答）【解析】一個數字是偶數、三個數字是奇數的四位數有 C1C5A4=960（個），四個數字都是奇數的四位數有A5=120（個），則至多有一個數字是偶數的四位數一共有 960+120=1080（個）.【答案】10806 .（2018全國卷 I）從 2 位女生，4 位男生中選 3 人參加科技比賽，且至少有 1 位女生入選，則不同的選法共有種.（用數字填寫答案）【解析】可分兩種情況，只有 1 位女生入選，不同的選法

21、有乙戊=12（種），有 2 位女生21一入選，不同的選法有 GC4=4（種）.根據分類加法計數原理知，至少有 1 位女生入選的不同選法有 16 種.【答案】161.如圖所示，從甲地到乙地有 3 條公路可走，從乙地到丙地有 2 條公路可走，從甲地不經過乙地到丙地有 2 條水路可走.則從甲地經乙地到丙地和從甲地到丙地的走法種數分別為（）A6,8B,6,6C.5,2D.6,2=6 種;再由分類加法計數原理，可得從甲地到丙地，共有【解析】由題意, 從甲地經乙地到丙地的走法，根據分步乘法計數原理可得,共有 2X36+2=8 種走法.00A 組題【答案】A2 .若 Am=2 解，則m的值為（）A.5B.3

22、C.6D.7【解析】根據題意，若$=2Am,則有mm-1）（m-2）（m-3）（m-4）=2xm（m-1）（m-2）,即（m-3）（m-4）=2,解得：m=5.【答案】A3 .某人的手機號碼為 139Xxxxxxxx,若前六位固定， 最后五位數字是由 6 或 8 組成的， 則這樣的電話號碼的個數為（）A.20B.25C.32D.60【解析】依據題意知，后五位數字由 6 或 8 組成，可分 5 步完成，每一步有 2 種方法，根據分步乘法計數原理，符合題意的電話號碼的個數為 25=32.【答案】C4 .元旦假期，高三的 8 名同學準備拼車去旅游，其中（1）班、（2）班、（3）班、（4）班每班各兩名

23、，分乘甲，乙兩輛汽車，每車限坐 4 名同學（乘同一輛車的 4 名同學不考慮位置順序），其中（1）班兩位同學是攣生姐妹，需乘同一輛車，則乘坐甲車的 4 名同學中恰有 2 名同學是來自同一個班的乘坐方式共有（）A.18 種 B.24 種 C.48 種 D.36 種【解析】由題意，第一類，（1）班的 2 名同學在甲車上，甲車上剩下兩個要來自不同的班級，從三個班級中選兩個為 C2=3 種，然后分別從選擇的班級中再選擇一個學生為 C1C2=4種，故有 3X4=12 種；第二類，（1）班的 2 名同學不在甲車上，則從剩下的 3 個班級中選擇一個班級的兩名同學在甲車上，為 4=3 種，然后再從剩下的兩個班級

24、中分別選擇一人為 dd=4 種，這時共有 3X4=12 種.根據分類加法計數原理得，共有 12+12=24 種不同的乘車方式.【答案】B5. 4 名運動員參加 4X100 接力賽， 根據平時隊員訓練的成績， 甲不能跑第一棒， 乙不能跑第四棒，則不同的出場順序有（）A.12 種 B.14 種 C.16 種 D.24 種【解析】由于 4 名運動員四棒全排共有&=4X3X2X1=24 種，其中甲跑第一棒的種數為A3=3X2X1=6;乙跑第四棒的種數為 A3=3X2X1=6;其中甲跑第一棒， 同時乙跑第四棒的種數為 A2.則所有不同出場的順序為 H2AUA2=2412+2=14.【答案】B6 .某班舉

25、行的聯歡會由 5 個節目組成，節目演出順序要求如下：節目甲不能排在第一個，并且節目甲必須和節目乙相鄰.則該班聯歡會節目演出順序的編排方案共有種.【解析】由題意可知，甲可排在第二、三、四、五個，當甲排在第二、三、四個時，甲乙相鄰，有鹿種排法，將甲乙當做一個整體，剩下三個節目全排列，共 3XA2XA3=36 種；當甲排在第五個時，甲乙相鄰，只有一種排法，剩下三個節目全排列，共 A3=6 種.綜上，編排方案共 36+6=42 種.【答案】427 .兩人進行乒乓球比賽，先贏 3 局者獲勝，決出勝負為止，假設不會出現平局，則所有可能出現的情形（各人輸贏局次的不同視為不同情形）共有種.【解析】利用分類討論

26、法求解.由題意知比賽場數至少為 3 場，至多為 5 場.當為 3 場時，情況為甲或乙連贏 3 場，共 2 種.當為 4 場時，若甲贏，則前 3 場中甲贏 2 場，最后一場甲贏，共有 C2=3 種情況；同理，若乙贏也有 3 種情況.共有 6 種情況.當為 5 場時，前 4 場甲、乙各贏 2 場，最后 1 場勝出的人贏，共有 2d=12 種情況.由上綜合知，共有 20 種情況.【答案】208 .在 0,1,2,3,，9 這十個自然數中， 任取三個不同的數字.則組成的三位數中是 3 的倍數的有個.【解析】若組成的三位數能被 3 整除，則先把 0,1,2,3,，9,這十個自然數中分為三組：（0369）

27、;（147）;（258）.若每組中各取一個數，含 0,共有 dddA2=36 種；若每組中各取一個數不含 0,共有 01dM=162 種；若從每組中各取三個數，共有 3Al+C3&=30 種.綜上，組成的能被 3 整除的三位數共有 36+162+30=228 種.【答案】228B 組題1.某班級有 6 名同學去報名參加校學生會的 4 項社團活動.若甲，乙兩位同學不參加同一社團，每個社團都有人參加，每個人只參加一個社團，則不同的報名方案數為（）A.2160B,13200.2400D,4320【解析】每個社團都有人參加有 2 種情況，第一種，有 1 個社團有 3 人參加其于 3 個社團每個社團都是

28、 1 人參加，利用間接法，有（C6C4）,A4=384 種,第二種，有 2 個社團分別都有 2 人參加，另外 2 個社團都是有 1 人參加，利用間接法,CsCi_24有A2-C4XA=936 種,所以分類加法計數原理，可得 384+936=1320 種.【答案】B2 .四大名著是中國文學史上的經典作品，是世界寶貴的文化遺產.某學校舉行的“文學名著閱讀月”活動中，甲、乙、丙、丁、戊五名同學相約去學校圖書室借閱四大名著紅樓夢、三國演義、水滸傳、西游記（每種名著均有若干本）,要求每人只借閱一本名著，每種名著均有人借閱，且甲只借閱三國演義，則不同的借閱方案種數為.【解析】根據題意，要求甲借閱三國演義，分 2 種情況討論，乙、丙、丁、戊有 1 人與甲一起借閱三國演義，在 4 人選出 1 人，與甲一起借閱三國演義，有 4 種情況，讓剩下的三人對應剩下的三本名著，有 A3=6 種情況，則此時有 4X6=24 種不同的借閱方案；乙、丙、丁、戊中沒有人借閱三國演義，在 4 人選出 2 人，共同借閱除三國演義外的一本名著， 有 d6