1、詳細介紹循環冗余校驗碼(CRC 的基本原理是：在 K 位信息碼后再拼接 R 位的校驗碼，整個編碼長度為 N 位，因此，這種編碼又叫(N,K)碼。對于一個給定的(N,2 碼，可以證明存在一個最高次幕為 N-K=R 的多項式 G(x根據 G(x)可以生成 K 位信息的校驗碼，而 G(x)叫做這個 CRC 碼的生成多項式。校驗碼的具體生成過程為：假設發送信息用信息多項式 C(X 宸示，將 C(x 左移 R 位，則可表示成 C(x)*2 的R 次方，這樣 C(x)勺右邊就會空出 R 位，這就是校驗碼的位置。通過 C(x)*2 的 R 次方除以生成多項式 G(x 得到的余數就是校驗碼。編輯本段幾個基本概

2、念1、多項式與二進制數碼多項式和二進制數有直接對應關系： x 的最高幕次對應二進制數的最高位， 以下各位對應多項式的各幕次，有此事次項對應 1,無此幕次項對應 00可以看出：x 的最高幕次為 R,轉換成對應的二進制數有 R+1 位。多項式包括生成多項式 G(x)ffi 信息多項式 C(x)如生成多項式為 G(x)=xA4+xA3+x+h1 可轉換為二進制數碼 11011。而發送信息位 1111,可轉換為數據多項式為 C(x)=xA3+xA2+x+.12、生成多項式是接受方和發送方的一個約定，也就是一個二進制數，在整個傳輸過程中，這個數始終保持不變。在發送方，利用生成多項式對信息多項式做模 2

3、除生成校驗碼。在接受方利用生成多項式對收到的編碼多項式做模 2 除檢測和確定錯誤位置。應滿足以下條件：a、生成多項式的最高位和最低位必須為 1。b、當被傳送信息(CRCS)任何一位發生錯誤時，被生成多項式做除后應該使余數不為 00c、不同位發生錯誤時，應該使余數不同。d、對余數繼續做除，應使余數循環。3CRCK 的生成步驟1、將 x 的最高次幕為 R 的生成多項式 G(x#專換成又 t 應的 R+1 位二進制數。2、將信息碼左移 R 位，相當與對應的信息多項式 C(x)*2 的 R 次方。3、用生成多項式(二進制數)對信息碼做除，得到 R 位的余數。4、將余數拼到信息碼左移后空出的位置，得到完

4、整的 CRC 馬。【例】假設使用的生成多項式是 G(x)=xA3+x+14 位的原始報文為 1010,求編碼后的報文。解：1、將生成多項式 G(x)=xA3+x+1 專換成對應的二進制除數 1011。2、此題生成多項式有 4 位( (R+1),要把原始報文 C(x 左移 3(R)位變成 10100003、用生成多項式對應的二進制數對左移 3 位后的原始報文進行模 2 除，相當于按位異或：1010000101110001011011得到的余位 011,所以最終編碼為：1010011編輯本段生成 CRCK 的基本原理任意一個由二進制位用組成的代碼都可以和一個系數僅為0和1取值的多項式對應。例如：代

5、碼 1010111 對應的多項式為 x6+x4+x2+x+1 而多項式為 x5+x3+x2+x+1 寸應的代碼 101111。編輯本段 CRCK 集選擇的原則若設碼字長度為 N,信息字段為 K 位，校驗字段為 R 位(N=K+R)則對于 CRC 碼集中的任一碼字，存在且僅存在一個 R 次多項式 g(x),使得V(x)=A(x)g(x)=xRm(x)+r(x);其中：m(x)為 K 次原始的信息多項式，r(x)為 R-1 次校驗多項式(即 CRCK 驗和)，g(x 豚為生成多項式：g(x)=g0+g1x1+g2x2+.+g(R-1)x(R-1)+gRxR發送方通過指定的 g(x)產生 CRC 碼

6、字，接收方則通過該 g(x 怵驗證收到的 CRCk編輯本段CRCK 驗碼軟件生成方法：借助于多項式除法，其余數為校驗字段。例如：信息字段代碼為：1011001;對應 m(x)=x6+x4+x3+1假設生成多項式為：g(x)=x4+x3+1 則對應 g(xW 代碼為：11001x4m(x)=x10+x8+x7+x4 寸應的代碼記為：10110010000;采用多項式除法：得余數為：1010(即校驗字段為：1010)發送方：發出的傳輸字段為：10110011010信息字段校驗字段接收方：使用相同的生成碼進行校驗：接收到的字段/生成碼(二進制除法)如果能夠除盡，則正確，給出余數( (1010)的計算

7、步驟：除法沒有數學上的含義，而是采用計算機的模二除法，即，除數和被除數做異或運算。進行異或運算時除數和被除數最高位對齊，按位異或。1011001000071001011110100001111010000710010011110000111100007100100111000111000A11001001010則四位 CRC 監督碼就為：1010。利用 CRC!行檢錯的過程可簡單描述為：在發送端根據要傳送的 k 位二進制碼序列，以一定的規則產生一個校驗用的 r 位監督碼( (CRM),附在原始信息后邊，構成一個新的二進制碼序列數共 k+r 位，然后發送出去。在接收端，根據信息碼和CRC 碼之間

8、所遵循的規則進行檢驗，以確定傳送中是否出錯。這個規則，在差錯控制理論中稱為“生成多項式”。編輯本段代數學的一般性算法在代數編碼理論中，將一個碼組表示為一個多項式，碼組中各碼元當作多項式的系數。例如 1100101 表示為 1x6+1x5+0 x4+0 x3+1x2+0 x+1,即 x6+x5+x2+1設編碼前的原始信息多項式為 P(x),P(xW 最高幕次加 1 等于 k；生成多項式為G(x),G(x)勺最高幕次等于 r；CRC 多項式為 R(x);編碼后的帶 CRC 的信息多項式為 T(x)0發送方編碼方法：將 P(x 銖以 xr(即對應的二進制碼序列左移 r 位)，再除以G(x),所得余式

9、即為 R(x用公式表示為 T(x)=xrP(x)+R(x)接收方解碼方法：將 T(x 除以 G(x),得到一個數，如果這個余數為 0,則說明傳輸中無錯誤發生，否則說明傳輸有誤。舉例來說，設信息編碼為 1100,生成多項式為 1011,即 P(x)=x3+x2G(x)=x3+x+1 計算 CRC 的過程為xrP(x)=x3(x3+x2)=x6+x5G(x)=x3+x+1R(x)=x注意至UG(x)!i高幕次r=3,得出CRC為 010o如果用豎式除法(計算機的模二，計算過程為11101011/1100000(1100 左移 3 位)1011-11101011-10101011-00100000-

10、010 因止匕，T(x)=(x6+x5)+(x)=x6+x5+x,即1100000+010=1100010如果傳輸無誤，T(x)=(x6+x5+x/G(x)=x3+x2+x,G(x)=x3+x+1余式。回頭看下上面的豎式除法，如果被除數是 1100010,顯然在商第三個 1 時，就能除盡。上述推算過程，有助于我們理解 CRC 的概念。但直接編程來實現上面的算法，不僅繁瑣，效率也不高。實際上在工程中不會直接這樣去計算和驗證 CRC卜表中列出了一些見于標準的 CR 匾料:名稱生成多項式簡記式*應用舉例CRC-4x4+x+13ITUG.704CRC-12x12+x11+x3+x+1CRC-16x16

11、+x15+x2+18005IBMSDLCCRC-ITU*x16+x12+x5+11021ISOHDLC,ITUX.25.34/V.41/V.42,PPP-FCSCRC-32x32+x26+x23+.+x2+x+104C11DB7ZIP,RAR,IEEE802LAN/FDDI,IEEE1394,PPP-FCSCRC-32cx32+x28+x27+.+x8+x6+11EDC6F41SCTP*生成多項式的最高幕次項系數是固定的 1,故在簡記式中，將最高的 1 統一去掉了， 如 04C11DB7實際上是104C11DB7*前稱 CRC-CCITTITU的前身是CCITT備注：( (1)生成多項式是標準

12、規定的(2)CRCK 驗碼是基于將位用看作是系數為 0 或 1 的多項式，一個 k 位的數據流可以看作是關于 x 的從 k-1 階到 0 階的 k-1 次多項式的系數序列。 采用此編碼，發送方和接收方必須事先商定一個生成多項式 G(x),其高位和低位必須是 1。要計算 m 位的幀 M(x)的校驗和，基本思想是將校驗和加在幀的末尾，使這個帶校驗和的幀的多項式能被 G(x 除盡。當接收方收到加有校驗和的幀時，用 G(x 去除它，如果有余數，則 CRC 校驗錯誤，只有沒有余數的校驗才是正確的。( (3)名稱生成多項式簡記式*標準引用CRC-4x4+x+13ITUG.704CRC-8x8+x5+x4+10 x31CRC-8x8+x2+x1+10 x07CRC-8x8+x6+x4+x3+x2+x10 x5CRC-12x12+x11+x3+x+180FCRC-16x16+x