1、淺談初中數(shù)學教學中數(shù)學思想方法的滲透淮安市第一中學 包士祥內(nèi)容提要數(shù)學思想方法是數(shù)學學科的精髓，是數(shù)學素養(yǎng)的重要內(nèi)容之一，學生只有領(lǐng)會了數(shù)學思想方法，才能有效地應(yīng)用知識，形成能力，從而為解決數(shù)學問題、進行數(shù)學思維起到很好的促進作用。關(guān)鍵詞：數(shù)學思想 新課程標準 滲透正文數(shù)學課程標準在對第三學段（七九年級）的教學建議中要求“對于重要的數(shù)學思想方法應(yīng)體現(xiàn)螺旋上升的、不斷深化的過程，不宜集中體現(xiàn)”。這就要求我們教師能在實際的教學過程中不斷地發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、滲透數(shù)學思想方法。一、滲透化歸思想，提高學生解決問題的能力所謂“化歸”是指把待解決或未解決的問題，通過轉(zhuǎn)化，歸結(jié)到已經(jīng)解決或比較容易解決的問題中去，最

2、終使問題得到解決的一種思想方法。這體現(xiàn)了研究科學的一種基本思路，即把“不熟悉”遷移到“熟悉”的路子上去。我們也常把它稱之為“轉(zhuǎn)化思想”。可以說化歸思想在本教材的數(shù)學教學中是貫穿始終的。例如：在教材有理數(shù)的減法、有理數(shù)的除法這兩節(jié)內(nèi)容中，實際上教材是通過“議一議”形式使學生在自主探究和合作交流的過程中，讓學生經(jīng)歷把有理數(shù)的減法、除法轉(zhuǎn)化為加法、乘法的過程，體驗、學會并熟悉“轉(zhuǎn)化一求解”的思想方法。我們可以注意到教材在出示了一組例題后，特別用卡通人語言的形式表明“減法可以轉(zhuǎn)化為加法”、“除法可以轉(zhuǎn)化為乘法”、“除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)”。這在主觀上幫助了學生在探索時進行轉(zhuǎn)化的過程，而在學生體

3、會到成功后客觀上就滲透了學生化歸的思想。值得注意的是這個地方雖然很簡單，但我們教師不能因為簡單而忽視它，實踐告訴我們往往是越簡單淺顯的例子越能引來人們的認同，所以我們不能錯過這一絕佳的提高學生的思維品質(zhì)的機會。再如教材走進圖形世界，它實際上是“空間與圖形”的最基本部分。教材在編排設(shè)計上是圍繞認識基本幾何體、發(fā)展學生空間觀念展開的，在過程上是讓學生經(jīng)歷圖形的變化、展開與折疊等數(shù)學活動過程的，在活動中引導學生認識常見的幾何體以及點、線、面和一些簡單的平面圖形；通過對某些幾何體的主視圖、俯視圖、左視圖的認識，在平面圖形與立體圖形的轉(zhuǎn)化中發(fā)展學生的空間觀念。在七（上）教師教學參考資料用書中，教材在設(shè)計

4、思路上明確提出本章內(nèi)容的處理方法是“先空間、后平圖，再通過展開與折疊、從三個方向看數(shù)學活動進行平面圖形與立體圖形的轉(zhuǎn)化。”這就要求我們必須在授課過程中注意圖形的化歸思想滲透。我個人認為在實際操作中，因為大部分學生在小學時就積累一定的感性處理方法，我們要注意的就是將其上升為理論高度，甚至于作出一般性的總結(jié)，如“在初中階段絕大部分立體圖形的問題都可以轉(zhuǎn)化為平面圖形的問題。”又如解無理方程轉(zhuǎn)化為解有理方程，解分式方程轉(zhuǎn)化為解整式方程，解“二元”方程轉(zhuǎn)化為解“一元”方程，解多邊形問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題等等。二、滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，提高學生的數(shù)形轉(zhuǎn)化能力和遷移思維的能力數(shù)形結(jié)合思想是指將數(shù)與圖形結(jié)合

5、起來解決問題的一種思維方式。著名的數(shù)學家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微。”這就是在強調(diào)把數(shù)和形結(jié)合起來考慮的重要性。把問題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)，或者把圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，可以使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化。在教材有理數(shù)里面用數(shù)軸上的點來表示有理數(shù)，就是最簡單的數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，結(jié)合數(shù)軸表示有理數(shù)，能幫助學生較好地理解有理數(shù)的絕對值、相反數(shù)等概念，以及進行兩個有理數(shù)的大小比較。-1 a1b0例1如上圖，在數(shù)軸上的兩點A、B表示的數(shù)分別為a、b，則表示下列結(jié)論正確的是（ ）（A）（B）a-b0（C）2a+b0（D）a+b0分析：本題首先引導學生根據(jù)a、b在數(shù)軸上的

6、位置，得到a1、0b1。值得注意的是這一步所得就是由形到數(shù)的過程，應(yīng)引起學生思想上的關(guān)注。然后可以利用取特殊值的方法（如：）,一一帶入求解，從而獲得答案。這就是完全將圖形遷移到數(shù)量上來。我們也可以繼續(xù)利用圖形，在數(shù)軸上作出諸如b，2a的長度，再利用線段的長短大小、加減和差來比較（A）（B）（C）（D）四個數(shù)量關(guān)系的正確與否。容易發(fā)現(xiàn)，不管是用哪一種方法，都是把圖形和數(shù)量結(jié)合起來的解題，這種巧妙的結(jié)合可以使一些紛繁無緒，難以上手的問題獲得簡解。數(shù)形結(jié)合思想的滲透不能簡單的通過解題來實現(xiàn)和灌輸，應(yīng)該落實在課堂教學的學習探索過程中，如在相反數(shù)這節(jié)課，先從互為相反數(shù)的兩數(shù)在數(shù)軸上的特征，即它們分別位于

7、原點的兩旁，且與原點距離相等的實例出發(fā)，揭示這兩數(shù)的幾何形象。充分利用數(shù)軸幫助思考，把一個抽象的數(shù)的概念，化為直觀的幾何形象。在這種情況下給出互為相反數(shù)的定義：只有符號不同的兩個數(shù)稱互為相反數(shù)。特別地規(guī)定：零的相反數(shù)是零。顯得自然親切，水到渠成。同時也讓學生在數(shù)形結(jié)合的思想方法的引領(lǐng)下感受到了成功，初步領(lǐng)略和嘗試了它的功用，是一個非常好的滲透背景。又如，在教材平面圖形的認識（一）里我們會遇見這樣的問題：已知線段AB，在BA的延長線上取一點C使CA=3AB。（1）線段CB是線段AB的幾倍？（2）線段AC是線段CB的幾分之幾？這個題目的呈現(xiàn)方式是圖形式，而設(shè)問內(nèi)容卻是一個數(shù)量問題。若學生不畫圖，則

8、不易得到其數(shù)量關(guān)系，但學生只要把圖畫出，其數(shù)量關(guān)系就一目了然。此題的出題意圖即為數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)。再看例2：完成下列計算：1+3=？1+3+5=？1+3+5+7=？1+3+5+7+9=？根據(jù)計算結(jié)果，探索規(guī)律。* * * * * * * * * * * * *97531* * * *在這題的教學中，首先應(yīng)讓學生思考：從上面這些算式中你能發(fā)現(xiàn)什么？讓學生經(jīng)歷觀察（每個算式和結(jié)果的特點）、比較（不同算式之間的異同），歸納（可能具有的規(guī)律）、提出猜想的過程。在探索過程中可以鼓勵學生進行相互合作交流，也可以提供如下的幫助：列出一個點陣，用圖形的直觀來幫助學生進行猜想。這就是典型的把數(shù)量問題轉(zhuǎn)化到圖形中來

9、完成的題型。再如，在學習“函數(shù)”知識的時候，更是借助于函數(shù)的圖象來探討函數(shù)的知識，這是數(shù)形結(jié)合思想的最生動的應(yīng)用。所以，我們一定要通過課堂的教學、習題的講解使學生充分地理解數(shù)中有形、形中有數(shù)、數(shù)形是緊密聯(lián)系的，從而得到數(shù)形之間的對應(yīng)關(guān)系，并引導學生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法學習數(shù)學知識、解決數(shù)學問題。三、滲透分類討論的思想方法，培養(yǎng)學生全面觀察事物、靈活處理問題的能力。當被研究的問題包含多種可能的情況不能一概而論時，就要按照可能出現(xiàn)的各種情況進行分類討論，從而得出各種情況下的結(jié)論，這種處理問題的思維方法就是分類討論思想。在滲透分類討論思想的過程中，我認為首要的是分類。要能培養(yǎng)學生分類的意識，然后才

10、能在其基礎(chǔ)上進行討論。我們仔細分析教材的話應(yīng)該不難發(fā)現(xiàn)，教材對于分類的滲透是一直堅持而又明顯的。比如在有理數(shù)研究相反數(shù)、絕對值、有理數(shù)的乘法運算的符號法則等都是按有理數(shù)分成正數(shù)、負數(shù)、零三類分別研究的：在研究加、減、乘、除四種運算法則也是按照同號、異號、與零運算這三類分別研究的；而在平面圖形的認識（一）一章中，用分類討論思想進行了角的分類、點和直線的位置關(guān)系的分類、兩條直線位置關(guān)系的分類，在函數(shù)知識里將函數(shù)圖象分為開口方向向上、向下，單調(diào)遞增、遞減來進行研究。在圓中按圓心距與兩圓半徑之間的大小關(guān)系將兩圓的位置關(guān)系分成了六類。在功用上這種思想方法主要可以避免漏解、錯解，而在學生的思維品質(zhì)上則有利

11、于培養(yǎng)學生的思維嚴謹性與邏輯性。我認為在滲透分類討論思想的時候，我們還可以從學生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，緊密聯(lián)系學生的生活實際、學習實際。比如在講解“同類項”這個概念時，可出示導入題為：把下面這些實際進行分類：蛋筒、菠蘿、棒冰、蘿卜、菜椒、香蕉、白菜。在分類的時候鼓勵學生按多種類別進行分類，可以進行討論交流。學生在嘗試按種類、顏色等多種方法進行分類后，就可以非常自然的引出同類項這個概念了。學生嘗試按種類、顏色等多種方法進行分類，一方面可提供學生主動參與的機會，把學生的注意力和思維活動調(diào)節(jié)到積極狀態(tài)，另一方面可培養(yǎng)學生思維的靈活性，加速體現(xiàn)了分類的思想方法。在平面圖形的認識（一）這一章中有這樣一道題

12、：已知平面上三個點A、B、C，過其中每兩點畫直線共可以畫幾條？若平面上A、B、C、D四點呢？試分別畫圖說明。分析：過平面上三點畫直線有兩種情況：（1）三點共線時，只能畫一條直線；（2）三點不共線時，可畫三條直線；過平面上四點畫直線有三種情況：（1）四點共線時，只能畫一條直線；（2）四點中有三點共線時，可畫四條直線；（3）四點中任意三點都不共線時，可畫六條直線。再如例3：已知=3，=2，求a+b的值。解=3，=2，a=3或a=-3，b=2或b=-2。因此，對于a、b的取值，應(yīng)分四種情況討論。當a=3，b=2或a=3，b=-2或a=-3，b=2或a=-3，b=-2時，分別求出a+b的值為5；1；-

13、1；-5。這些題目都能很好的體現(xiàn)分類思想，在平時的訓練中，我們要多通過這類題的解答，滲透著分類討論的思想。通過分類討論，既能使問題得到解決，又能使學生學會多角度、多方面去分析、解決問題，從而培養(yǎng)學生思維的嚴密性、全面性。四、滲透方程思想，培養(yǎng)學生數(shù)學建模能力。方程思想指借助解方程來求出未知量的一種解題策略。運用方程思想求解的題目在中考試題中隨處可見。同時，方程思想也是我們求解有關(guān)圖形中的線段、角的大小的重要方法。如例4：已知線段AC：AB：BC=3：5：7，且AC+AB=16cm，求線段BC的長。解：設(shè)AC=3x，則AB=5x，BC=7x，因為AC+AB=16cm，所以3x+5x=16cm，解

14、得x=2因此BC=7x=14cm我們知道方程是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學模型。所以方程思想實際上就是由實際問題抽象為方程過程的數(shù)學建模思想。我們在以前老教材中經(jīng)常會提到三種模型，即方程模型、不等式模型、函數(shù)模型。實際上就是今天所說的建模的思想。那么這樣看來，方程就是第一個出現(xiàn)的數(shù)學基本模型。所以方程思想的領(lǐng)會與否直接關(guān)系到數(shù)學建模能力的大小。因此說我們對學生進行方程思想的滲透，就是對學生進行數(shù)學建模能力的培養(yǎng)，這對我們學生以后的學習都有著深遠的影響。蘇科版七（上）教材在用方程解決問題的教學中，已經(jīng)提出不再以題型進行分類，而著重強調(diào)對實際問題的數(shù)量關(guān)系的分析，突出解決問題的策略。我想這樣的設(shè)計

15、與安排正好就應(yīng)和了我們對方程思想方法的滲透。我們在授課中可以引導學生借助圖表、示意圖、線段圖來分析題意，尋找已知量和未知量的關(guān)系。而它們之間的那個相等關(guān)系實際上就是方程模型，只要能把各個量帶入方程模型，問題就能得到解決了；另外我認為，方程的思想方法作為一種建模能力，應(yīng)該體現(xiàn)在學生能自覺的去運用這種方法、手段（模型），這就要求我們能引導學生從身邊的實際問題出發(fā)自行創(chuàng)設(shè)、研究、運用方程。其實教材中也給了我們這方面的材料，比如教材一元一次方程章首的天平稱鹽活動、數(shù)學實際室月歷上的游戲等，都可以成為我們利用的情境。五、滲透從特殊到一般的數(shù)學思想方法，加強學生創(chuàng)造性思維的形成和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)從特殊到一般

16、的數(shù)學思想方法，即先觀察一些特殊的事例，然后分析它們共同具有的特征，作出一般的結(jié)論。新數(shù)學課程標準指出要發(fā)展學生的符號感，其中符號感的一個主要表現(xiàn)是要求學生能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號來表示，而列代數(shù)式是實現(xiàn)這一目標的具體途徑。如用字母表示數(shù)，這是中學生學好代數(shù)的關(guān)鍵一步，要跨越這一步是有一定的困難的。從算術(shù)到代數(shù)，思維方式上要產(chǎn)生一個飛躍，有一個從量變到質(zhì)變的發(fā)展過程，學生始終認為“a是負數(shù)”，“兩個數(shù)的和大于其中任何一個加數(shù)”等，這樣就要求我們在教學中不斷滲透從特殊到一般的數(shù)學思想方法，不斷強化，逐步完成學生從數(shù)到式，由普通語言到符號語言，由特殊到一般，由具體到抽象的飛

17、躍。例5：1、填表：若按照上圖的擺法擺放餐桌和椅子，完成下表：桌子張數(shù)123n可坐人數(shù)若按照上圖的擺法擺放餐桌和椅子，完成下表：桌子張數(shù)123n可坐人數(shù)2、變式問題：在桌數(shù)相同時哪一種擺法可坐人更多？3、探索問題：若你是一家餐廳的大堂經(jīng)理，由你負責在一個寬敞明亮的大廳里組織一次規(guī)模盛大的冷餐會，你會選擇哪種餐桌的擺法呢？本題的設(shè)計是從學生熟悉的生活經(jīng)歷出發(fā)，選擇學生身邊的感興趣的問題大膽探索，使學生對生活的數(shù)學化有較好的體驗。在教學中我們先用特殊的具體數(shù)字總結(jié)出規(guī)律，再用一般的字母來表示。在這個過程中，并沒有直接把結(jié)果“拋”給學生，而是讓學生去探索、交流、歸納，經(jīng)歷從特殊到一般的知識形成過程，

18、既促進了學生創(chuàng)造性思維的形成，也培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新能力。新數(shù)學課程標準中說“有效的數(shù)學學習過程不能單純地依賴模仿與記憶，教師應(yīng)引導學生主動地從事觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數(shù)學活動”，所以無論是從特殊到一般的數(shù)學知識的歸納形成過程，還是從一般到特殊的數(shù)學知識的驗證應(yīng)用過程，教師作為合作者、引導者，都應(yīng)該提供足夠時間和空間，讓學生主動去從事各種數(shù)學活動，只有這樣才能突出學生的主體地位，獲得明顯的教學效果。在七年級教材中還蘊涵著其它的一些常用的數(shù)學思想方法。比如：整體思想、數(shù)式通性的思想、“元”的思想等等。這些都要求我們在教學中要適時恰當?shù)貙?shù)學方法給予提煉和概括，讓學生有明確的印象；同時還要有意識地培養(yǎng)學生自我提煉、揣摩概括數(shù)學思想方法的能力，這們才能把數(shù)學思想、方法的教學落在實處。數(shù)學思想方法是數(shù)學思想和數(shù)學方法的總稱。數(shù)學思想是對數(shù)學知識與方法形成的規(guī)律性的理性認識，是解決數(shù)學問題的根本策略。數(shù)學方法是解決問題的手段和工具。數(shù)學思想方法是數(shù)學的精髓，只有掌握了數(shù)學思想方法，才算真正掌握了數(shù)學。因而，數(shù)學思想方法也應(yīng)是學生必須具備的基本素質(zhì)之一。我們在教學時，應(yīng)充分挖掘由數(shù)學基礎(chǔ)知識所反映出來的數(shù)學思想和方法，設(shè)計數(shù)學思想方