1、因式分解的十二種方法及多項(xiàng)式因式分解的一般步驟把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式， 這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解。因式分解的方法多種多樣，現(xiàn)總結(jié)如下：1、 提公因法如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有公因式， 那么就可以把這個(gè)公因式提出來，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式。例 1、 分解因式 x -2x -x(2003 淮安市中考題 )x -2x -x=x(x -2x-1)2、 應(yīng)用公式法由于分解因式與整式乘法有著互逆的關(guān)系，如果把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多項(xiàng)式分解因式。例 2、分解因式a +4ab+4b (2003 南通市中考題)解： a +4ab+4b = ( a+2b)3、 分組

2、分解法要把多項(xiàng)式am+an+bm+b分解因式，可以先把它前兩項(xiàng)分成一組，并提出公因式a,把它后兩項(xiàng)分成一組，并提出公因式 b,從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n從而得到(a+b)(m+n)例 3、分解因式m +5n-mn-5m解： m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、 十字相乘法對于 mx +px+q形式的多項(xiàng)式，如果 axb=m,cx d=q且ac+bd=p,貝U多項(xiàng)式可因式分解為 (ax+d)(bx+c)例 4、分解因式7x -19x-6分析： 1 -37 2

3、2-21=-19解： 7x -19x-6=( 7x+2) (x-3)5、配方法對于那些不能利用公式法的多項(xiàng)式， 有的可以利用將其配成一個(gè)完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解。例 5、分解因式x +3x-40解 x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6、拆、添項(xiàng)法可以把多項(xiàng)式拆成若干部分，再用進(jìn)行因式分解。例 6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解： bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+

4、ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)7、 換元法有時(shí)在分解因式時(shí)， 可以選擇多項(xiàng)式中的相同的部分換成另一個(gè)未知數(shù)，然后進(jìn)行因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來。例 7、分解因式2x -x -6x -x+2解： 2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x=x 2(x + )-(x+ )-6令 y=x+ , x 2(x + )-(x+ )-6= x 2(y -2)-y-6= x (2y -y-10)=x (y+2)(2y-5)=x (x+ +2)(2x+ -5)= (x +2x+1) (2x -

5、5x+2)=(x+1) (2x-1)(x-2)8、 求根法令多項(xiàng)式f(x)=0,求出其根為x ,x ,x ,x ,則多項(xiàng)式可因式分解為 f(x)=(x-x )(x-x )(x- x ) (x -x )例 8、分解因式2x +7x -2x -13x+6解：令 f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0通過綜合除法可知， f(x)=0 根為 ， -3 ， -2 ， 1則 2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9、 圖象法令 y=f(x) ，做出函數(shù)y=f(x) 的圖象，找到函數(shù)圖象與X 軸的交點(diǎn)x ,x ,x ,x ,則多項(xiàng)式可因式分解為f(x)=f(

6、x)=(x-x )(x-x )(x- x ) (x -x )例 9、因式分解x +2x -5x-6解：令 y= x +2x -5x-6作出其圖象，見右圖，與x 軸交點(diǎn)為 -3 ， -1 ， 2則 x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10、 主元法先選定一個(gè)字母為主元，然后把各項(xiàng)按這個(gè)字母次數(shù)從高到低排列，再進(jìn)行因式分解。例 10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)分析：此題可選定a 為主元，將其按次數(shù)從高到低排列解： a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)=(b-c) a -a(b+c)+bc=

7、(b-c)(a-b)(a-c)11、 利用特殊值法將2或10代入x,求出數(shù)P,將數(shù)P分解質(zhì)因數(shù)，將質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)慕M合，并將組合后的每一個(gè)因數(shù)寫成 2 或 10 的和與差的形式，將2 或10還原成x,即得因式分解式。例 11、分解因式x +9x +23x+15解：令 x=2,則 x +9x +23x+15=8+36+46+15=105將105分解成3個(gè)質(zhì)因數(shù)的積，即105=3X 5X7注意到多項(xiàng)式中最高項(xiàng)的系數(shù)為 1， 而 3、 5、 7分別為 x+1， x+3， x+5，在 x=2 時(shí)的值則 x +9x +23x+15= (x+1) (x+3) (x+5)12、待定系數(shù)法首先判斷出分解因式的形式

8、， 然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù)， 求出字母系數(shù)，從而把多項(xiàng)式因式分解。例 12、分解因式x -x -5x -6x-4分析：易知這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有一次因式， 因而只能分解為兩個(gè)二次因式。解：設(shè) x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd所以 解得則 x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)多項(xiàng)式因式分解的一般步驟2007-10-28 13:19如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式；如果各項(xiàng)沒有公因式，那么可嘗試運(yùn)用公式、十字相乘法來分解；如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分

9、組、拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法來分解；分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止.(6)應(yīng)用因式定理：如果f (a) =0,則f (x)必含有因式(x-a)。如 f (x) =xA2+5x+6, f (-2) =0,貝U可確定(x+2)是 x2+5x+6 的一個(gè)因式另外，在多次多項(xiàng)式內(nèi)，還可以用雙十字相乘法，輪換對稱法解決。主要注意事項(xiàng)：初學(xué)因式分解的“四個(gè)注意”因式分解初見于九年義務(wù)教育三年制初中教材代數(shù)第二冊，在初二上學(xué)期講授， 但它的內(nèi)容卻滲透于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教材之中。 學(xué)習(xí)它，既可以復(fù)習(xí)初一的整式四則運(yùn)算， 又為本冊下一章分式打好基礎(chǔ)； 學(xué)好它，既可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察、注意、運(yùn)算能力，又可以提

10、高學(xué)生綜合分析和解決問題的能力。 其中四個(gè)注意， 則必須引起師生的高度重視。因式分解中的四個(gè)注意散見于教材第 5 頁和第 15 頁，可用四句話概括如下：首項(xiàng)有負(fù)常提負(fù)， 各項(xiàng)有“公”先提“公”，某項(xiàng)提出莫漏1，括號里面分到“底”。現(xiàn)舉數(shù)例，說明如下，供參考。例 1 把 a2 b2 2ab 4 分解因式。解：a2b2+2ab+ 4= ( a2 2ab+b24) =- (a b + 2) (a b 2)這里的“負(fù)”，指“負(fù)號”。如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出負(fù)號， 使括號內(nèi)第一項(xiàng)系數(shù)是正的。 防止學(xué)生出現(xiàn)諸如9x2 4y2=(3x) 2- (2y) 2= ( 3x + 2y) (-3x-2y

11、) = (3x2y) (3x+ 2y)的錯(cuò)誤？膊荒落 漢啪拖取疤帷保 勻 飩 蟹治儺？/p>如例2 zabc的三邊a、b、c有如下關(guān)系式：c2+a2+2ab 2bc=0,求證這個(gè)三角形是等腰三角形。分析：此題實(shí)質(zhì)上是對關(guān)系式的等號左邊的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。明： c2+a2+2ab 2bc=0,(a + c) (a c) +2b (a c)=0,.(ac) (a+2b+ c) =0.又a、b、c是Aabc 的三條邊，. a+2b + c>0,ac = 0,即2=5 zabc為等腰三角形。例 3 把 12x2nyn 18xn 2yn 1 6xnyn 1 分解因式。解：12x2nyn +

12、 18xn + 2yn + 1 6xnyn 1 = 6xnyn 1 (2xny 3x2y2 + 1)這里的“公”指“公因式”。 如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式， 那么先提取這個(gè)公因式，再進(jìn)一步分解因式；這里的“ 1”，是指多項(xiàng)式的某個(gè)整項(xiàng)是公因式時(shí)，先提出這個(gè)公因式后，括號內(nèi)切勿漏掉 1。防止學(xué)生出現(xiàn)諸如 6p (x-1) 3 8p2 (x-1) 2+ 2p (1-x) 2=2p (x-1) 23 (x-1) 4p=2p (x-1) 2 (3x-4p-3)的錯(cuò)誤。例4在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)把x45x2 6分解因式。解：x4-5x2-6= (x2+1) (x2-6) = (x2+1) (x + 6) (x-6

13、)這里的“底”， 指分解因式， 必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止。即分解到底，不能半途而廢的意思。其中包含提公因式要一次性提“干凈”， 不留“尾巴”， 并使每一個(gè)括號內(nèi)的多項(xiàng)式都不能再分解。防止學(xué)生出現(xiàn)諸如 4x4y2 5x2y2 9y2= y2 (4x4 5x2 9) =y2 (x2 + 1) (4x29)的錯(cuò)誤。由此看來， 因式分解中的四個(gè)注意貫穿于因式分解的四種基本方法之中， 與因式分解的四個(gè)步驟或說一般思考順序的四句話： “先看有無公因式，再看能否套公式， 十字相乘試一試，分組分解要合適”是一脈相承的。例題： 3ab+5b -22y2+35y-3aA2+bA2+ab+a+b+

14、a+1所有因式分解的破解法2007-10-28 13:20因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一， 它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中， 是我們解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具 因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)， 學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨(dú)特的作用 初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提取公因式法、 運(yùn)用公式法、分組分解法和十字相乘法而在競賽上，又有拆項(xiàng)和添項(xiàng)法，待定系數(shù)法，雙十字相乘法，輪換對稱法等提公因式法公因式：各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的.提公因式法：一般地，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提到括號外面，

15、將多項(xiàng)式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.ann+ bnn+ cnn= m (a+b+c)具體方法：當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的 最大公約數(shù)；字母取各項(xiàng)的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最 低的.如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出“一”號，使括號內(nèi) 的第一項(xiàng)的系數(shù)是正的.運(yùn)用公式法平方差公式：.aA2 - bA2 = (a + b)(a b)完全平方公式： aA2 ± 2ab+ bA2 = (a ± b)A2能運(yùn)用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式必須是三項(xiàng)式 ，其中有兩項(xiàng) 能寫成兩個(gè)數(shù)(或式)的平方和的形式，另一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)(或式)的

16、積 的2倍.立方和公式：aA3+bA3= (a+b)(aA2-ab+bA2).立方差公式：aA3-bA3 = (a-b)(aA2+ab+bA2).完全立方公式：aA3 ± 3aA2b + 3abA2 ± bA3 = (a ± b)A3 aAn-bAn=(a-b)aA(n-1)+aA(n-2)b+bA(n -2)a+bA(n-1)aAm+bAm=(a+b)aA(m-1)-aA(m- 2)b+-bA(m-2)a+bA(m-1)(m為奇數(shù))分組分解法分組分解法：把一個(gè)多項(xiàng)式分組后，再進(jìn)行分解因式的方法 .分組分解法必須有明確目的， 即分組后， 可以直接提公因式或運(yùn)用公式

17、.拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法拆項(xiàng)、 補(bǔ)項(xiàng)法： 把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項(xiàng) (或幾項(xiàng))，使原式適合于提公因式法、運(yùn)用公式法或分組分解法進(jìn)行分解；要注意，必須在與原多項(xiàng)式相等的原則進(jìn)行變形.十字相乘法乂八2+ (p q) x+pq型的式子的因式分解這類二次三項(xiàng)式的特點(diǎn)是： 二次項(xiàng)的系數(shù)是1； 常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的積；一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)的和 . 因此，可以直接將某些二次項(xiàng)的系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式因式分解：xA2 + (p q) x+pq= (x+p)( x q)kxA2 + m肝n型的式子的因式分解如果能夠分解成k=ac, n = bd,且有ad+bc=m時(shí)，那么kxA2 + m奸 n= (

18、ax b ) (cx d )a /b ac= k bd = nc /d ad+bc=m 多項(xiàng)式因式分解的一般步驟：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式；如果各項(xiàng)沒有公因式，那么可嘗試運(yùn)用公式、十字相乘法來分解；如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組、拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法來分解;分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止.(6)應(yīng)用因式定理：如果f (a) =0,則f (x)必含有因式(x-a)。如 f (x) =xA2+5x+6, f (-2) =0,貝U可確定(x+2)是 x2+5x+6 的 一個(gè)因式。經(jīng)典例題：1 .分解因式(1+y)A2-2xA2(1+yA2)+xA4(1-y)

19、A2解：原式=(1+y)A2+2(1+y)xA2(1+y)+xA4(1-y)A2-2(1+y)xA2(1-y)-2xA2(1+yA2 )=(1+y)+xA2(1-y)A2-2(1+y)xA2(1-y)-2xA2(1+yA2)=(1+y)+xA2(1-y)A2-(2x)A2=(1+y)+xA2(1- y)+2x (1+y)+xA2(1 -y)-2x=(xA2-xA2y+2x+y+1)(xA2-xA2y-2x+y+1)=(x+1)A2-y(xA2-1)(x-1)A2-y(xA2-1)=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)2.證明：對于任何數(shù)x,y ,下式的值都不會(huì)為33乂八

20、5+3乂八4y-5xA3yA2+4xyA4+12yA5解：原式=(xA5+3xA4y)-(5xA3yA2+15xA2yA3)+(4xyA4+12yA5)=xA4(x+3y)-5xA2yA2(x+3y)+4yA4(x+3y)=(x+3y)(xA4-5xA2yA2+4yA4)=(x+3y)(xA2-4yA2)(xA2-yA2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)當(dāng)y=0時(shí)，原式=xA5不等于33;當(dāng)y不等于0時(shí),x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四個(gè)以上不同因數(shù)的積，所以原命題成立因式分解的十二種方法把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式， 這種

21、變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解。因式分解的方法多種多樣，現(xiàn)總結(jié)如下：1、 提公因法如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有公因式， 那么就可以把這個(gè)公因式提出來，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式。例 1、 分解因式 x -2x -x(2003 淮安市中考題 )x -2x -x=x(x -2x-1)2、 應(yīng)用公式法由于分解因式與整式乘法有著互逆的關(guān)系，如果把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多項(xiàng)式分解因式。例 2、分解因式a +4ab+4b (2003 南通市中考題)解： a +4ab+4b = ( a+2b)3、 分組分解法要把多項(xiàng)式am+an+bm+b分解因式，可以先把它前兩項(xiàng)分成一組，并提出公因式a,

22、把它后兩項(xiàng)分成一組，并提出公因式b,從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n從而得到(a+b)(m+n)例 3、分解因式m +5n-mn-5m解： m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、 十字相乘法對于 mx +px+q形式的多項(xiàng)式，如果 axb=m,cxd=q且ac+bd=p,貝U多項(xiàng)式可因式分解為 (ax+d)(bx+c)例 4、分解因式7x -19x-6分析： 1 -37 22-21=-19解： 7x -19x-6=( 7x+2) (x-3)5、配方法對于那些不能利用

23、公式法的多項(xiàng)式， 有的可以利用將其配成一個(gè)完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解。例 5、分解因式x +3x-40解 x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6、拆、添項(xiàng)法可以把多項(xiàng)式拆成若干部分，再用進(jìn)行因式分解。例 6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解： bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

24、 =(c+b)(c-a)(a+b)7、 換元法有時(shí)在分解因式時(shí)， 可以選擇多項(xiàng)式中的相同的部分換成另一個(gè)未知數(shù)，然后進(jìn)行因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來。例 7、分解因式2x -x -6x -x+2解： 2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x=x 2(x + )-(x+ )-6令 y=x+ , x 2(x + )-(x+ )-6= x 2(y -2)-y-6= x (2y -y-10)=x (y+2)(2y-5)=x (x+ +2)(2x+ -5)= (x +2x+1) (2x -5x+2)=(x+1) (2x-1)(x-2)8、 求根法令多項(xiàng)式f(x)=0,求出其根為x

25、,x ,x ,x ,則多項(xiàng)式可因式分解為 f(x)=(x-x )(x-x )(x- x ) (x -x )例 8、分解因式2x +7x -2x -13x+6解：令 f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0通過綜合除法可知， f(x)=0 根為 ， -3 ， -2 ， 1則 2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9、 圖像法令 y=f(x) ，做出函數(shù)y=f(x) 的圖像，找到函數(shù)圖像與X 軸的交點(diǎn)x ,x ,x ,x ,則多項(xiàng)式可因式分解為f(x)=f(x)=(x-x )(x-x )(x- x ) (x -x )例 9、因式分解x +2x -5x

26、-6解：令 y= x +2x -5x-6作出其圖像，見右圖，與x 軸交點(diǎn)為 -3 ， -1 ， 2則 x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10、 主元法先選定一個(gè)字母為主元，然后把各項(xiàng)按這個(gè)字母次數(shù)從高到低排列，再進(jìn)行因式分解。例 10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)分析：此題可選定a 為主元，將其按次數(shù)從高到低排列解： a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)=(b-c) a -a(b+c)+bc=(b-c)(a-b)(a-c)11、 利用特殊值法將2或10代入x,求出數(shù)P,將數(shù)P分解質(zhì)因數(shù)

27、，將質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)慕M合，并將組合后的每一個(gè)因數(shù)寫成 2 或 10 的和與差的形式，將2 或10還原成x,即得因式分解式。例 11、分解因式x +9x +23x+15解：令 x=2,則 x +9x +23x+15=8+36+46+15=105將105分解成3個(gè)質(zhì)因數(shù)的積，即105=3X 5X7注意到多項(xiàng)式中最高項(xiàng)的系數(shù)為 1， 而 3、 5、 7分別為 x+1， x+3， x+5，在 x=2 時(shí)的值則 x +9x +23x+15= (x+1)( x+3)(x+5)12、待定系數(shù)法首先判斷出分解因式的形式， 然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù)， 求出字母系數(shù)，從而把多項(xiàng)式因式分解。例 12、分解因式x -x

28、 -5x -6x-4分析：易知這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有一次因式， 因而只能分解為兩個(gè)二次因式。解：設(shè) x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd所以 解得則 x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)初學(xué)因式分解的“四個(gè)注意”因式分解初見于九年義務(wù)教育三年制初中教材代數(shù)第二冊，在初二上學(xué)期講授， 但它的內(nèi)容卻滲透于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教材之中。 學(xué)習(xí)它，既可以復(fù)習(xí)初一的整式四則運(yùn)算， 又為本冊下一章分式打好基礎(chǔ)； 學(xué)好它，既可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察、注意、運(yùn)算能力，又可以提高學(xué)生綜合分析和解決問題的能

29、力。 其中四個(gè)注意， 則必須引起師生的高度重視。5 頁和第 15 頁，可用四句話概括如下：首項(xiàng)有負(fù)常提負(fù)， 各項(xiàng)有“公”先提“公”，某項(xiàng)提出莫漏1，括號里面分到“底”。現(xiàn)舉數(shù)例，說明如下，供參考。例 1 把 a2 b2 2ab 4 分解因式。解：a2b2+2ab+ 4= ( a2 2ab+b24) =- (a b + 2) (a b 2)這里的“負(fù)”，指“負(fù)號”。如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出負(fù)號， 使括號內(nèi)第一項(xiàng)系數(shù)是正的。 防止學(xué)生出現(xiàn)諸如 9x2 4y2=(3x) 2- (2y) 2= ( 3x + 2y) (-3x-2y) = (3x2y) (3x+ 2y)的錯(cuò)誤？膊荒落 漢啪拖

30、取疤帷保 勻 飩 蟹治儺？/p>如例2 zabc的三邊a、b、c有如下關(guān)系式：c2+a2+2ab 2bc=0,求證這個(gè)三角形是等腰三角形。分析：此題實(shí)質(zhì)上是對關(guān)系式的等號左邊的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。明： c2+a2+2ab 2bc=0,(a + c) (a c) +2b (a c)=0,. (a-c) (a+2b+ c) =0.又a、b、c是Aabc 的三條邊，a+2b + c>0,ac = 0,即2=5 zabc為等腰三角形。例 3 把12x2nyn 18xn 2yn 1 6xnyn 1 分解因式。解：12x2nyn + 18xn + 2yn + 1 6xnyn 1 = 6xnyn

31、 1 (2xny 3x2y2 + 1)這里的“公”指“公因式”。 如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式， 那么先提取這個(gè)公因式，再進(jìn)一步分解因式；這里的“1”，是指多項(xiàng)式的某個(gè)整項(xiàng)是公因式時(shí)，先提出這個(gè)公因式后，括號內(nèi)切勿漏掉 1。防止學(xué)生出現(xiàn)諸如 6p (x-1) 3 8p2 (x-1) 2+ 2p (1-x) 2=2p (x-1) 23 (x-1) 4p=2p (x-1) 2 (3x-4p-3)的錯(cuò)誤。例4在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)把x45x2 6分解因式。解：x4-5x2-6= (x2+1) (x2-6) = (x2+1) (x + 6) (x-6)這里的“底”， 指分解因式， 必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能

32、再分解為止。即分解到底，不能半途而廢的意思。其中包含提公因式要一次性提“干凈”， 不留“尾巴”， 并使每一個(gè)括號內(nèi)的多項(xiàng)式都不能再分解。防止學(xué)生出現(xiàn)諸如 4x4y2 5x2y2 9y2= y2 (4x4 5x2 9) =y2 (x2 + 1) (4x29)的錯(cuò)誤。由此看來， 因式分解中的四個(gè)注意貫穿于因式分解的四種基本方法之中， 與因式分解的四個(gè)步驟或說一般思考順序的四句話： “先看有無公因式，再看能否套公式， 十字相乘試一試，分組分解要合適”是一脈相承的。參考資料： zhidao因式分解因式分解( factorization )因式分解指的是把一個(gè)多項(xiàng)式分解為幾個(gè)整式的積的形式，它是中學(xué)數(shù)學(xué)

33、中最重要的恒等變形之一， 它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能， 發(fā)展學(xué)生的思維能力， 都有著十分獨(dú)特的作用初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提取公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法和十字相乘法而在競賽上，又有拆項(xiàng)和添項(xiàng)法，待定系數(shù)法，雙十字相乘法，輪換對稱法等提公因式法公因式：各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公 因式。提公因式法：一般地，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提到括號外面，將多項(xiàng)式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法. 。amn+

34、 bmn+ cmn= m (a+b+c)具體方法：當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)； 字母取各項(xiàng)的相同的字母， 而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的 . 如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出“”號，使括號內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)是正的 .運(yùn)用公式法平方差公式：.aA2 - bA2 = (a + b)(a b)完全平方公式：aA2 ±2ab+ bA2 = (a ± b2能運(yùn)用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式必須是三項(xiàng)式 , 其中有兩項(xiàng)能寫成兩個(gè)數(shù)(或式 ) 的平方和的形式，另一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)(或式) 的積的 2倍.立方和公式：aA3+bA3= (a+b)(aA2-ab+b

35、A2).立方差公式：aA3-bA3 = (a-b)(aA2+ab+bA2).完全立方公式：aA3 ± 3aA2b+3abA2 ± bA3 = (a ± b3aAn-bAn=(a-b)aA(n-1)+aA(n-2)b+bA(n-2)a+bA(n-1)aAm+bAm=(a+b)aA(m-1)-aA(m-2)b+-bA(m-2)a+bA(m-1)(m 為奇數(shù))分組分解法分組分解法：把一個(gè)多項(xiàng)式分組后，再進(jìn)行分解因式的方法分組分解法必須有明確目的，即分組后，可以直接提公因式或 運(yùn)用公式.拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法：把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的 兩項(xiàng)(或幾項(xiàng))，使

36、原式適合于提公因式法、運(yùn)用公式法或分組分解法進(jìn)行分解；要注意，必須在與原多項(xiàng)式相等的原則進(jìn)行變形十字相乘法x2+ (p q) x + pq型的式子的因式分解這類二次三項(xiàng)式的特點(diǎn)是：二次項(xiàng)的系數(shù)是 1；常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的積；一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)的和 . 因此，可以直接將某些二次項(xiàng)的系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式因式分解：xA2 + (p q ) x + pq =(x+p) (x + q) kxA2 mx n 型的式子的因式分解如果能夠分解成k= ac, n = bd,且有ad+bc=m時(shí)，那么kxA2 + mx+ n = (ax b ) (cx d )a /b ac= k bd = nc /d ad

37、+bc=m多項(xiàng)式因式分解的一般步驟：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式;如果各項(xiàng)沒有公因式，那么可嘗試運(yùn)用公式、十字相乘法來 分解；如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組、拆項(xiàng)、補(bǔ) 項(xiàng)法來分解；分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為 止。(6)應(yīng)用因式定理：如果f (a) =0,則f (x)必含有因式(x-a)。 如 f (x) =xA2+5x+6, f (-2) =0,則可確定(x+2)是 xA2+5x+6 的 一個(gè)因式。經(jīng)典例題：1 .分解因式(1+丫)八2-2乂八2(1+丫八2)+乂八4(1+)八2解：原式=(1 +y)A2+2(1 +y)xA2(1 +y)+xA4

38、(1-y)A2-2(1 +y)xA2(1-y)-2xA2(1 +yA2)=(1+y)+xA2(1-y)A2-2(1+y)xA2(1-y)-2xA2(1+yA2)=(1+y)+xA2(1-y)A2-(2x)A2=(1+y)+xA2(1- y)+2x (1 +y)+xA2(1-y)-2x=(xA2-xA2y+2x+y+1)(xA2-xA2y-2x+y+1)=(x+1)A2-y(xA2-1)(x-1)A2-y(xA2-1)=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)2.證明：對于任何數(shù)x,y ,下式的值都不會(huì)為33乂八5+3乂八4y-5xA3yA2+4xyA4+12yA5解：原式=

39、(xA5+3xA4y)-(5xA3yA2+15xA2yA3)+(4xyA4+12yA5)=xA4(x+3y)-5xA2yA2(x+3y)+4yA4(x+3y)=(x+3y)(xA4-5xA2yA2+4yA4)=(x+3y)(xA2-4yA2)(xA2-yA2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)當(dāng)y=0時(shí)，原式二乂八5不等于33;當(dāng)y不等于0時(shí)，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y 互不相同，而33不能分成四個(gè)以上不同因數(shù)的積，所以原命題成立因式分解的十二種方法把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解。因式分解的方法多種多樣，現(xiàn)總結(jié)如下

40、：1、 提公因法如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提出來，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式。例 1、 分解因式 xA3 -2xA2 -x(2003 淮安市中考題 )xA3 -2xA2 -x=x(xA2 -2x-1)2、 應(yīng)用公式法由于分解因式與整式乘法有著互逆的關(guān)系，如果把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多項(xiàng)式分解因式。例 2、分解因式aA2 +4ab+4bA2 (2003 南通市中考題 )解： aA2 +4ab+4bA2 = ( a+2b)3、 分組分解法要把多項(xiàng)式am+an+bm+b分解因式，可以先把它前兩項(xiàng)分成一 組，并提出公因式a,把它后兩項(xiàng)分成一組，并提出

41、公因式 b,從而 得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式 m+n從而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式mA2 +5n-mn-5m解：mA2+5n-mn-5m= mA2-5m -mn+5n= (mA2 -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、 十字相乘法對于 mxA2 +px+q形式的多項(xiàng)式，如果 axb=m,cxd=q且 ac+bd=p,則多項(xiàng)式可因式分解為(ax+d)(bx+c)例 4、分解因式 7xA2 -19x-6分析：1 -37 22-21=-19解： 7xA2 -19x-6= ( 7x+2) (x-3)5、配方法對于那些不能利用

42、公式法的多項(xiàng)式，有的可以利用將其配成一個(gè)完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解。例 5、分解因式xA2 +3x-40解 xA2 +3x-40 =xA2+3x+拆、添項(xiàng)法可以把多項(xiàng)式拆成若干部分，再用進(jìn)行因式分解。例 6、分解因式 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、換元法有時(shí)在分解因式時(shí)，可以選擇多項(xiàng)式中的相同的部分換成另

43、一 個(gè)未知數(shù)，然后進(jìn)行因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來。例 7、分解因式 2xA4 -xA3 -6xA2 -x+28、求根法令多項(xiàng)式f(x)=0,求出其根為x1 ,x2 ,x3 ,xn ,則多項(xiàng)式可因式分解為 f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )(x-xn )例 8、分解因式 2xA4 +7xA3 -2xA2 -13x+6解：令 f(x)=2xA4 +7xA3 -2xA2 -13x+6=0通過綜合除法可知，f(x)=0根為1/2 , -3, -2, 1貝U 2xA4 +7xA3 -2xA2 -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9、圖像法令 y=f(x) ，做出函數(shù)y

44、=f(x) 的圖像，找到函數(shù)圖像與X 軸的交點(diǎn)x1 ,x2 ,x3 , xn ,則多項(xiàng)式可因式分解為f(x)=f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )(x-xn )例9、因式分解xA3 +2xA2 -5x-6解：令 y= 乂八3 +2xA2 -5x-6作出其圖像，與x 軸交點(diǎn)為 -3 ， -1 ， 2則 xA3 +2xA2 -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10、 主元法先選定一個(gè)字母為主元，然后把各項(xiàng)按這個(gè)字母次數(shù)從高到低排列，再進(jìn)行因式分解。例 10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)分析：此題可選定a 為主元，將其按次數(shù)從高到低排列解： a (b-

45、c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)=(b-c) a -a(b+c)+bc=(b-c)(a-b)(a-c)11、 利用特殊值法將2或10代入x,求出數(shù)P,將數(shù)P分解質(zhì)因數(shù)，將質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)慕M合，并將組合后的每一個(gè)因數(shù)寫成 2 或 10 的和與差的形式，將2或10還原成x,即得因式分解式。例 11、分解因式 xA3 +9xA2 +23x+15解：令 x=2,貝U 乂八3 +9乂八2 +23x+15=8+36+46+15=105將105分解成3個(gè)質(zhì)因數(shù)的積，即105=3X5X7注意到多項(xiàng)式中最高項(xiàng)的系數(shù)為 1，而3、 5、 7 分別為 x+1，x

46、+3, x+5,在x=2時(shí)的值貝U xA3 +9xA2 +23x+15 可能=(x+1) (x+3) (x+5),驗(yàn)證后 的確如此。12、待定系數(shù)法首先判斷出分解因式的形式，然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù)，求出字母系數(shù)，從而把多項(xiàng)式因式分解。例 12、分解因式xA4 -xA3 -5xA2 -6x-4分析：易知這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有一次因式，因而只能分解為兩個(gè)二次因式。解：設(shè) xA4 -xA3 -5xA2 -6x-4=(xA2 +ax+b)(xA2 +cx+d)= xA4 +(a+c)xA3 +(ac+b+d)xA2 +(ad+bc)x+bd所以 解得則 xA4 -xA3 -5xA2 -6x-4 =(x +

47、x+1)(x -2x-4)初學(xué)因式分解的“四個(gè)注意”因式分解初見于九年義務(wù)教育三年制初中教材 代數(shù) 第二冊，在初二上學(xué)期講授， 但它的內(nèi)容卻滲透于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教材之中。 學(xué)習(xí)它， 既可以復(fù)習(xí)初一的整式四則運(yùn)算， 又為本冊下一章分式打好基礎(chǔ)；學(xué)好它，既可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察、注意、運(yùn)算能力，又可以提高學(xué)生綜合分析和解決問題的能力。 其中四個(gè)注意， 則必須引起師生的高度重視。因式分解中的四個(gè)注意散見于教材第 5 頁和第 15 頁，可用四句話概括如下：首項(xiàng)有負(fù)常提負(fù)，各項(xiàng)有“公”先提“公” ，某項(xiàng)提出莫漏1，括號里面分到“底” 。現(xiàn)舉數(shù)例，說明如下，供參考。例 1 把 a2 b2 2ab 4 分解因式。

48、解：a2 b2 + 2ab+4= ( a22ab+b24) =- (a b 2) ( a b 2)這里的“負(fù)” ，指“負(fù)號” 。如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出負(fù)號， 使括號內(nèi)第一項(xiàng)系數(shù)是正的。 防止學(xué)生出現(xiàn)諸如9x2 + 4y2= (3x) 2- (2y) 2= (3x+2y) (-3x-2y) = ( 3x-2y) (3x+2y)的錯(cuò)誤？如例 2 abc 的三邊a、 b、 c 有如下關(guān)系式： c2 a22ab2bc=0,求證這個(gè)三角形是等腰三角形。分析：此題實(shí)質(zhì)上是對關(guān)系式的等號左邊的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。mE明： c2 + a2 + 2ab 2bc= 0,(a+c) (ac) +2b

49、(ac) =0, 二(a c) (a+2b+c) =0.a c又a、b、c 是Aabc 的三條邊，a + 2b+c>0,=0,即a=c, zabc為等腰三角形。例 3 把一12x2 n yn + 18xn+ 2yn+ 1 6xnyn 1 分解因式。 解：一12x2nyn + 18xn + 2yn + 1 6xnyn 1 = 6xnyn 1 ( 2xny 3x2y2 1)這里的“公”指“公因式” 。如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么先提取這個(gè)公因式，再進(jìn)一步分解因式；這里的“ 1” ，是指多項(xiàng)式的某個(gè)整項(xiàng)是公因式時(shí)， 先提出這個(gè)公因式后， 括號內(nèi)切勿漏掉 1。防止學(xué)生出現(xiàn)諸如6p( x 1) 3 8p2( x 1) 2 2p( 1