1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案圖形的變換一、學(xué)情分析初三學(xué)生在初二階段就已經(jīng)學(xué)過旋轉(zhuǎn)這一節(jié)內(nèi)容，大多數(shù)學(xué)生對旋轉(zhuǎn)的相關(guān)特征應(yīng)該還是比較熟悉的，同時在旋轉(zhuǎn)中出現(xiàn)的一些相關(guān)的核心知識點(diǎn)（如正方形的性質(zhì)）已經(jīng)在前階段的復(fù)習(xí)中涉 及到，大多數(shù)學(xué)生已經(jīng)初步具備一定的解決問題的綜合能力.鑒于此課例習(xí)題既有基礎(chǔ)性還有一定的綜合性，故對于學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對較好的班級可以安排在中考第一輪“基礎(chǔ)+綜合”復(fù)習(xí)階段，而對于學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一般的班級則可以安排在中考第二輪“綜合+基礎(chǔ)”專題復(fù)習(xí)階段.放在第一輪基礎(chǔ)復(fù)習(xí)，只需解決兩個例題即可；放在第二輪專題復(fù)習(xí)，可分成兩個課時進(jìn)行為好，以滿足各個層次 學(xué)生的不同需求.二、教學(xué)任務(wù)和目標(biāo)通過本課的

2、學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠進(jìn)一步體悟解決雙正方形旋轉(zhuǎn)問題的核心知識點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)的特征（性質(zhì)），即旋轉(zhuǎn)角等于對應(yīng)邊的夾角；旋轉(zhuǎn)前后的圖形是全等形（對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等）.學(xué)生能夠進(jìn)一步理解并能熟練運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的特征解決雙正方形旋轉(zhuǎn)的實(shí)際問題.同時，還要讓學(xué)生通過雙正方形的旋轉(zhuǎn)領(lǐng)悟旋轉(zhuǎn)過程中的變與不變，變就有可能存在函數(shù)關(guān)系，不變就可能存在相等關(guān)系（或定 值），這就是旋轉(zhuǎn)問題展現(xiàn)給學(xué)生的數(shù)學(xué)本質(zhì)的魅力，也是數(shù)學(xué)所特有的哲學(xué)價值 .數(shù)學(xué)學(xué)科的本位，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)，數(shù)學(xué)思維的本色，在本節(jié)課的復(fù)習(xí)中可以得到充分的體現(xiàn)三、學(xué)法點(diǎn)撥解決旋轉(zhuǎn)問題的基本策略是“化靜為動，以靜制動”.所謂“化靜為動”，即要搞清楚整個旋轉(zhuǎn)過程中哪些

3、元素（如邊、角）發(fā)生了變化，哪些元素仍然沒變，有時還要通過特殊位置圖形的特征 來判斷不變的元素.所謂“以靜制動”，即要把旋轉(zhuǎn)過程中的各種圖形的位置情況作為靜止的圖形進(jìn) 行研究，接下來的計算與證明和原先沒啥兩樣，只不過賦予了旋轉(zhuǎn)的背景而已.如果學(xué)生能夠破譯旋 轉(zhuǎn)背后的“密碼”，那么以旋轉(zhuǎn)為背景的幾何問題就迎刃而解了.四、教學(xué)過程設(shè)計（一）預(yù)學(xué)嘗試如果條件許可，可以提前一天把3個例題的題設(shè)（教師預(yù)設(shè)的幾個問題在預(yù)學(xué)稿上是隱去的）和圖形發(fā)給學(xué)生預(yù)學(xué)， 讓學(xué)生根據(jù)已有的經(jīng)驗回家自主提出問題，在學(xué)案稿上寫好.一方面把學(xué)習(xí)的主動權(quán)還給學(xué)生，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在活力，方便在課上師生共同交流預(yù)學(xué)嘗試提出的問題；

4、另一方面讓教師能夠及時了解學(xué)情，便于及時調(diào)整預(yù)設(shè)，以取得更好的學(xué)習(xí)效果.（二）互動反饋由于學(xué)生預(yù)學(xué)嘗試的原因，學(xué)困生對 3個例題的題設(shè)有了初步的了解，中等生不僅了解題目的題 設(shè)，而且會提出一些簡單的問題（猜想），學(xué)優(yōu)生則不僅能夠提出一些問題（猜想），甚至可以有自己的方法來證明自己的猜想.故在本課堂中的學(xué)情是極其豐富的，關(guān)鍵在于教師如何把握與引導(dǎo)， 通過生生和師生之間的互動反饋，讓各層次的學(xué)生通過復(fù)習(xí)都能夠獲得不同的進(jìn)步，品嘗成功的快樂例題1 （中考試題改編）：把正方形ABC啜著點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)a （0 a &90° ）得到正方形AEFG邊FG與BC交于點(diǎn)H.（1）試問圖中

5、有哪些相等的線段嗎 ？請先觀察猜想，然后再證明你的猜想；（2）連結(jié)DG BE,猜想DG與BE的關(guān)系，并證明；（3）連結(jié)BG CF,猜想BG與CF的關(guān)系，并證明；（4）若AD= 3, / DAG= 30° ,則你能求出陰影部分的面積嗎？AE功能分析：本題的設(shè)計是一個正方形繞著另一個正方形的對角線的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，是涉及旋轉(zhuǎn)相關(guān)知識的一個基礎(chǔ)問題，學(xué)生曾經(jīng)或多或少經(jīng)歷過類似的問題，情景比較熟悉，前3題都是比較基礎(chǔ)的問題，學(xué)生比較容易上手，也有利于學(xué)生快速進(jìn)入旋轉(zhuǎn)情景中.（1）、（2）主要引導(dǎo)學(xué)生觀察、猜想旋轉(zhuǎn)過程中形成的哪些線段相等，哪些角相等（雙正方形自身的邊、角相等則是顯而易見的，也是非常

6、重要 的條件），并能尋求證明的方法與途徑（全等，等腰三角形知識）；（3）建立在（1）的基礎(chǔ)上主要考查學(xué)生旋轉(zhuǎn)過程中形成的線段存在平行關(guān)系，并能力求通過等腰三角形的性質(zhì)或相似的判定來證明；（4）是一個比較綜合的問題，建立在（1）的基礎(chǔ)上，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化為解直角三角形及其面積的問題.學(xué)法預(yù)設(shè)：筆者在這里設(shè)計了 4個問題，既有學(xué)生熟悉的問題，也有變式逐步提高的問題，對絕大多數(shù)學(xué) 生來說應(yīng)該都能解決.4個問題涉及旋轉(zhuǎn)、全等、相似、等腰三角形、平行、解直角三角形、正方形 等各種基礎(chǔ)知識點(diǎn)，通過旋轉(zhuǎn)把這些知識點(diǎn)串了起來 .通過“化靜為動”的策略找到/ DAGh BAE / ADCN AGHh ABCh AE

7、F, AD=AG=AB=AEGF=BC 通過“以靜制動”發(fā)現(xiàn)等腰4HGB CHF AGH叁' AB曄等.第1問，學(xué)生很容易猜想 GH=BH CH=HF如何證明？對于證明GH=BH估計學(xué)生會有兩種思路. 一是連結(jié)BG利用等腰三角形的性質(zhì)和判 定來證明；二是連結(jié) AH,利用 AG卑4ABH來證明.第2問，學(xué)生根據(jù)旋轉(zhuǎn)的特征，利用 人口摩 AE由艮容易證明DG=BE甚至于證明DGL BE此 問宜讓學(xué)生自主解決.第3問，學(xué)生可能也會有兩種思路.一是利用第1問的結(jié)論可知 CHF與GHEBTB是等腰三角形， 再利用等腰三角形頂角相等從而底角相等，從而易證BG/ CF;二是利用 CHM4GH瞇證明平

8、行，這一點(diǎn)學(xué)生可能不一定想到，因為方法一簡便易行第4問，則是建立在第1問得基礎(chǔ)上，先是要引導(dǎo)學(xué)生把陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為求四邊形GABH的面積，再轉(zhuǎn)化為 ABH的面積（或者先求直角梯形 DAHC再求直角三角形 AGH的面積即可），下面 的問題就單純是解直角三角形了.關(guān)鍵的問題是兩次轉(zhuǎn)化思想的自覺運(yùn)用，這對于學(xué)困生還是有困難的，對中等及以上學(xué)生不是難事 .答案精要：（1） GH=BH CH=HF（雙正方形自身的邊、角相等除外）；連接BG由正方形的性質(zhì)可知：AG= AR /AGH= Z ABH= 90° ,AGB= / ABGAGH- / AGB= / ABH- / AB川 / HGB=

9、/ HBG，GH=BH 又GF= BC, . CH=HF.（2） DG=BE DGL BE （證明DGL BE可在學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對較好的班級進(jìn)行）；由旋轉(zhuǎn)的特征可知：AD= AG= AB= AE、/ DAG= /BAEAD（G ABEDG=BE.（3） BG=CF證 CHF與GHBtB是等腰三角形，利用兩個等腰三角形的頂角相等從而底角相 等可得到平行.（4） 9-34;先證 AG陰 ABH故/ GAH= / BAH= 30° ,利用解直角三角形的知識求得Saag- S»b 3p,因而陰影部分的面積為 9-3 3.例題2（中考試題改編）：正方形ABCD OEFGtB是邊長為4

10、的正方形，其中點(diǎn)。為正方形ABCD 的對角線AC的中點(diǎn).正方形OEF磷點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)a （0 ° WaW 900 ）.（1）在旋轉(zhuǎn)的變化過程中，試猜想圖中有哪些結(jié)論？（2）連結(jié)MN GE猜想它們的關(guān)系并證明；（3）你能求出陰影部分的面積嗎？試探索陰影部分的周長有無變化；（4）設(shè)CM= x, AMON勺面積為y,試寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式.功能分析：本題是例1基礎(chǔ)上的延伸與拓展，兩題共同的特征是旋轉(zhuǎn)中心都在一個正方形的對角線上，不同之處在于此題設(shè)計的是一個正方形繞著另一個正方形的對角線的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，也是涉及旋轉(zhuǎn)相關(guān)知 識的一個常見問題，學(xué)生對此旋轉(zhuǎn)情景也是比較熟悉的.這種具有相似背景的例題

11、設(shè)計避免了學(xué)生在 復(fù)習(xí)時思維跨度過大，有利于學(xué)生的思維聚焦在旋轉(zhuǎn)核心知識（即旋轉(zhuǎn)特征）的復(fù)習(xí)鞏固上.同時由于學(xué)生已經(jīng)有了例題 1的基礎(chǔ)，故本題（1）設(shè)計成了一個開放型問題，一開始只給出題設(shè)（條件），讓學(xué)生自主來設(shè)計問題，也可以合作編題，讓學(xué)生來猜想在旋轉(zhuǎn)的變化過程中有哪些不變的量？源于學(xué)生已有的知識積淀，估計學(xué)生通過自主探究與合作交流會提出諸如此類的問題或猜想（發(fā)現(xiàn)旋 轉(zhuǎn)變化中不變的量）：1、猜想CM=BN BM=AN并證明；2、猜想OM=ONMG=NE并證明；3、猜想陰影部分的面積為定值 4;（陰影部分的圖形在變，但面積不變）4、猜想BM+BN=4BM與BN的和是定值，兩者又存在函數(shù)關(guān)系）本

12、題預(yù)設(shè)的（2）、（3）題都是建立在 （1）中學(xué)生和教師的幾個猜想的基礎(chǔ)上的，歸根到底都是考查學(xué)生利用全等和相似的知識來解決問題.并且第（3）題把問題延伸到旋轉(zhuǎn)過程中周長有無變化，顯然拓展了例題1的視野，當(dāng)然也考查旋轉(zhuǎn)過程中如何觀察特殊位置 （a = 0。或90。）.（4）也是建立在前3題的基礎(chǔ)上的，考查相似，面積割補(bǔ)及二次函數(shù)的相關(guān)知識點(diǎn)學(xué)法預(yù)設(shè)：對于學(xué)生提出的問題和猜想，教師不妨放手引導(dǎo)學(xué)生來解決.從而達(dá)到問題由學(xué)生提出，再由學(xué)生來解決，使學(xué)生之間產(chǎn)生情智的互動.估計學(xué)生是能夠猜想出前 2個結(jié)論的，如果后2個猜想學(xué) 生一時想不出也不要緊，猜想 3、4其實(shí)就是教師的預(yù)設(shè)（3）、（4）.對于彳#

13、想1、2,其實(shí)都是要證明 CO陣BON關(guān)鍵是要通過連 接OC OB來構(gòu)造全等三角形， 這其中要用到正方形 的對角線相等的重要性質(zhì)，這對于大多數(shù)學(xué)生來說應(yīng)該不成問題對于預(yù)設(shè)的問題（2）,可以結(jié)合猜想2的結(jié)論，利用兩個等腰直角三角形的性質(zhì)或相似三角形 來解決.對于彳#想3、4 （即教學(xué)預(yù)設(shè)（3）、（4）,則是建立在前面的基礎(chǔ)上的延伸.教學(xué)中可以運(yùn)用幾何畫板的動畫演示功能來引導(dǎo)學(xué)生從兩個特殊位置入手來進(jìn)行觀察猜測，即運(yùn)用“化靜為動”的策 略，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合或者M(jìn)為BC中點(diǎn)時，陰影部分的面積是正方形面積的1,即為4.再運(yùn)用“以4靜制動”的策略通過證明 CO陣BON來解決.而周長的變化，要引導(dǎo)學(xué)生觀察

14、說明 BM+BN=強(qiáng)是 定值，但OM+O即不是定彳1,當(dāng) MW點(diǎn)C重合時OM®大，則周長最大，當(dāng) M為BC中點(diǎn)時OMt小， 則周長最小.可以的話，還可以用幾何畫板的測量功能來度量周長 對于預(yù)設(shè)問題（4）,由于有前幾題的基礎(chǔ)，估計學(xué)生比較容易想到的是連結(jié)MN利用 MONf MNB勺面積之和為 4來解決.答案精要：（1） CM=BN BM=AN OM=ON MG=NE陰影部分的面積為定值 4, BM+BN=4；（2） MM GEOM ON 一 ，一 ，一.一. 一 一先證得 CO陣 BOfN OM= ON 又OG= OEOGG= OE 又一/ MON= / GOE MON GOE ./

15、OMNZ OGE MM GE（3）陰影部分的面積為定值 4;1,由 CO陣 BONT知 S 陰影=S/bo葉 Sabom= Sa co葉 Saboim= Sabo<c= 4s 正萬形 abcd= 4；陰影部分的周長有變化；由 CM=BNT知 BM+BN=4.當(dāng)點(diǎn)M與BC的中點(diǎn)重合時，陰影部分的周長最小值為8,當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時，陰影部分的周長最大值為4+4 2.,一1一112(4)由CM= BN= x 及BM+BN=4T彳導(dǎo)BM= 4- x,故y = Samon= S 陰影S/ bmn=4- -x(4 x) = 2x2-2x +4.DG 1例題3 （中考試題改編）：正萬形ABCDW EF

16、GHTB是邊長為4的正萬形，點(diǎn)G在BD上，且BG 3正方形EFGH點(diǎn)G順時針旋轉(zhuǎn)過程中，GF交AB于點(diǎn)N, GH AD于點(diǎn)M.（1）猜想GM與GN的關(guān)系，并證明；.DG a .（2）若則GM GN的關(guān)系又如何？BG b（3）設(shè)BN= x,陰影部分的面積為 y,試探索y與x的函數(shù)關(guān)系式.功能分析：此題其實(shí)是例1、例2的變式拓展題，與前 2個例題的共同之處也在于旋轉(zhuǎn)中心都在一個正方 形的對角線上，不同之處在于此題設(shè)計的是一個正方形繞著另一個正方形的對角線上的任意一點(diǎn)旋 轉(zhuǎn)，使問題更加一般化.例2中的正方形在旋轉(zhuǎn)過程中一些線段相等、平行、面積不變等元素在此題 中都不再成立，證明的過程中的方法也發(fā)生了

17、變化，如證三角形全等轉(zhuǎn)化為證 三角形相似，但不變的還是旋轉(zhuǎn)的特征（性質(zhì)）.3個小題主要都是考查學(xué)生 在旋轉(zhuǎn)背景中 如何來構(gòu)造同一對相似三角形， 這是本題的難點(diǎn)之處， 其中第（3）小題還要考查學(xué)生如何把陰影部分的面積分割成直角三角形和直 角梯形的面積之和.第（1）題解決了，其他題目就好辦了 .如何突破這個難點(diǎn)，還是要運(yùn)用幾何畫板 的旋轉(zhuǎn)功能，運(yùn)用“化靜為動”的策略來解決.學(xué)法預(yù)設(shè)：第1問，估計學(xué)生會有較大的困難，這時不妨運(yùn)用幾何畫板的旋轉(zhuǎn)功能，運(yùn)用“化靜為動”的 策略從特殊位置探求一般規(guī)律，讓正方形HEFG著G點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，讓學(xué)生觀察得出，當(dāng)M與。點(diǎn)重合，N與P點(diǎn)重合（注：GO! DA于點(diǎn)Q GP&#

18、177;AB于點(diǎn)P,可分別顯示出 。點(diǎn)與P點(diǎn)），則四邊形 GMA濺 為矩形，此時的位置最特殊，再通過“以靜制動”補(bǔ)充一問：請求此時矩形的邊GM即OG肖GN（即GP）的比值，從而轉(zhuǎn)化為兩個等腰直角 DOGWGPBffi似的問題，則易求矩形的邊 GM GN的比值 一 1 一一 , 一 一， 等于不再通過幾何圓板旋轉(zhuǎn)正方形至如圖所小的一般位置，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)GM GN的比值關(guān)系其實(shí)就3一 _- 一，1一一是要證明 GO眺AGPtN從而轉(zhuǎn)化為剛才的矩形兩邊之比這樣思路就打通了3第2問，其實(shí)是第1問的更一般化的結(jié)論，思路和方法與第1問如出一轍，只不過具體的數(shù)字換成了字母而已，同時體現(xiàn)了特殊到一般的數(shù)學(xué)思想

19、方法第3問，根據(jù)第1、2問的圖形和證明過程中相似三角形的有關(guān)結(jié)論，從現(xiàn)成的圖形中學(xué)生會發(fā)現(xiàn)原來陰影部分面積可以分割成直角梯形與直角三角形的面積.易求DO=OG=11Gp=PB=3設(shè)BN=x,則 PN=3-x,利用 GOM GPNt出 OM1（3-x）,于是 AM=3-1（3-x）=2+ 1x.在這里，AM用 x 的代數(shù)式333表示是解決問題的關(guān)鍵，其實(shí)說到底還是用到了兩對相似三角形答案精要：GM OG 1GN GP 3'（1）過G作GOL DA于點(diǎn)0,過G作GP± AB于點(diǎn)P.易證 DOG GPB 故0G= OG= DG=：,再證得 GOWAGPtNGP PB GB 3GM

20、1= 一：GN 3' 什DG a (2)萬法同(1),若bg= b,則 (3)易求得 DO=OG=1 GP=PB=3 由 BN=x得 PN=3-x,故 OM1(3-x),于是 AM=3-1(3-x)=2+ ；x.333.y = ；(2+；x+3)+；X 3X(3-x)=7- 4x; 2323(三)總結(jié)提煉通過3個雙正方形旋轉(zhuǎn)的例習(xí)題的教學(xué)，要及時引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的總結(jié)和方法論的提煉，讓學(xué)生進(jìn)一步感受在旋轉(zhuǎn)過程中的變與不變.深刻領(lǐng)會旋轉(zhuǎn)的特征，即旋轉(zhuǎn)角度等于對應(yīng)邊的夾角，旋轉(zhuǎn)前后的圖形是全等形.同時體悟隱藏在旋轉(zhuǎn)背景背后的全等、相似、解直角三角形、函數(shù)、面積、特別是正方形的性質(zhì)等

21、數(shù)學(xué)核心的知識點(diǎn)以及特殊到一般思想、化歸思想、方程思想等數(shù)學(xué) 思想方法.(四)延伸拓展1、基礎(chǔ)訓(xùn)練：(中考試題改編)正方形 ABCM OEFCtB是邊長為12的正方形，其中點(diǎn) 。為正方形ABCD勺對 角線AC的中點(diǎn).正方形OEF磷點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)a (0。 < a <45° )DAE(I)猜想：圖中有哪些相等的線段(正方形的邊長相等除外)？寫出兩個并證明；(II )若NJ=5,求BN的長；(III )若CM=x四邊形OMJN勺面積為V,求y與x的函數(shù)關(guān)系式.答案精要：(I) CM=BN OM=O N MJ=NJ MG=NE 證明略；(II )易證 MO華ANOJ,設(shè)CM=B

22、J=x由NJ= MJ= 5可得BJ= 7-x ,在RtNBJ中利用勾股定 理可得x2+(7-x) 2=52,解得x=3或4.故BN等于3或4;(III )由(II )易知，y=36-%(7兇,即 y=-x2-|x+36.2、拓展訓(xùn)練：(2007無錫濱湖區(qū)中考模擬題)將兩張互相重合的正方形紙片ABCD EFGHW中心。用圖釘固定住，保持正方形 ABCK動，逆時針旋轉(zhuǎn)正方形EFGH.（I）試給出旋轉(zhuǎn)角度小于 90°時的一些猜想： M2 MA兩張正方形紙片的重疊部分的面積為定值；/ MONWI 45° 不變.請你對這三個猜想作出判斷（正確的在序號后的括號內(nèi)打上，錯誤的打上“X”

23、）：（）；（）；（）.（II ）可以發(fā)現(xiàn)：中的 EMN勺面積S隨著旋轉(zhuǎn)角度/ DOE勺變化而變化.請你指出在怎樣的 位置時 EMN勺面積S取得最大值.（不必證明）（III ）上面的三個猜想中若有正確的，請選擇其中的一個給予證明；若都是錯誤的，請選擇其一 說明理由.答案精要：（I ）（，）；（X）；（，）；（II） 當(dāng)/AOE=45時， EMN勺面積S取得最大值；（III） 對于猜想，連接 OA OE AE、OD ED.由已知得 OA=OE/ OAE=Z OEA又. / OAM=OEM=45 , . . / OAE-Z OAM= OEA-Z OEM 即/ MAEh MEAME=M A對于猜想，證

24、得 OMF分/ EOA同理ON¥分/ DOE,一，_1 , _1 /MOE廿 NOE2Z AOD2X90 =45 ,即/ MO琳持 45 不變.五、設(shè)計思路和意圖中考第一輪復(fù)習(xí)不是知識點(diǎn)的簡單重復(fù)，第一輪復(fù)習(xí)雖要以基礎(chǔ)為主，但也要兼顧綜合，體現(xiàn)“基礎(chǔ)+綜合”的復(fù)習(xí)思路，這樣才能滿足各個層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求.本節(jié)課選自圖形變換一章的復(fù)習(xí)，針對不同學(xué)習(xí)層次的學(xué)生展開教學(xué)過程的設(shè)計，體現(xiàn)“起點(diǎn)低（注重基礎(chǔ)，下要保底），步子緊（小步子式逐步提高要求），落點(diǎn)高（上不封頂）”的設(shè)計要求，利用幾何畫板的動畫功能演繹旋轉(zhuǎn)過程中的變與不變.這其中圍繞某一核心知識背景（本節(jié)課是旋轉(zhuǎn)）來設(shè)計“套題（題組）”式訓(xùn)練 是一條行之有效的途徑.1、要精心設(shè)計有效的復(fù)習(xí)課教學(xué)環(huán)節(jié) .通過“預(yù)學(xué)嘗試一互動反饋一總結(jié)提煉一延伸拓展”等 四個環(huán)節(jié)來解決相關(guān)問題.引導(dǎo)學(xué)生預(yù)學(xué)提問（猜想），師生合作梳理問題，學(xué)生先獨(dú)立嘗試，再互 動解決問題.在此基礎(chǔ)上教師再提出預(yù)設(shè)中的問題，有些雖然和學(xué)生提出的問題重復(fù)，但更能激發(fā)提出問題的學(xué)生的成就感.而對于學(xué)生沒有猜想到的新問題可以讓學(xué)生再次獨(dú)立及合作互動解決，反饋在嘗試和互動中生成.教師在教學(xué)時，要對所遇到的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行拓展，一題多問，一題多變，一圖 多變，一圖多用，多圖歸一，多解歸一，使同一個教學(xué)內(nèi)容發(fā)揮其最大的教學(xué)功能.在