1、誤差理論與數據處理第一章緒論1-1.研究誤差的意義是什么？簡述誤差理論的主要內容。答：研究誤差的意義為：(1)正確認識誤差的性質，分析誤差產生的原因，以消除或減小誤差；(2)正確處理測量和實驗數據， 合理計算所得結果，以便在一定條件下得到更接近于真值的數據；(3)正確組織實驗過程，合理設計儀器或選用儀器和測量方法，以便在最經濟條件下，得到理想的結果。誤差理論的主要內容：誤差定義、誤差來源及誤差分類等。1-2 .試述測量誤差的定義及分類，不同種類誤差的特點是什么？答：測量誤差就是測的值與被測量的真值之間的差；按照誤差的特點和性質，可分為系統誤差、隨機誤差、粗大誤差。系統誤差的特點是在所處測量條件

2、下，誤差的絕對值和符號保持恒定，或遵循一定的規律變化(大小和符號都按一定規律變化)；隨機誤差的特點是在所處測量條件下，誤差的絕對值和符號以不可預定方式變化；粗大誤差的特點是可取性。1-3 .試述誤差的絕對值和絕對誤差有何異同，并舉例說明。答：(1)誤差的絕對值都是正數，只是說實際尺寸和標準尺寸差別的大小數量，不反映是“大了”還是“小了”，只是差別量；絕對誤差即可能是正值也可能是負值，指的是實際尺寸和標準尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。(2)就測量而言，前者是指系統的誤差未定但標準值確定的，后者是指系統本身標準值未定15測得某三角塊的三個角度之和為 180°00&#

3、39; 02”，試求測量的絕對誤差和相對誤差解：oo絕對誤差等于180 0002 -180 =2相對誤差等于：21800180 60 60_2648000=0.00000308641 : 0.000031%1-6.在萬能測長儀上，測量某一被測件的長度為50mm已知其最大絕對誤差為 1 m試問該被測件的真實長度為多少?解： 絕對誤差=測得值一真值，即：AL=L-L0已知：L = 50, L=1m= 0.001mm測件的真實長度L 0=L4 1 = 50 0.001 =49.999 (mrm1-7.用二等標準活塞壓力計測量某壓力得100.2Pa ,該壓力用更準確的辦法測得為100.5Pa，問二等標

4、準活塞壓力計測量值的誤差為多少？解：在實際檢定中，常把高一等級精度的儀器所測得的量值當作實際值。故二等標準活塞壓力計測量值的誤差=測得值-實際值，即：100.2 100.5 = 0.3 ( Pa)1-8在測量某一長度時，讀數值為2.31m,其最大絕對誤差為20Nm,試求其最大相對誤差。1-9、解：2 ,由g =4L*d ,得2 ,對g =-干2進行全微分，令h =h +兒，并令Llg , l_h, L|T代替dg , dh , dT得從而Lg =肚_2二的最大相對誤差為： g h T=0.00005 2 400051.042302.0480=5.3625 104%由g =4*2+陰,得T=j呼

5、，所以gmaxhaxI-TmaxT I-hax l_ g minT - hmin gmax由-一2丁，有 LTmax =maxABS-( ;-), ABS吃( -) g h T2 h g2 h g1-10檢定2.5級(即引用誤差為2.5%)的全量程為100V的電壓表，發現50V刻度點的示值誤差2V為最大誤差，問該電壓表是否合格？該電壓表合格2/31-11為什么在使用微安表等各種表時，總希望指針在全量程的范圍內使用？答：當我們進行測量時，測量的最大相對誤差：XmaLnxmS%即 7 ma* =xmS%AoA。max Ao所以當真值一定的情況下，所選用的儀表的量程越小，相對誤差越小，測量越準確。因

6、此 我們選擇的量程應靠近真值，所以在測量時應盡量使指針靠近滿度范圍的三分之二以上.1-12用兩種方法分別測量 L1=50mm L2=80mm測得值各為50.004mm, 80.006mm）試評定兩 種方法測量精度的高低。相對誤差50 004 一 50L1：50mmI1 =100% =0.008%50L2：80mmi2 =80.006 80 100% =0.0075%80I1 >12 所以L2=80mn法測量精度高。1-13多級彈導火箭的射程為10000km時，其射擊偏離預定點不超過 0.lkm ,優秀射手能在 距離50m遠處準確地射中直徑為 2cm的靶心，試評述哪一個射擊精度高？解：多級

7、火箭的相對誤差為= 0.00001 = 0.001%10000射手的相對誤差為:1cm 0.01m0.0002 = 0.02%50m50m多級火箭的射擊精度高。1-14若用兩種測量方法測量某零件的長度 L1=110mm其測量誤差分別為士1儼m和±9Nm； 而用第三種測量方法測量另一零件的長度 L2=150mm其測量誤差為±12km,試比較三種測 量方法精度的高低。相對誤差I3 <I2 <I1第三種方法的測量精度最高第二章誤差的基本性質與處理2-1 .試述標準差、平均誤差和或然誤差的幾何意義。答：從幾何學的角度出發，標準差可以理解為一個從N維空間的一個點到一條直線

8、的距離的函數；從幾何學的角度出發，平均誤差可以理解為N條線段的平均長度；2-2 .試述單次測量的標準差和算術平均值的標準差，兩者物理意義及實際用途有何不同。2-3試分析求服從正態分布、反正弦分布、均勻分布誤差落在中的概率2-4.測量某物體重量共 8次，測的數據(單位為g)為236.45, 236.37, 236.51, 236.34,236.39 , 236.48 , 236.47 , 236.40 ,是求算術平均值以及標準差。2-5用別捷爾斯法、極差法和最大誤差法計算2-4 ,并比較 2-6測量某電路電流共 5次，測得數據(單位為 mA為168.41 ,168.54, 168.59 ,168

9、.40 , 168.50 o試求算術平均值及其標準差、或然誤差和平均誤差。或然誤差： R =0.6745；y =0.6745 0.037 =0.025(mA)平均誤差：T =0.7979；y=0.7979 0.037 =0.030(mA)2-7在立式測長儀上測量某校對量具，重量測量5次，測得數據(單位為mrm為20.0015 ,20.0016, 20.0018, 20.0015, 20.0011。若測量值服從正態分布，試以99%勺置信概率確定測量結果_ 20.0015 20.0016 20.0018 20.0015 20.0011-05正態分布 p=99%時，t =2.58測量結果：X = X

10、、limX = (20.0015 0.0003)mm2-7在立式測長儀上測量某校對量具，重復測量5次，測得數據(單位為mm為20. 0015,20.0016, 20.0018, 20.0015, 20.0011。若測量值服從正態分布，試以99%的置信概率確定測量結果。解：求算術平均值求單次測量的標準差xnJiy-20.0015mmnn 2乙 Vi t 二 26父10n -1= 2.55 10 “mm求算術平均值的標準差 確定測量的極限誤差因n= 5較小，算術平均值的極限誤差應按t分布處理。現自由度為：v =n1 = 4;a =1 0.99 =0.01 ,查t 分布表有：ta =4.60極限誤差

11、為寫出最后測量結果 L =x FmX = 20.0015 _5,24 10“ mm2-9用某儀器測量工件尺寸，在排除系統誤差的條件下，其標準差0.004mm,若要求測量結果的置信限為±0.005mm,當置信概率為99%外，試求必要的測量次數。正態分布 p=99%時，t=2.582-10用某儀器測量工件尺寸，已知該儀器的標準差（x=0.001mm,若要求測量的允許極限誤差為± 0.0015mm而置彳B概率P為0.95時，應測量多少次？解：根據極限誤差的意義，有根據題目給定得已知條件，有查教材附錄表3有若 n=5, v = 4, a =0.05 ,有 t =2.78 ,若 n=

12、4, v = 3, a =0.05 ,有 t =3.18 , 即要達題意要求，必須至少測量5次。2-12某時某地由氣壓表得到的讀數（單位為Pa）為102523.85, 102391.30 , 102257.97,102124.65, 101991.33 , 101858.01 , 101724.69, 101591.36,其權各為 1, 3, 5, 7, 8, 6, 4, 2,試求加權算術平均值及其標準差。2-13測量某角度共兩次，測得值為口1 =24 13'36", "2 = 24 13'24'',其標準差分別為 :-1 =31：二2 -1

13、3.8 ；試求加權算術平均值及其標準差。2-14 甲、乙兩測量者用正弦尺對一錐體的錐角各重復測量5次，測得值如下：試求其測量結果。甲：x甲=7；2'. 20"60"35"20"15""2'30"57" 25" 25" 20" 50" 45"=7233"乙：x乙=7 2' +2-15 .試證明n個相等精度測得值的平均值的權為n乘以任一個測量值的權。證明: 解：因為n個測量值屬于等精度測量，因此具有相同的標準偏差：n個測量值算術平均值的

14、標準偏差為白=%n已知權與方差成反比，設單次測量的權為P1,算術平均值的權為 P2,則2-16重力加速度的20次測量具有平均值為9.811m/s2、標準差為0.014m/s2。另外30次測量具有平均值為9.802m/s2,標準差為0.022m/s2。假設這兩組測量屬于同一正態總體。試求此 50次測量的平均值和標準差。2-17 對某量進行 10 次測量，測得數據為 14.7 , 15.0 , 15.2 , 14.8 ,15.5 , 14.6 , 14.9 , 14.8 , 15.1 ,15.0,試判斷該測量列中是否存在系統誤差。X =14.96按貝塞爾公式 % =0.263310工Vi按別捷爾斯

15、法C-2 a .253萬一y0.2642,10(10-1)由皂=1+u 得 u=1 =0.00342_ .u 一= =0.67所以測量列中無系差存在。vT2-18對一線圈電感測量10次，前4次是和一個標準線圈比較得到的，后6次是和另一個標準線圈比較得到的，測得結果如下(單位為mH：50.82, 50.83 , 50.87 , 50.89 ;50.78, 50.78 , 50.75 , 50.85 , 50.82 , 50.81。試判斷前4次與后6次測量中是否存在系統誤差。使用秩和檢驗法:排序:序號12345第一組第二組50.50.50.50.50.7578788182序號678910第一組50

16、.50.50.50.82838789第二組50.85T=5.5+7+9+10=31.5 查表t_ = 14 T+=30T >T+所以兩組間存在系差2-19 對某量進行 10 次測量，測得數據為 14.7 , 15.0 , 15.2 , 14.8 , 15.5 , 14.6 , 14.9 ,14.8, 15.1 ,15.0,試判斷該測量列中是否存在系統誤差。X =14.96按貝塞爾公式二-1 = 0.263310z Vi按別捷爾斯法:-2 =1.253“一吐0.2642,10(10-1)由=1 +u 得 u=1 =0.0034二 i二 iu < /=0.67所以測量列中無系差存在。,

17、n -12-20.對某量進行 12 次測量，測的數據為 20.06, 20.07, 20.06, 20.08, 20.10, 20.12,20.11 , 20.14, 20.18, 20.18, 20.21 , 20.19,試用兩種方法判斷該測量列中是否存在系統誤差。解:(1)殘余誤差校核法因為L0 = (-0.065 -0.055 -0.065 -0.045 0.025 0.005)(0.015 0.015 0.055 0.055 0.085 0.065)-0.54著不為0,存在系統誤差(2)殘余誤差觀察法殘余誤差符號由負變正，數值由大到小，在變大，因此繪制殘余誤差曲線，可見存在線形系統誤差

18、(3)二 i=0.05所以不存在系統誤差。2-22第三章誤差的合成與分配3-1相對測量時需用54.255mm的量塊組做標準件，量塊組由四塊量塊研合而成，它們的基本尺寸為l1=40mm, l2=12mm, l3=1.25mm, H.OOSmm。經測量，它們的尺寸偏差及其測量極限誤差分別為“ =-07"八2 = 0.5g ”3 = -03處,川4 =+0.1 出,Slim 11 =±0.35Nm,6iiml2 =±0.25Nm3iiml3 = ±0.20Nm, Mm I4 =±0.20Nm。試求量塊組按基 本尺寸使用時的修正值及給相對測量帶來的測量

19、誤差修正值二-1 .、2 工,-(-0.70.5 -0.3 0.1)=0.4(m)測量誤差：。1 =二 lim 11'： lim 12 lim 13'： lim 14=-；(0.35)2(0.25)2(0.20)2 (0.20)2=一 0.51(m)3-2 為求長方體體積V，直接測量其各邊長為 a = 161.6mm, b = 44.5mm, c=11.2mm 已知測量的系統誤差為Aa=1.2mm, Ab = 0.8mm , Ac = 0.5mm,測量的極限誤差為、a = 0.8mm6b =35mm , &= 0O.mmm ,試求立方體的體積及其體積的極限誤差。體積V系

20、統誤差AV為：立方體體積實際大小為：v =V0 - V =77795.70(mm3)測量體積最后結果表示為：33長方體的邊長分別為a i, a 2, a 3測量時：標準差均為 a ；標準差各為a i>(7 2、a 3 o試求體積的標準差。解：長方體的體積計算公式為：V =力6 a3體積的標準差應為：cv =,(")2012 (：")" (:V)24 ；1.&ca?：出3VFVV現可求出： =a2 丑3 ； = a1 'a3 ; =a1 a2：:a1：:a2：:a3 :二.二:二日:二 c 二:二123貝U有：V2 2；：V2 2"2

21、 2 FV2；：V2；:V2二 V = .(. )2 : 12 ( 一)2 二 2 (一)2二；二二.(一)2 ( 一 )2 (. )2 ,a二a3二ai ：冶2 二a3"二.(也為)？ (aia3) 2 (aia2) 2若：二-1 =二2=二3則有：；：v - ,(a2a3)二1，(aa3)二2 . (aaz)二33-4測量某電路的電流I =22.5mA,電壓U =12.6V ,測量的標準差分別為% =0.5mA,% =0.1V,求所耗功率 P=UI 及其標準差仃p。P=UI =12.6x 22.5 = 283.5(mw)P = f (U ,I) 丫 U、I 成線性關系, PuI

22、=13-9.測量某電路電阻 R兩端的電壓U,按式I=U/R計算出電路電流，若需保證電流的誤差 為0.04A,試求電阻R和電壓U的測量誤差為多少?角星：在I=U/R式中，電流I與電壓U是線性關系，若需要保證電流誤差不大于 0.04A,則要保證電壓的誤差也不大于 0.04XR312 按公式V=ti r2h求圓柱體體積，若已知 r約為2cm, h約為20cm,要使體積的相對誤差等于1%,試問r和h測量時誤差應為多少？解：若不考慮測量誤差，圓柱體積為根據題意，體積測量的相對誤差為1%,即測定體積的相對誤差為：即 c- =V 1% =251.2 1% =2.51現按等作用原則分配誤差，可以求出測定r的誤

23、差應為：測定h的誤差應為：3-14對某一質量進行4次重復測量，測得數據（單位g）為428.6, 429.2, 426.5, 430.8。已知測量的已定系統誤差& = -26g,測量的各極限誤差分量及其相應的傳遞系數如下表所示。若各誤差均服從正態分布，試求該質量的最可信賴值及其極限誤差。最可信極限誤差/g賴值序號誤差傳遞系數隨機誤差未定系統誤差12.1一12一1.513一1.014一0.5154.5一16一2.21.471.0一2.28一1.81x =x - . ： - 428.8 2.6 =431.4(g)測量結果表示為：x = X -2+，x =(431.4 _ 4.9)g第四章測量

24、不確定度41 某圓球的半徑為r,若重復10次測量得±山=(3.132 ± 0.005)cm ,試求該圓球最大截面的圓周和面積及圓球體積的測量不確定度，置信概率P=99%。解：求圓球的最大截面的圓周的測量不確定度已知圓球的最大截面的圓周為：D=2n T其標準不確定度應為：u = . D 二r2 = 2二 2二.2 =.4 3.141592 0.0052 ，.開= 0.0314cm確定包含因子。查t分布表10.01 (9) =3.25 ,及K= 3.25故圓球的最大截面的圓周的測量不確定度為：U= Ku= 3.25 X 0.0314 =0.102求圓球的體積的測量不確定度圓球體

25、積為：V =4 .二r3 3其標準不確定度應為：u仃2 =4 團 r2 2仃2 =416父3.141592 *3.1324 M0.0052 =0.616.二r確定包含因子。查t分布表10.01 (9) =3.25 ,及K= 3.25最后確定的圓球的體積的測量不確定度為U= Ku= 3.25 X 0.616 = 2.0024-2.望遠鏡的放大率D=f1/f2 ,已測得物鏡主焦距f1 ± «1= (19.8 ±0.10) cm,目鏡的主焦距f2±62= (0.800 ±0.005) cm,求放大率測量中由f1、f2引起的不確定度分量和放大率 D的標

26、準不 確定度。4-3.測量某電路電阻R兩端的電壓U,由公式I=U/R計算出電路電流I ,若測得U±(ru= (16.50±0.05) V, R±(tR= (4.26 ±0.02) Q、相關系數p UR-0.36,試求電流I的標準不確定度。4-4某校準證書說明，標稱值10c的標準電阻器的電阻R在20 C時為10.000742建±129NQ(P=99%),求該電阻器的標準不確定度，并說明屬于哪一類評定的不確定度。由校準證書說明給定:屬于B類評定的不確定度R 在10.000742 C-129NC, 10.000742 C+129 町范圍內概率為 99

27、% 不為 100%.不屬于均勻分布，屬于正態分布a =129當 p=99%時，Kp =2.584-5在光學計上用52.5mm的量塊組作為標準件測量圓柱體直徑，量塊組由三塊量塊研合而成，其尺寸分別是：l1=40mm,l2=10mm, l3=2.5mm,量塊按“級”使用，經查手冊得其研合誤差分別不超過 ±0.45km > ±0.30Nm、切.25Hm (取置信概率P=99.73%勺正態分布)，求該量塊組引起的測量不確定度。L = 52.5mml1 =40mml2=10mml3 = 2.5mm第五章線性參數的最小二乘法處理3x y =2.95-1測量方程為,x-2y=0.9

28、試求x、y的最小二乘法處理及其相應精度。誤差方程為2x -3y =1.9Vi =2.9 -(3x y)v2 = 0.9 -(x -2y)V3 =1.9-(2x-3y)nnnZ 向*aai2yali列正規方程IJ"代入數據得nnn'、ai2aix '、.配d2y ； ai2h i 1i 1i T'x= 0.962j =0.01514x-5y=13.4 i ' 解得-5x 14y = 4.6v1 -2.9 -(3 0.962 0.015) - -0.001將 x、y 代入誤差方程式 v2 =0.9-(0.962 -2X0.015) =-0.032 v3 =1.9 -(2 0.962-30.015) =0.021Z v2Z v2測量數據的標準差為二T =，, F =0.038 ,i n -t，3-2求解不定乘數14dli 5d12 =1 dii di2-5di114d12=0%21 d22 J 14d21 5d22 =0-5d21 14d22 =1解得 d11 =d22 =0.082x、y的精度分另1為crx