1、專題限時集訓(十一)圓錐曲線中的綜合問題(建議用時：20分鐘)1.易錯題已知橢圓C: a2+b2= 1(a>b>0)的離心率為呼，短軸長為2.(1)求橢圓C的標準方程;(2)設直線I: y= kx+ m與橢圓C交于M , N兩點，O為坐標原點，若koM koN5，一.=4,求原點o到直線的距離的取值范圍.解(1)由題意知 e= c=申，2b = 2,又 a2=b2+c2,所以 b= 1, a=2, a 22所以橢圓C的標準方程為+ y2= 1.(2)設 M(xi, y1)，N(x2, y2),y=kx+ m,由僅2 2得(4k2+1)x2+8kmx+ 4m2 4=0.* + y2j

2、則 A= (8km)2 4(4k2+1)(4m2 4)>0,化簡得 m2<4k2+1.2,8km4m 42x1 + x2=一 2 1，x1x2= 2 1，y1y2=(kx1+m)(kx2+m) = k x1x2+km(x1 + x2)+ m2,若 kOM kON=即 4yiy2 = 5xix2,所以貝5 一甲224k X1X2+ 4km(xi + x2)+ 4m= 5xix2,則(4k2 5)xix2 + 4km(xi + X2) + 4m2 = 0,所以(4k25) 4，m2 1)+ 4km148kmi 什 4m2=0,化簡得 m2+k2=1. 4k T i4 4k J4由得0&

3、amp;m2<6,白<k2<5.5 204一25-k2因為原點O到直線I的距離d=71%,所以d2=7mj=H2=1 +Yl+k1+k 1+k4(1+ k2)，又20< k205，所以 0& d2<7,解得 0Wd<2714所以原點O到直線l的距離的取值范圍為10,邛j.2. (2019北京高考)已知拋物線C: x2= 2py經過點(2, 1).(1)求拋物線C的方程及其準線方程；(2)設。為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點 M, N,直線y=1分別交直線OM, ON于點A和點B.求證：以AB為直徑的圓 經過y軸上的兩個定點

4、.解(1)由拋物線C： x2= 2py經過點(2, 1),得p = 2.所以拋物線C的方程為x2= 4y,其準線方程為y=1.(2)拋物線C的焦點為F(0, -1).設直線l的方程為y=kx 1(kw0).y= kx 1, Q由,24 得 x2+ 4kx 4= 0.設 M(x1，y1)，N(x2, y2),則 xx2= 4.直線0M的方程為y=3令y= - 1,得點A的橫坐標xa=.y1同理得點B的橫坐標xb= x2.y2設點 D(0, n),則DA=(-1 -n j, DB= (-y2, - 1 - nJdA DB=x1x2y1y2+ (n+1)2xT廿(n+1)24-5 -+ (n+1)2

5、，22=4+(n+1).令DA DB = 0,即4+(n+1)2=0, WJ n=1 或 n= 3.綜上，以AB為直徑的圓經過y軸上的定點(0,1)和(0, 3).每日押題題號內容押題依據1橢圓標準方程的求法，直線與橢圓的位置關系證明問題直線與橢圓的位置關系及橢圓方程的求解是 高考常規性問題，注重雙基，體現運算能力， 證明問題、考查學生的邏輯推理的素養，符合 局與取近動態2待定系數法求曲線的方 程，設而/、求的思想， 探索性問題探索性問題是一種動態問題，可以較好的考查 學生的動手、動腦能力，而“設而/、求”思想 是解答圓錐曲線常用的方法，符合高考最新動 態223【押題11 已知橢圓C: $+

6、b2=l(a>b>0)的離心率為2，右焦點為F,且該橢圓過點卜，%(1)求橢圓C的方程；(2)當動直線l與橢圓C相切于點A,且與直線x= 433相交于點B時，求證： FAB為直角三角形.解(1)由題意得 c = 43, 3+磊=1,又 a2=b2+c2,所以 b2=1, a2=4,即橢 a 2 a 4b2圓C的方程為+y2=1.(2)由題意可得直線l的斜率存在，y= kx+ m,設 l: y= kx+ m,聯立x22%+y2 = 1,得(4k2 +1)x2+ 8kmx+ 4m2 4 = 0,判別式 164k2m2 16(4k2+ 1)(m2- 1) = 0,得 m2=4k2+ 1&

7、gt;0.設 A(xi, yi),則8km 8kmxi = 2(4k2+1) = 2m2 =4km, yi = kxi + m=Hm,m m易得B貝 UFA=FA FB4；3.,3 k+m J,433k+m , F(V3, 0),4k m所以FA, FB,即 FAB為直角三角形，得證.4 3k彳4 ：3k彳八k+ m卜-望-1十焉十仁0，【押題2】 如圖，由部分拋物線y2=mx+ 1(m>0,x>0) 和半圓x2+y2=r2(x00)所組成的曲線稱為“黃金拋物線 C”，若“黃金拋物線C”經過點(3,2)和11, 例(1)求“黃金拋物線C”的方程；設P(0,1)和Q(0, 1),過點

8、P作直線l與“黃金拋物線C”交于A, P, B點，問是否存在這樣的直線1,使得QP平分/ AQB?若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.解(1)因為“黃金拋物線C”過點(3,2)和1, 皿2 2所以產=11：+償j=1,4=3m+1,解得m= 1.所以“黃金拋物線C”的方程為y2=x+1(x>0)和x2 + y2= 1(x0 0).(2)假設存在這樣的直線1,使得QP平分/AQB.顯然直線1的斜率存在且不為0,結合題意可設直線1的方程為y=kx+ 1(kw0), A(xa, yA), B(xb, yB),不妨令 xa< 0<xb.y kx + 1,2消去 y并整理，得 k2x2+(2k- 1)x=0,y =x+ 1(x> 0),匚廣r“ 1 2k1 k 目門 ci1 2k 1 k i r八 7rL .1 匚廣r“士/4所以 Xb=-k2, yB=, 即 B2, 由 Xb>0 知 k<2，所以直線kBQ的斜率為kBQ=L工. 1 - 2k,y=kx+ 1 , 、，一 一一 99由,x2+y2_1（xv0） 洎去 y并整理，得（k2+1）x2 + 2kx= 0,222k 1-k2k 1 k ）所以XA= 一 k2不彳，yA= k二1,即Ak2不彳，1 j,由Xa<0知k>