1、XT2.1 8. 分段分段函數函數y的導數的導數arctan 1 -1+ 1 42xxyxx 分析：分析：(1) 1&1 xx(2) 1x 求導法則求導法則單側導數定義單側導數定義1 0( )(1)lim1xf xfx 1 0( )(1)lim1xf xfx -1 + 42x ( 1)arctan14f arctanx1 0arctanarctan1lim1xxx 12 12 (1)f ？ ( 1)?fXT2.1 8. 分段分段函數函數y的導數的導數arctan 1 -1+ 1 42xxyxx 分析：分析：(1) 1&1 xx(2) 1x 求導法則求導法則單側導數定義單側導數定義1 0( )(

2、1)lim1xf xfx 1 0( )(1)lim1xf xfx ( 1)arctan14f 21 -11 2xxyx 12 12 1 (1)2f 1 0( )( 1)lim1xf xfx 1 0-1+424lim 1xxx 1 0-1+22lim 1xxx ( 1)f 不不存存在在第一節第一節 導數及其運算導數及其運算2.1.1 導數的概念導數的概念2.1.2 導數的基本公式和運算法則導數的基本公式和運算法則2.1.3 復合函數復合函數的導數的導數2.1.4 反函數和隱函數的導數反函數和隱函數的導數2.1.5 高階導數的概念高階導數的概念2.1.6 由參數方程所確定的函數的導數由參數方程所確

3、定的函數的導數180-2372.1.5 高階導數的概念高階導數的概念二、求高階導數二、求高階導數).0(),0(,arctanffxy 求求設設.),()(nyRxy求求設設 (3)(1)(2)求求 的二階導數的二階導數.xeysin (5)sin2(cossin )xexx二、求高階導數二、求高階導數(1).0(),0(,arctanffxy 求求設設解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 1. 直接法直接法:由高階導數的定義逐步求高階導數由高階導

4、數的定義逐步求高階導數.e (cossin ) e ( sincos )xxyxxxx 2esin2ecosxxyxx e(cossin ),xxx 2esin ,xx 2e(cossin ).xxx (2)求求 的二階導數的二階導數.xeysin 解解:sin(sin )xyex sin(cos )xyexsinsincoscos( sin )xxexxex sin2(cossin )xexxsincosxexsinsin() cos(cos )xxexex(3)(5).),()(nyRxy求求設設 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()(

5、nxnynn則則為為自自然然數數若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 1201(1)nnyna xna x 解解:2301(1)(1)(2)nnyn na xnna x 1na 22na 二、求高階導數二、求高階導數1. 直接法直接法:由高階導數的定義逐步求高階導數由高階導數的定義逐步求高階導數.P115 LT 3.),1ln()(nyxy求求設設 xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy ( )1(1)!( 1)(1)nnnnyx ( )1()1nx 1!( 1)1nnnx ( )(ln )nx ( )1()nx 1(1)!(

6、 1)nnnx 1!( 1)nnnx P116 LT4.,sin)(nyxy求求設設 )2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn2. n階導數的運算法則階導數的運算法則:則則階階導導數數具具有有和和設設函函數數,nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu ( )(3)()nu v( )(1)(2)()( )( )(1) 2!(1)(1)!nnnn kknn nuvnuvuvn nnkuvuvk ()( )0nkn kknkC uv 練習練習.,)20(22yexyx求求設設 解解則由萊布尼茲公式知則由萊布尼茲公式知設設,22xveux (20

7、)y 20222xex)9520(22220 xxex2(19)220()()xex 2(18)220(201)()()2!xex 0 19220 22xex18220 19222!xe 2(20)2()xex常用高階導數公式常用高階導數公式( )(4)()nx ( )(5)(ln )nx ( )(2)(sin)nkx ( )(3)(cos)nkx ( )(1)() (0)xnaa( )()xne ( )1()nx 利用已知的高階導數公式利用已知的高階導數公式, 通過四則通過四則運算運算, 變量代換等方法變量代換等方法, 求出求出n階導數階導數.3. 間接法間接法: lnnxaa xesin(

8、)2nkkxn cos()2nkkxn (1) (1)nnx 1(1)!( 1)nnnx 1!( 1)nnnx 練習練習.,11)5(2yxy求求設設 解：解：211yx 66)1(1)1(160 xx(5)ynnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( 1)(!)1()1( nnnxnx111()211xx6615!5!2(1)(1)xx 223d4sind(cos2)yyxy 4隱函數的高階導數隱函數的高階導數222dsinddcos2dyyyxyx d1d1cos0d2dyyyxx d2d2cosyxy 22ddyx 解：解： 將方程兩邊對將方程兩邊對x求導求導,得得繼續方程兩邊對繼續

9、方程兩邊對x求導求導,得得1dsin2dyyx 1cos2y ddyx22d0dyx 2ddyx高階導數的定義高階導數的定義高階導數求法舉例高階導數求法舉例1.直接法直接法2. 高階導數的運算法則高階導數的運算法則3.間接法間接法4隱函數隱函數、2.1.5 高階導數的概念高階導數的概念第一節第一節 導數及其運算導數及其運算2.1.1 導數的概念導數的概念2.1.2 導數的基本公式和運算法則導數的基本公式和運算法則2.1.3 復合函數復合函數的導數的導數2.1.4 反函數和隱函數的導數反函數和隱函數的導數2.1.5 高階導數的概念高階導數的概念2.1.6 由參數方程所確定的函數的導數由參數方程所

10、確定的函數的導數設參數方程設參數方程( ),xt ( ),yt ( ,)t 2.1.6 由參數方程所確定的函數的導數由參數方程所確定的函數的導數( ), ( ,),( ),( ),xttxtyt 若若嚴嚴格格單單調調d( )d( )ytxt 1. 參數方程求導法則參數方程求導法則d( )ddd ( )ddtyttxt dd.ddytxt( ), ( ),xtyt d( ).d( )ytxt 1( )x ddyx ( ).( )tt 1.( ) t 1( ) ( )tx 1. 求由參數方程求由參數方程 )cos1()sin( ayax所確定的函數所確定的函數y = y(x)的導數的導數).0(d

11、daxy解解: :d( (1cos )d( (sin )yaxa sin1cos 0 2 a ).0(4sincos33 aayax處處的的切切線線方方程程在在 ,4when 4d dykx 切切線線斜斜率率33d( sin)d( cos)yaxa 223sincos3cos( sin ) tan a aoyx322,24xaa24ya tan4 22 ()44yaxa 切切線線方方程程: :2 0.2xya或或1 ddd/dddyxtxt ddddyxxddddddyttxx 22ddyx dcosdsinybtxat 解解cotbta 2cscsinbtaat 23sinbat )(, )

12、(tyytxx 為兩可導函數為兩可導函數yx ,之間有聯系之間有聯系tytxdd,dd之間也有聯系之間也有聯系稱為稱為相關變化率相關變化率相關變化率相關變化率P119LT3解解,秒后秒后設氣球上升設氣球上升t500tanh 求求導導得得兩兩邊邊對對t 2sec 0),( hF (1)(2)?,500./140,500多少多少員視線的仰角增加率是員視線的仰角增加率是觀察觀察米時米時當氣球高度為當氣球高度為秒秒米米其速率為其速率為米處離地面鉛直上升米處離地面鉛直上升一氣球從離開觀察員一氣球從離開觀察員),(th其高度為其高度為則則的仰角為的仰角為觀察員視線觀察員視線),(t tdd 5001 th

13、dd ,/140dd秒秒米米 th tdd 仰角增加率仰角增加率(3)2sec2 140500121 )/(14. 0分分弧度弧度 h500, tan1,h 當當時時50022sec1tan相關變化率解法三步驟相關變化率解法三步驟找出相關變量的關系式找出相關變量的關系式對對t 求導求導相關變化率相關變化率求出未知的相關變化率求出未知的相關變化率相關變化率相關變化率0),( yxFtytxdddd和和之間的關系式之間的關系式 代入指定時刻的變量值及已知變化率代入指定時刻的變量值及已知變化率,(1)(2)(3)2.1.6 由參數方程方程所確定的函數的導數由參數方程方程所確定的函數的導數1、參數方程

14、求導法則、參數方程求導法則2、由極坐標方程所確定的函數求導、由極坐標方程所確定的函數求導2、極坐標式求導、極坐標式求導(1) 極坐標系極坐標系oMr xC(2) 曲線的極坐標方程曲線的極坐標方程cossinxryr ( )rr 如如,:ra 圓圓ra 半射線半射線 ：極軸、極點：極軸、極點( , )0F x y (3) 極坐標式求導極坐標式求導設曲線設曲線: rr 化為直角坐標化為直角坐標下參數式為下參數式為 cossinxryr 則則 sincosddcossinrryxrr tanddtanrryxrr xyO rr rtan 則則, tandtand1tanrryrxr 從而從而 tan

15、tantantan1tantanrr 為徑向沿逆時針方向轉到切線位置的夾角為徑向沿逆時針方向轉到切線位置的夾角.xyO rrr tanddtanrryxrr tantantan()1tantan P122 LT4 由極坐標方程由極坐標方程 r =1所確定的函數的導數所確定的函數的導數dy/dx cossinxryr cossinxy dcosdsinyx xy P111 LT3 求方程求方程 x2+y2 =1所確定的隱函數的導數所確定的隱函數的導數.42sin處處的的法法線線方方程程在在求求曲曲線線 ar解解 將曲線的極坐標方程轉換成將曲線的極坐標方程轉換成 cos)( rx cos2sina

16、 sin)( ry sin2sina )( 為參數為參數 則曲線的切線斜率為則曲線的切線斜率為xydd cos2sinsin2cos2aa 1 所以法線斜率為所以法線斜率為又切點為又切點為隱函數及由參數方程所確定的函數的導數隱函數及由參數方程所確定的函數的導數 相關變化率相關變化率 4 4 ,224ax ay224 sin2sincos2cos2aa 故法線方程為故法線方程為axay2222 即即0 yx, 1參數方程參數方程 這種將極坐標方程化為參數方程這種將極坐標方程化為參數方程,借助借助參數方程處理問題的方法參數方程處理問題的方法,在高等數學中將在高等數學中將多次遇到多次遇到.第一節第一

17、節 導數及其運算導數及其運算2.1.1 導數的概念導數的概念2.1.2 導數的基本公式和運算法則導數的基本公式和運算法則2.1.3 復合函數復合函數的導數的導數2.1.4 反函數和隱函數的導數反函數和隱函數的導數2.1.5 高階導數的概念高階導數的概念2.1.6 由參數方程所確定的函數的導數由參數方程所確定的函數的導數0lim =0f (x) 點點x0y x 0 xxx 00()()yf xxf x 0( )()yf xf x f (x) 點點x0 連續連續xy)(lim00 xfxyx 點點x0 導數導數第二章第二章 微分學微分學第一節第一節 導數及其運算導數及其運算第二節第二節 微分微分0

18、( )()yf xf x 20 xA 0 x0 x,00 xxx 變到變到設邊長由設邊長由2Ax 正正方方形形面面積積的的改改變變量量2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的主要部分的主要部分且為且為的線性函數的線性函數Ax .,很小時可忽略很小時可忽略當當的高階無窮小的高階無窮小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0再例如再例如,.,03yxxxy 求函數的改變量求函數的改變量時時為為處的改變量處的改變量在點在點設函數設函數3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小時時當當 x .320 xxy ),()2(

19、xox 的高階無窮小的高階無窮小是是既容易計算又是較好的近似值既容易計算又是較好的近似值 問題問題: : 一般一般函數函數y=f (x)是否也有是否也有 y=f (x+ x)-f (x)=A x+o( x)? ),(無無關關的的常常數數是是與與xA A是什么是什么? 如何求如何求?二、微分的定義二、微分的定義00: d d ()x xyf x 記記作作 或或, )(,)()()()().(0000的的微微分分相相應應于于自自變變量量增增量量在在點點為為函函數數并并且且稱稱可可微微在在點點則則稱稱成成立立如如果果設設函函數數xxxfyxAxxfyxoxAxfxxfyxfy . xA 二、微分的定

20、義二、微分的定義函數的函數的微分：微分：d.yy 微微分分叫叫做做函函數數增增量量的的線線性性主主部部( (微分的實質微分的實質) )( ),dd ( ),yf xxyf x 函函數數在在任任意意點點 的的微微分分 稱稱為為函函數數的的微微分分 記記作作或或)()()(00 xoxAxfxxfy 0d()xxyox 0d.xxyAx d.yA x即即由定義知由定義知: :(1)d;yx 是是自自變變量量的的改改變變量量的的線線性性函函數數(2)dyy (3),Ax 是是與與無無關關的的常常數數 但但與與(4),d().xyy 當當很很小小時時線線性性主主部部d.yA x A是什么是什么?如何求

21、如何求?;)(高階無窮小高階無窮小是比是比 xxo ( );f xx和和 有有關關d()yyox 三、可微的條件三、可微的條件).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且處可導處可導在點在點函數函數可微的充要條件是可微的充要條件是在點在點函數函數定理定理證：證：(1) 必要性必要性,)(0可可微微在在點點xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00則則.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可導可導在點在點即函數即函數(2) 充分性充分性),()(0 xxxfy 從而從而,)(0 xfxy即即,)(0可可導導在在點點函函數數xxf),(lim00

22、xfxyx ),0(0 x ),()(0 xoxxf 00( ),().f xxfxA 函函數數在在點點可可微微且且).(.0 xfA 可可微微可可導導00000000( ) ,D,()()()( ),( ),d=d ()x xyf xxxxyf xxf xAxoxyf xxAxyf xxxyf xAx 設設函函數數如如果果在在點點可可微微 并并且且稱稱為為函函數數在在點點相相應應于于自自變變量量增增量量的的微微分分記記作作二、微分的定義二、微分的定義 0.fxx .fxx, dyAx函函數數的的微微分分yxP132 LT3解解.02. 0, 23時的微分時的微分當當求函數求函數 xxxy3d

23、()yxx .32xx 20.02dxxy .24. 0 d( ).yfxx02. 0223 xxxx,d ,d.xxxxx 通通常常把把自自變變量量 的的增增量量叫叫做做自自變變量量的的微微分分記記作作即即d( )d .yfxx d( ).dyfxx dd.yx即即函函數數的的微微分分與與自自變變量量的的微微分分之之商商等等于于該該函函數數的的導導數數 導導數數也也叫叫 微微商商第二節第二節 微分微分)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x , d.yy 當當是是曲曲線線的的縱縱坐坐標標增增量量時時就就是是切切線線縱縱坐坐標標對對應應的的增增量量xx 0 P .,MNMPMx可

24、近似代替曲線段可近似代替曲線段切線段切線段的附近的附近在點在點很小時很小時當當 d( )dyfxx : : 計算函數的導數計算函數的導數, 乘以自變量的微分乘以自變量的微分.1. 基本初等函數的微分公式基本初等函數的微分公式d( ) d()d(sin ) d(cos )d(tan ) d(cot)d(sec ) d(csc )Cxxxxxxx 2 0 cos d secd sectan d x xx xxx x12 d sin d cscd csccot dxxx xx xxx x 21dxx 1d2xx 1d()xd()xd() d()d(log) d(ln )d(arcsin ) d(ar

25、ccos )d(arctan ) d(arccot)xxaaexxxxxx22 ln d 1 d ln1 d 11 d 1xaa xxxaxxxx 22 d1 d1 d11 1xexxxxxx dxdln sectanxx sec dx x dln csccotxx csc dx x 1. 基本初等函數的微分公式基本初等函數的微分公式1解：解：2ln(),d .xyxey設設求求 y2212dd .xxxeyxxe ,2xex 212xxe d()ddd()duvuvCuC ud()dduvv uu v2ddd( )uv uu vvv 21dd( )vvv 例例2解解:1 3cos ,d .x

26、yexy 設設求求1 3dcosd()xyxe )(31xe1 31 3dcos( 3)d( sin )dxxyxexexx 1 3(3cossin )d .xexxx 1 3d(cos )xex d()dduvv uu v.sin)(cosxx ,331xe 第二節第二節 微分微分的微分形式總是的微分形式總是是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量無論無論)(,xfyx (1),d( )d ;xyfxx 若若 是是自自變變量量時時則則可微函數可微函數的的即另一變量即另一變量是中間變量時是中間變量時若若),( ,)2(txtx ),()(xfxfy 有有導導數數設設函函數數dy d( )d ,

27、xtt d( )d .yfxx 結論結論：微分形式的不變性微分形式的不變性( ) ( )dfxtt 2解解sin,d .axyebxy 設設求求dsind()cosd()axaxyebxaxebxbx sin()dcosdaxaxbx eaxebx bx ( cossin)d .axebbxabxx 1解解sin(21),d .yxy設設求求. 12,sin xuuydcos dyu ucos(21)d(21)xxcos(21) 2dxx 2cos(21)d .xx ddsind(sin)axaxyebxebx1 3cos ,d .xyexy 設設求求3解解在下列等式左端的括號中填入適當的函數

28、在下列等式左端的括號中填入適當的函數,使使等式成立等式成立.d()cosd ;t t d(sin)cosd ,tt t 1cosdd(sin)t tt 1d(sin)cosd .tCt t 1d(sin);t 1d2xx 1d()xd()x21d( )dxx 2d(sin)()d().xx 2d(sin)d()xx ,cos42xxx 22d(sin)(4cos)d().xxxxx3 在下列等式左端的括號中填入適當的函數在下列等式左端的括號中填入適當的函數,使使等式成立等式成立.22 cosd1d2xxxxx一、一、 問題的提出問題的提出第二節第二節 微分微分二、二、 微分的定義微分的定義五、微分的求法五、微分的求法1. 微分公式微分公式2. 微分四則