1、雙曲線雙曲線及其標準方程及其標準方程授課人：高美玲授課人：高美玲1. 橢圓的定義橢圓的定義和和等于常數等于常數(大于大于|F1F2|)的點的軌跡的點的軌跡.平面內與兩定點平面內與兩定點F1、F2的距離的的距離的1F2F 0, c 0, cXYO yxM ,|MF1|+|MF2|=2a( 2a|F1F2|0) 思 考：平面內與兩平面內與兩定點定點F1，F2的距離的的距離的差差為非零常數的點為非零常數的點的軌跡是什么？的軌跡是什么？數學實驗：數學實驗：11取一條拉鏈；取一條拉鏈；22如圖把它固定在板如圖把它固定在板上的兩點上的兩點F F1 1、F F2 2；3 3 拉動拉鏈（拉動拉鏈（M M）。）

2、。思考思考：拉鏈運動的軌跡：拉鏈運動的軌跡是什么？是什么？雙曲線在生活中雙曲線在生活中 .上海吳涇熱電廠雙曲線自然通風冷卻塔上海吳涇熱電廠雙曲線自然通風冷卻塔德國慕尼黑新寶馬總部德國慕尼黑新寶馬總部多角形雙曲線設計多角形雙曲線設計雙曲線交通結構緩解道路擁擠宇宙中彗星的運行軌跡宇宙中彗星的運行軌跡平面平面內與兩個定點內與兩個定點F F1 1，F F2 2的距離的的距離的差差的的絕對值絕對值等于等于非零非零常數常數 （小于小于F F1 1F F2 2）的點的軌跡）的點的軌跡叫雙曲線。叫雙曲線。雙曲線的定義雙曲線的定義(1) (2) 兩個定點兩個定點F1、F2雙曲線的雙曲線的焦點焦點; F1F2=2

3、c 焦距焦距.oF2F1M（1）2a0 ；注意注意oF2F1M 我們知道，平面內與兩個定我們知道，平面內與兩個定點點F1，F2的距離的差的絕對值的距離的差的絕對值等于常數等于常數（小于（小于F1F2的正數的正數)的的點的軌跡叫做點的軌跡叫做雙曲線雙曲線. 試分別討論當常數試分別討論當常數等于等于F1F2和和大于大于F1F2時點的軌跡時點的軌跡.當當2 2 = 2c 2c時時, ,點點M M的軌跡是的軌跡是兩條射線；兩條射線；當當2 2 2c 2c時時, ,點點M M的軌跡的軌跡不存在不存在F1 F2M思考：若思考：若2a=0,則軌跡是什么？則軌跡是什么？F2 2F1 1MxOy求曲線方程的步驟

4、：求曲線方程的步驟：雙曲線的標準方程雙曲線的標準方程1. 1. 建系建系. .以以F1,F2所在的直線為所在的直線為x軸，線段軸，線段F1F2的中點為原點建立直角坐標系的中點為原點建立直角坐標系2.2.設點設點設設M（x , y）,則則F1(-c,0),F2(c,0)3.3.列式列式MF1 - MF2=2a4.4.化簡化簡aycxycx2)()(2222即aycxycx2)()(2222222222)(2)(ycxaycx222)(ycxaacx)()(22222222acayaxac222bac)0, 0(12222babyax此即為此即為焦點在焦點在x軸上的軸上的雙曲線雙曲線的標準的標準方

5、程方程12222byax12222bxayF2 2F1 1MxOyOMF2F1xy)00(ba，若建系時若建系時,焦點在焦點在y軸上呢軸上呢?222cab思考：思考：如何判斷雙曲線如何判斷雙曲線焦點的位置？焦點的位置？22221xyab22221yxab(0,0)ab222cabF2 2F1 1MxOyOMF2F1xy判斷焦點的位置方法：判斷焦點的位置方法：雙曲線看正負，焦點跟著正的走雙曲線看正負，焦點跟著正的走橢圓要看分母，焦點跟著大的走橢圓要看分母，焦點跟著大的走把雙曲線方程化成標把雙曲線方程化成標準形式后，準形式后， x2項的系數為正，項的系數為正，焦點在焦點在x軸上；軸上； y2項的系

6、數為正，項的系數為正，焦點在焦點在y軸上軸上. .1916)4(22xy1169)3(22yx1925) 1 (22yx1259)2(22yx 把橢圓方程化成標把橢圓方程化成標準形式后，準形式后，x2項的分母較大，項的分母較大，焦點在焦點在x軸上；軸上； y2項的分母較大，項的分母較大，焦點在焦點在y軸上軸上. .定義定義圖象圖象方程方程焦點焦點a.b.c的關系的關系1212202MFMFaaFF，22221xyab22221yxab ,0 ,0cc 0, 0,cc222cab誰正誰對應誰正誰對應 aa,b無無大大小小關關系系變式變式3： 已知雙曲線的焦距為已知雙曲線的焦距為10，雙曲線上一點

7、，雙曲線上一點P到兩焦點到兩焦點F1、F2的距離的差的絕對值等于的距離的差的絕對值等于6，求雙，求雙曲線的標準方程曲線的標準方程.解解: :116922 yx或或116922xy 補充練習補充練習2：已知雙曲線的焦點為：已知雙曲線的焦點為F1(-5,0), F2(5,0)雙曲線上一點到焦點的距離差的絕對值等于雙曲線上一點到焦點的距離差的絕對值等于6，則，則 (1) a=_ , c =_ , b =_(2) 雙曲線的標準方程為雙曲線的標準方程為_(3)雙曲線上一點，雙曲線上一點，若若 |PF1|=10,則則|PF2|=_若若|PF1|=3,則則|PF2|=_354116922 yx4或或169練

8、習練習3：2y2-x2=2的焦點為的焦點為 、焦距是、焦距是 .(0,3)2 322112yx221.121xymmm如果方程表示雙曲線,求 的取值范圍.變式一變式一: :22121xymm1m 或或2m 10220mmm 變式二變式二:22121xymm3.動圓經過動圓經過A(5,0),且與定圓且與定圓B(x+5)2+y2=49外切外切,求動圓的圓心軌跡求動圓的圓心軌跡.OxyB(-5,0)A(5,0)M(x,y)222bac | |MF1|- -|MF2| | =2a（ 2a0，b0，但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2|MF1|MF2|=2a |MF1

9、|+|MF2|=2a 橢橢 圓圓雙曲線雙曲線22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxababF2 2F1 1MxOyOMF2F1xy橢圓看大小，焦點跟著大的跑橢圓看大小，焦點跟著大的跑雙曲線看正負，焦點跟著正的去雙曲線看正負，焦點跟著正的去M小結：小結：1.a=4,b=3,焦點在焦點在x軸上軸上;2.焦點為焦點為(0,-6),(0,6),過點過點(2,5)3.a=4,過點過點(1, )4103.12222才能確定雙曲線的方程一般需兩個獨立的方程中有兩個待定的字母，雙曲線方程byax(1)(2)(3)().abcabc其基本

10、類型有：已知 、 、 中的兩個的值；已知 、 、 中的一個的值和雙曲線過一點；已知雙曲線過兩個與坐標軸 原點 不對稱的點1. 方程方程mx2-my2=n中中mn 1,則關于則關于x、y的方程的方程(1- k )x2+y2= 1 - k2 所所表示的曲線是表示的曲線是 A、焦點在、焦點在x軸上的橢圓軸上的橢圓C、焦點在、焦點在y軸上的橢圓軸上的橢圓B、焦點在、焦點在y軸上的雙曲線軸上的雙曲線D、焦點在、焦點在x軸上的雙曲線軸上的雙曲線222111xykk2110,10kkk補充練習：補充練習：已知方程已知方程kx2+y2=4(kR),討論討論k取不同實數時方程所表示的曲線取不同實數時方程所表示的

11、曲線.(1) K=0時時,直線直線y=2.(2) k=1時時,是是x2+y2=4,圓圓.(3)0k1時時,是焦點在是焦點在y軸上的橢圓軸上的橢圓.(5)k0時時,焦點在焦點在y 軸上的雙曲線軸上的雙曲線.1. 雙曲線雙曲線 的焦點坐標是的焦點坐標是 .1422ykx),(k 40鞏固練習：鞏固練習： 2. 雙曲線雙曲線 的焦距是的焦距是6，則，則k= . kyx222 6 3. 若方程若方程 表示雙曲線，求實數表示雙曲線，求實數k的的 取值范圍取值范圍. 15222kykx|-2k5定定 義義 方方 程程 焦焦 點點a.b.c的關的關系系F（c，0）F（c，0）a0，b0，但，但a不一不一定大

12、于定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2|MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a 橢橢 圓圓雙曲線雙曲線F（0，c）F（0，c）22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab例例4、一炮彈在某處爆炸，在、一炮彈在某處爆炸，在A處聽到爆炸聲的時間比在處聽到爆炸聲的時間比在B處晚處晚2 s . （1）爆炸點應在什么樣的曲線上？）爆炸點應在什么樣的曲線上？（2）已知）已知A、B兩地相距兩地相距800 m，并且此時聲速為，并且此時聲速為340 m/s，求，求曲線的方程曲線的方程 .解：解：（1）由）由A

13、、B兩處聽到爆炸聲的時間差為兩處聽到爆炸聲的時間差為2 s ，可知，可知A、B兩處與爆炸點的距離的差為兩處與爆炸點的距離的差為2v（v為聲速），因此爆炸點為聲速），因此爆炸點應位于以應位于以A、B為焦點的雙曲線上。為焦點的雙曲線上。因為爆炸點離因為爆炸點離A處比離處比離B處更遠，所以爆炸點應在靠近處更遠，所以爆炸點應在靠近B處處的一支上。的一支上。3.方程方程(2+ )x2+(1+ )y2=1表示雙曲線的充要條件表示雙曲線的充要條件 是是 . -2 -11. 過雙曲線過雙曲線 的焦點且垂直的焦點且垂直x軸的弦的長度軸的弦的長度 為為 .14322yx33815422xy1. 已知雙曲線與橢圓已

14、知雙曲線與橢圓 有共同的焦點，且與有共同的焦點，且與 橢圓相交，一個交點橢圓相交，一個交點A的縱坐標為的縱坐標為4，求雙曲線的方程，求雙曲線的方程. 1362722yx四、練習與習題：四、練習與習題：3、已知、已知F1、F2為為 雙曲線雙曲線 的焦點，弦的焦點，弦MN過過F1且且M、 N在同一支上，若在同一支上，若|MN|=7， 求求MF2N的周長的周長.191622yx2、已知橢圓、已知橢圓 與雙曲線與雙曲線 有相同的焦點有相同的焦點F1、F2，P為兩條曲線的交點，求為兩條曲線的交點，求 |PF1| |PF2|的值的值.0122nmnymx012222babyax,F1F2PMNF2F1 4、已知雙曲線、已知雙曲線16x2-9y2=144 求焦點的坐標；求焦點的坐標； 設設P為雙曲線上一點，且為雙曲線上一點，且|PF1| |PF2|=32，求，求 ； *設設P為雙曲線上一點，且為雙曲線上一點，且 F1PF2=120 ，求，求 . 21PFFS21PFFSPBA Cxyo看看 前的系數，哪一個為正，前的系數，哪一個為正，則在哪一個軸上則在哪一個軸上22, yx12222byax比較和12222bxay的異同之處。確定焦點位置：橢圓看分母確定焦點位置：橢圓看分母大小，雙曲線看系數正負