1、2007 年數(shù)學(xué)一一、選擇題： (本題共10 小題，每小題 4分，共 40分 . 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)當 x0時，與x 等價的無窮小量是(A)1 e x .(B)ln 1x. (C)1x1 .(D) 1 cosx .B 1x【分析】 利用已知無窮小量的等價代換公式，盡量將四個選項先轉(zhuǎn)化為其等價無窮小量，再進行比較分析找出正確答案 .【詳解】 當 x0時，有 1e x(e x1) x ； 1x 11x ；1x )2121cosx (x. 利用排除法知應(yīng)選 (B).122(2)曲線 yln(1ex ) ，漸近線的條數(shù)為x(A) 0.

2、(B) 1.(C) 2.(D) 3.D 【分析】先找出無定義點，確定其是否為對應(yīng)垂直漸近線；再考慮水平或斜漸近線。【詳解】因為 lim 1ln(1ex )，所以 x0 為垂直漸近線；又 lim 1x0xln(1ex )0 ，所以 y=0 為水平漸近線；x x進一步， lim ylim 12ln(1 ex ) lim ln(1ex ) = limex x 1，xxxxxxxx1elim y 1 xlim 1ln(1 ex )x = limln(1ex )xxxxx= limln ex (1e x )xlim ln(1e x)0 ，xx于是有斜漸近線： y = x.故應(yīng)選 (D).(3)如圖，連續(xù)

3、函數(shù)y=f(x)在區(qū)間 - 3， - 2， 2， 3上的圖形分別是直徑為 1的上、下半圓周，在區(qū)間- 2，F(xiàn) ( x)x0， 0， 2的圖形分別是直徑為2 的上、下半圓周，設(shè)f (t)dt .則下列結(jié)論正確的是0(A)F (3)3 F( 2).(B) F (3)5 F(2) .44(C)F (3)3 F(2).(D)F (3)5 F (2) . C 44【分析】本題考查定積分的幾何意義，應(yīng)注意f(x)在不同區(qū)間段上的符號，從而搞清楚相應(yīng)積分與面積的關(guān)系。【詳解】根據(jù)定積分的幾何意義，知F(2)為半徑是1 的半圓面積： F (2)1，1 (1)2 33 F(2) ，2F(3)是兩個半圓面積之差：

4、F (3)12=2284F (3)3f ( x)dx0f ( x) dx3F (3)03f ( x) dx0因此應(yīng)選 (C).1/10(4) 設(shè)函數(shù) f(x)在 x=0 處連續(xù)，下列命題錯誤的是(A) 若 limf (x) 存在，則 f(0)=0.(B) 若 limf ( x)f (x)x 0xx 0x(C) 若 limf (x) 存在，則 f (0) 存在 .(D) 若 limf ( x)f (x)x 0xx 0x存在，則f(0)=0.存在，則f (0) 存在D【分析】 本題為極限的逆問題，已知某極限存在的情況下，需要利用極限的四則運算等進行分析討論。【詳解】 (A),(B)兩項中分母的極限

5、為 0，因此分子的極限也必須為 0，均可推導(dǎo)出 f(0)=0.若 limf (x) 存在，則 f (0)0, f (0)lim f ( x)f (0)limf (x)0 ，可見 (C)也正確，故應(yīng)選 (D). 事實上，x 0xx 0x0x 0x可舉反例： f ( x)x 在 x=0 處連續(xù)，且lim f ( x)f ( x) = limxx0 存在，但 f ( x)x 在 x=0 處不可導(dǎo)。x0xx 0x(5)設(shè)函數(shù) f(x)在 (0,) 上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f ( x)0.令 u nf (n)( n 1,2, ,) ,則下列結(jié)論正確的是(A) 若 u1u2 ，則 un 必收斂 .(B) 若 u

6、1u2 ，則 un 必發(fā)散 .(C) 若 u1u2 ，則 un 必收斂 .(D) 若 u1u2 ，則 un 必發(fā)散 .D【分析】可直接證明或利用反例通過排除法進行討論。【詳解】設(shè) f(x)= x2 , 則 f (x)在 (0,) 上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f (x)0, u1u2 ，但 un n2 發(fā)散，排除(C)。 設(shè) f(x)= 1 , 則 f(x)在 (0,) 上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f ( x)0, u1u2 ，但 un 1 收斂，排除 (B)。 又若xn設(shè) f (x)ln x ，則 f(x)在 (0,) 上具有二階導(dǎo)數(shù)， 且 f ( x)0, u1u2 ，但 un ln n 發(fā)散，排除 (A).

7、故應(yīng)選 (D).(6) 設(shè)曲線 L : f (x, y)1( f (x, y) 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù))，過第II 象限內(nèi)的點M 和第 IV 象限內(nèi)的點N， T為 L 上從點 M 到點 N 的一段弧，則下列小于零的是(A)f ( x, y) dx .(B)f ( x, y)dy .TT(C)f (x, y)ds.(D)Tfx (x, y)dxf y (x, y)dy .BT【分析】直接計算出四個積分的值，從而可確定正確選項。【詳解】 設(shè) M、N 點的坐標分別為 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), x1x2 , y1y2 . 先將曲線方程代入積分表達式，再計算有：f ( x,

8、 y) dxdxx2x10 。f ( x, y)dyTdy y2y10 。TTT。( , )( , )( , )0 .Tf (x, y)dsdss0f x x y dxf y x y dydfx yTTT故正確選項為 (B).(7) 設(shè)向量組1, 2,3 線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是2/10(A)12 ,23,31 .(B)12 ,23 ,31 .(C)122 ,223 ,321.(D)12 2 ,223,321. A【詳解】 用定義進行判定 :令x1 ( 12 )x2 ( 23 )x3 ( 31) 0，得( x1x3 ) 1( x1x2 ) 2( x2x3 ) 30 .x1x30,10

9、1因 1 ,2 , 3 線性無關(guān)，所以x1x20, 又1 100 ，x2x30.011故上述齊次線性方程組有非零解, 即 12 ,23 ,31 線性相關(guān) .類似可得 (B), (C), (D)中的向量組都是線性無關(guān)的 .211100(8) 設(shè)矩陣 A121 ,B010 ,則A與B112000(A)合同 , 且相似 .(B)合同 ,但不相似 .(C)不合同 , 但相似 .(D) 既不合同 , 又不相似 .B【詳解】由 |EA |0 得 A 的特征值為 0, 3, 3,而 B 的特征值為 0, 1, 1,從而 A 與 B 不相似 .又 r(A)=r(B)=2,且 A、B 有相同的正慣性指數(shù),因此

10、A與 B合同. 故選(B).(9)某人向同一目標獨立重復(fù)射擊,每次射擊命中目標的概率為p(0<p<1),則此人第 4次射擊恰好第 2次命中目標的概率為(A)3 p(1p) 2 (B)6 p(1p)2.(C)3p 2 (1p)2 (D)6 p2 (1p) 2 C 【詳解】“第 4次射擊恰好第2 次命中 ”表示 4 次射擊中第4 次命中目標 , 前 3 次射擊中有 1 次命中目標 , 由獨立重復(fù)性知所求概率為：C 31 p2 (1p) 2. 故選(C).(10) 設(shè)隨機變量 (, )服從二維正態(tài)分布，且 與 不相關(guān)， f X ( x) fY ( y) 分別表示 ， 的概率密度，則在 y

11、 的條件下， 的條件概率密度f X |Y ( x | y) 為(A)f X ( x) (B)fY ( y) (C ) f X ( x) fY ( y) .(D)f X ( x) AfY ( y)【詳解】 因(,)服從二維正態(tài)分布，且與不相關(guān)，故 與相互獨立，于是f X |Y (x | y) =f X ( x) .因此選 (A) .二、填空題 ： (1116 小題，每小題4 分，共24 分 . 把答案填在題中橫線上 )21111(11)x3exdx =e2 .123 /10【分析】 先作變量代換，再分部積分。11t11121x3 t(1)dt1tdt =1tt 11te2 .【詳解】3 ex d

12、x2 t et21 te1 tdete11 e dt21x12222(12)設(shè) f(u,v)為二元可微函數(shù)， zf (x y , y x ) ，則z = f1yxy 1f2 yx ln y.z = f1x【詳解】 利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)公式，有yx y 1f 2y x lny.x(13)二 階常 系數(shù) 非齊次 線 性 微 分方 程 y4y3y2e2 x 的 通 解為 y C1exC 2e3 x2e2x . 其中C1, C 2 為任意常數(shù) .【詳解】 特征方程為24 30，解得11, 23. 可見對應(yīng)齊次線性微分方程y 4 y 3y 0的通解為yC1exC2 e3 x.設(shè)非齊次線性微分方程y4 y3

13、y2e2 x 的特解為y*ke2x ，代入非齊次方程可得k= - 2. 故通解為y C1exC2e3x2e2 x.(14)設(shè)曲面: x，則(x | y |)dS =43.y z 13【詳解】 由于曲面關(guān)于平面 x=0對稱，因此xdS =0. 又曲面: x yz 1具有輪換對稱性，于是( x | y |)dS =| y |dS =| x |dS =| z |dS = 1(| x | | y | | z |)dS3=1dS134338=3.230100(15) 設(shè)矩陣 A0010,則 A3 的秩為 1.000100000001【詳解】 依矩陣乘法直接計算得A 30000)=1.000,故 r( A

14、300000(16) 在區(qū)間 (0, 1)中隨機地取兩個數(shù) ,則兩數(shù)之差的絕對值小于1 的概率為 324【詳解】 這是一個幾何概型, 設(shè) x, y 為所取的兩個數(shù) , 則樣本空間( x, y) | 0 x, y1, 記A( x, y) | (x, y),| xy |1 .24/10S A334, S分別表示 A 與的面積 .故P( A)1，其中 SAS4三、解答題 ： (1724 小題，共86 分 . )(17) (本題滿分 11 分)求函數(shù) f ( x, y)x22 y2x2 y2 在區(qū)域 D ( x, y) x2y24, y 0 上的最大值和最小值。【分析】由于 D 為閉區(qū)域，在開區(qū)域內(nèi)按

15、無條件極值分析，而在邊界上按條件極值討論即可。【詳解】因為f x ( x, y)2x2xy 2， fy ( x, y)4 y2x2 y，解方程：fx2x2xy 20,得開區(qū)域內(nèi)的可能極值點為 (2,1) .f y4 y2x2 y0其對應(yīng)函數(shù)值為f (2,1)2.又當 y=0時， f ( x, y)x2 在2x2 上的最大值為4，最小值為 0.當 x2y24, y0,2x2 ，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)F ( x, y, ) x22 y2x2 y2(x2y24)Fx2x2xy22x0,5 ,3)，其對應(yīng)函數(shù)值為解方程組Fy4 y2x2 y2y0, 得可能極值點： (0,2),(Fx2y240,22f (0

16、, 2)8, f (5 ,3 )7 .224比較函數(shù)值 2,0, 4,8,7 ，知 f(x, y)在區(qū)域 D 上的最大值為8，最小值為 0.4(18) (本題滿分 10 分)計算曲面積分Ixzdydz2zydzdx 3xydxdy,其中為曲面 z 1 x2y2(0 z 1) 的上側(cè)。4【分析】 本題曲面 不封閉，可考慮先添加一平面域使其封閉，在封閉曲面所圍成的區(qū)域內(nèi)用高斯公式，而在添加的平面域上直接投影即可。22y【詳解】補充曲面：1 : x1,z0 ，取下側(cè) . 則Ixzdydz2zydzdx3xydxdyxzdydz2zydzdx3xydxdy11=(z2z)dxdydz3xydxdyD5

17、/10其中為 與1 所圍成的空間區(qū)域，D 為平面區(qū)域 x2y21.4由于區(qū)域 D 關(guān)于 x 軸對稱，因此3xydxdy0. 又D112(1 z)dz.( z 2z)dxdydz 3 zdxdy= 3zdz dxdy 3z00Dz其中 D z : x2y21 z .4(19) (本題滿分 11 分 )設(shè)函數(shù) f(x), g(x)在 a, b 上連續(xù)，在 (a, b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，f(a)=g(a), f(b)=g(b), 證明：存在(a, b) ，使得f ( )g ( ).【分析】需要證明的結(jié)論與導(dǎo)數(shù)有關(guān)，自然聯(lián)想到用微分中值定理。事實上，若令F (x)f ( x)g( x)

18、 ，則問題轉(zhuǎn)化為證明F ( )0 , 只需對 F (x) 用羅爾定理，關(guān)鍵是找到F ( x) 的端點函數(shù)值相等的區(qū)間(特別是兩個一階導(dǎo)數(shù)同時為零的點)，而利用 F(a)=F(b)=0, 若能再找一點c(a,b) ，使得 F (c)0，則在區(qū)間 a, c, c,b上兩次利用羅爾定理有一階導(dǎo)函數(shù)相等的兩點，再對F ( x) 用羅爾定理即可。【證明】構(gòu)造輔助函數(shù)F (x)f (x)g( x) ，由題設(shè)有F(a)=F(b)=0. 又 f(x), g(x)在(a, b)內(nèi)具有相等的最大值 , 不妨設(shè)存在x1x 2 , x1 , x 2(a,b) 使得f (x1)Mmax f (x), g (x2 )Mm

19、ax g ( x) ， a, b a ,b若 x1x2 ，令 cx1 , 則 F (c)0.若 x1x2 ，因 F ( x1 )f ( x1 )g(x1)0, F (x2 )f ( x2 )g ( x2 )0 ，從而存在c x1 , x2 (a, b) ，使 F (c)0.在區(qū)間 a, c, c, b 上分別利用羅爾定理知，存在1( a,c), 2(c,b) ，使得F(1)F(2)0.再對 F ( x) 在區(qū)間 1, 2 上應(yīng)用羅爾定理，知存在( 1 , 2 )( a, b) ，有F ( )0 ， 即f ( )g ( ).(20) (本題滿分 10 分 )設(shè)冪級數(shù)an xn 在 (, ) 內(nèi)收

20、斂，其和函數(shù)y(x)滿足n 06/10y2xy4 y0, y(0)0, y (0)1.(I) 證明：an 2n 1an , n1,2, ;2L(II) 求 y(x)的表達式 .【分析】先將和函數(shù)求一階、二階導(dǎo)，再代入微分方程，引出系數(shù)之間的遞推關(guān)系。【詳解】(I)記 y(x)=an xn , 則 ynan xn 1 , yn(n 1)an xn 2 , 代入微分方程 y 2xy 4y 0,n 0n 1n 2有n(n 1)an xn 22 nan xn4 an xn0,n 2n 1n0即(n 2)( n 1)an 2 xn2 nan xn4 an xn0,n 0n 0n 0故有(n2)( n1)

21、an 22nan4an0,即an22an , n1,2,L;n12 an , 有(II) 由 初 始 條 件 y(0)0, y (0)1 知 ， a00, a1 1.于 是 根 據(jù) 遞 推 關(guān) 系 式 an 21n1a2 n0,a2 n 1.故n!y(x)=an xn =a2nx2 n 11x2n 1 = x1(x2 ) nxex2.n0n 0n 0 n!n 0 n!(21) (本題滿分 11 分 ) 設(shè)線性方程組x1x2x30,x12 x2ax30,x14x2a 2 x30與方程x1 2x2 x3a1有公共解，求a 的值及所有公共解【分析】兩個方程有公共解就是 與 聯(lián)立起來的非齊次線性方程組

22、有解.【詳解】 將 與 聯(lián)立得非齊次線性方程組 :x1x2x30,x12x2ax30,x14x2a2 x30,x12x2x3a 1.若此非齊次線性方程組有解, 則 與 有公共解 , 且 的解即為所求全部公共解. 對 的增廣矩陣A 作初等行變換得 :7/101110111012a001a 10A4a 2000(a 2)( a 1).10121a 1001 aa 1于是 1°當 a=1 時，有 r ( A)r ( A) =2<3，方程組 有解 , 即 與 有公共解 , 其全部公共解即為 的通解，此時101010100A，此時方程組 為齊次線性方程組，其基礎(chǔ)解系為:0,0000100

23、001所以 與 的全部公共解為k0， k 為任意常數(shù) .12°當 a =2 時，有 r ( A)r (A ) =3，方程組 有唯一解 , 此時10000101A01，故方程組 的解為 :010000(22) (本題滿分 11分 )0x101,即 與 有唯一公共解 : 為 xx21.1x31設(shè)3 階對稱矩陣 的特征值 1 1, 2 2, 32, 1 (1, 1,1)T 是 的屬于1 的一個特征向量,記B A54A3E 其中 E為 3 階單位矩陣 .(I) 驗證 1 是矩陣 的特征向量，并求 B 的全部特征值與特征向量(II) 求矩陣 【分析】 根據(jù)特征值的性質(zhì)可立即得 B 的特征值 ,

24、 然后由 B 也是對稱矩陣可求出其另外兩個線性無關(guān)的特征向量 .【詳解】 (I) 由 A 11得A21A1 1,進一步A 311 ,A故B1 (A54 A 3E)51，11A 51 4A311141121，從而1 是矩陣 的屬于特征值 - 2 的特征向量 .因B A54 A3E,及的3個特征值 1 1,22, 32, 得B 的 3 個特征值為12,2 1,3 1.設(shè) 2, 3為 B的屬于 231的兩個線性無關(guān)的特征向量, 又8/10為對稱矩陣，得B 也是對稱矩陣 ,因此1 與2, 3正交, 即T0,T01213所以2 ,3 可取為下列齊次線性方程組兩個線性無關(guān)的解：x11111(1, 1,1) x 20 ,其基礎(chǔ)解系為 : 1,0,故可取 2= 1,3 = 0.x 30101111即 B 的全部特征值的特征向量為:k11 ,k 2 1k 3 0, 其中 k 10 ,是不為零的任意常數(shù), k 2 , k 3 是不101同時為零的任意常數(shù) .1112(II)令P ( 1, 2, 3)= 110, 則 P1BP1，1011211121111得 B P1P1= 11011211101131122111111011=210121101 .3201112110(23) (本題滿分 11 分 )設(shè)二維隨機變量(X, Y)的概率密度為2xy,0 x1,0 y 1,f ( x, y)0,其