1、數分近一周知識點總結本周學習了第二章數列極限。 由于在數學分析中， 變量的取值范圍是限制在實數集合內，我們本章學習的重點便是實數系的基本性質和定理。首先，經過嚴格的證明，引出了具有連續性的實數系，而確界存在定理就是 R 連續性的表述之一非空有上界的數集必有上確界， 非空有下界的數集必有下確界，即非空有界數集的上（下）確界是唯一的。接著，高中學習過的數列在數分課上也被進一步深化無窮大量、 無窮小量、極限等概念的引入， 讓我們知道數列是發散或收斂的。 數列極限有唯一性， 且收斂數列必有界，而有界數列未必收斂。由此展開的系列推論與性質，如夾逼性、保序性和四則運算定理也為我們數列運算和學習收斂準則（單

2、調有界數列必收斂）提供了思路和工具。數學是良好的工具。 應用極限，我們研究了兔群增長率變化情況， 、e、Euler常數的起源，感受了極限的魅力。 接下來學習的閉區間套定理也解決了我們上一章遇到的問題實數集是否可列。 Bolzano-Weierstrass定理是將收斂準則條件改動而得到的 “稍弱的結論”，更重要的是它為我們最終證明 Cauchy 收斂原理提供了強有力的支持。而 Cauchy 原理也說明了實數系的另一個性質完備性?；仡櫛菊拢覀儠l現實數系的完備性等價于實數系的連續性，本章學習的5個實數基本定理也是相互等價的。下面我們以 5 定理互證為例題補充：聚點有界數列的一個收斂子列的極限稱為

3、該數列的聚點，又稱稱極限點，因此Bolzano-Weierstrass定理又稱聚點定理。下面我們用聚點定理代替B-W,是等效的例題：實數系完備性基本定理的循環證明摘要: 循環論證了實數系的 5 個基本定理 , 并最終形成所有完美的論證環 , 體現了數學論證之美 .( 單調有界定理 )任何單調有界數列必定收斂( 閉區間套定理 ）設 an,bn為一閉區間套：1. an , bn an 1 ,bn 1, n1,2,L ,2.lim( bnan ) 0n則存在唯一一點 an , bn , n1,2,L .( 聚點定理 ) 又稱 Bolzano-WEierstrass定理直線上的任一有界無限點集S至少有

4、一個聚點，即在的任意小鄰域內都含有S 中無限多個點（本身可以屬于 S ，也可以不屬于 S ）或表述為：有界數列有至少一個收斂子列。( 柯西收斂準則 )數列 an 收斂的充要條件是：，、0, N N n m N ,恒有 |am -an|<（后者又稱為 柯西（ Cauchy）條件，滿足柯西條件的數列又稱為柯西列，或基本列）( 確界存在原理 ) 非空有上界數集必有上確界 ；非空有下界數集必有下確界 .單調有界定理對其它定理的證明一用單調有界定理證明閉區間套定理證由區間套定義 ,an 為遞增有界數列，依單調有界定理 , an 有極限 ,且有 ann=1,2, L(1)同理 , 遞減有界數列 bn

5、 也有極限 , 并按區間套的條件有lim bnlim an =(2)xx且bn， n=1,2, K(3)聯合 (1) (3)即得 anbn 式 .最后證明滿足的anbn 的是唯一的 , 設數也滿足anbn，n=1,2, L則由 anbn 式有|-|bn - an，n=1,2, L由區間套的條件得|-|lim( bn xan )0 ，故有=二用單調有界定理證明確界原理證我們不妨證明非空有上界的數集S 必有上確界 .1. 欲求一實數使它是非空數集 S 的上確界 . 利用非空有上界的數集 S , 構造一數列使其極限為我們所要求的實數 .選取性質p : 不小于數集S 中的任一數的有理數.將具有性質p

6、的所有有理數排成一個數列n ,并令xn =max1 ,2 ,K,n ,則得單調遞增有上界的數列 xn ;2. 由單調有界定理得,lim xnx, 且對任意的自然數n 有nxn;x03.是數集S 的上確界 . 用反證法. 若有數x0S 使 x0, 取2,由3.一定存在一個有理數N,使n <+,從而N < x0 ,這與N 是數集S 的上界矛盾. 所以對一切xS, 都有x,即是數集S 的上界.任給>0, 若xS, 都有x-, 則存在有理數, 使-<<,即 x-<<.這與3.矛盾,所以存在xS , 使x >-.即是數集 S 的最小上界 .于是 , 我們證

7、明了所需結論 .三 . 用單調有界定理證明柯西收斂準則證"" 若 an 收斂，設lim an na則有對0 ，N0 ，當nN時有ana/ 2任取mn ，則有ama / 2從而anam ama ana 即 an 是 Cauchy 列" " 設 an 是 Cauchy 列(i) 則對0， N10 ，當 n1N1 時有 an1aN1 從而 aN1an1aN1取 N 2n1 ， N 2n2 ， aN 2an2 從而 aN2an2aN2 取 N knk 1 ， N knk ， aN kank 從而 aNkan kaNk即得對k 有 ank 1an，由的任意性有an

8、k 1ankk(ii) 由 Cauchy 列的定義，任取0，則N ，當 m, nN 時有 anam 取 mN1 則 aN 11anaN 11所以 an 為有界序列由 ank an 有 ank 為有界序列由有界單調收斂定理有 an 收斂，設 lim ana0kkk(iii) 下證 lim ana0n因為對0 ，K ，當 kK 時有 anka0 / 2由 an 是 Cauchy 列有當 nnk 時有 anan k / 2所以 ana0 anank + anka0 所以 an 收斂，且 lim ana0n證畢四 . 單調有界定理證明聚點定理證設 S 是以有界無限點集, 則在 S 中選取一個由可數多個

9、互不相同的點組成的數列 an , 顯然數列 an 是有界的 .下面我們從 an 中抽取一個單調子列,從而由單調有界定理該子列收斂 , 最后我們證明該子列的極限值 , 就是有界無限點集 S 的聚點 . 分兩種情況來討論 .1) 如果在 an 的任意一項之后 , 總存在最大的項 ( 因 S 是有界的且 an S , 這是可能的 ). 設a1 后的最大項是 an1 ;an1后的最大項是 an2 且顯然 an2an1;一般地 ,an 后的最大項記為anan ,(k=1,2, ).這樣 , 就得kk 1k到了 an 的 一個單調遞減的子數列 ank ,因為 an 有界 , 根單調有界定理知, ank 收

10、斂 .2) 如果 1) 不成立 . 即從某一項后 , 任何一項都不是最大的 ( 為證明書寫簡單起見 , 不妨設從第一項起 , 每一項都不是最大項 ). 于是 , 取 an1 = a1 ,因 an1 不是最大項 , 所以必存在另一項 an2 > an1 ( n2 >n1 ). 又因為 an 2 也不是最大項 , 所以又有 an3 > an2( n3 > n2 ), 這樣一直下去 , 就得到 an 的一個單調遞增的子列 ank 且有上界 單調有界定理知 , ank 收斂?？傊徽?an 屬于情形 1 ）還是情形 2 ）都可作出 an 的一個單調收斂的子列 .設 lim an

11、 = a , 今證 a 是 S 的聚點 . 對>0, 存在自然數 K , 使得時kkk > K 時，a -< ank<a +,若這時ank 單調遞減,ank 1<a +(k > K )且 ank 1a ,ank 1S 即 a 的領域內含有 S 中異于 a 的點 , 故 a 是 的 S 聚點 .單調遞增時 , 類似可證區間套定理對其它定理的證明一 . 用區間套定理證明數列的柯西收斂準則證必要性設 lim an = A.x由數列極限定義, 對任給的>0, 存在N>0,當m,n> N 時有|am -A|<, |an -A|<,22因而

12、 | am - an | | am -A|+ | an -A|<+ = .22充分性 按假設 , 對任給的>0, 存在 N >0, 使得對一切 nN 有| an - aN |, 即在區間 aN -, aN +內含有 an 中幾乎所有的項 ( 這里及以下 , 為敘述簡單起見 , 我們用“ an 中幾乎所有的項” 表示“ an 中除有限項外的所有項”)據此,令 =1,則存在 N1, 在區間 aN-1 , aN+1 內含有 an 中21212幾乎所有的項 . 記這個區間為 1 ,1 .再令=1 ,則存在 N2(> N) , 在區間 aN-1 , aN+ 1 內含有 an221

13、222222中幾乎所有的項 . 記2 ,2 = aN2- 12 , aN2+12I 1,1,22它也含有 an 中幾乎所有的項 , 且滿足繼續依次令=13,L ,1n , L , 照以上方法得一閉區間列 n , n ,22其中每個區間都含有 an 中幾乎所有的項 , 且滿足n ,n n 1 , n 1 ,n=1,2,L ,n -n10 (n),2n 1即 n ,n 是 區 間 套 ,由區間套定理,存在唯一的一個數n ,n ( n=1,2,L).現在證明就是數列 an 的極限 . 事實上 , 對任給的>0, 存在N>0,使得當 n > N時有 n , n U( ; ).因此在

14、U( ;) 內含有 an 中除有限項外的所有項 , 這就證得 lim an = .x二用區間套定理證明聚點定理證因S為有界點集, 故存在M 0,使得SM,M,記 1, 1= M,M .現將 1 , 1 等分為兩個子區間 , 因 S 為無限點集 , 故兩個子區間至少有一個含有中 S無窮多個點, 記此子區間為2 ,2 , 則 1 ,1 2, 2, 且2 -2=1(1 -1 )=M.2再將 2 , 2 等分為兩個子區間 , 則其中至少有一個子區間含有S 中無窮多個點 ,取出這樣的一個子區間 , 記為 3 ,3, 則2 ,2 3 ,3 ,且3 -3=1 (2 -2)=M.22將此等分子區間的手續無限地

15、進行下去, 得到一個區間列 n ,n ,它滿足n ,n n1 ,n 1 ,n=1,2,L,n -n = Mn20(n),2即n ,n 是區間套 , 且其中每一個閉區間都含有 S 中無窮多個點 .由區間套定理 , 存在唯一的一點n ,n , n=1,2,L. 于是對任給的>0, 存在 N >0 , 當 n > N 時有 n ,n U(;). 從而 U(;)內含有 S中無窮多個點 ,為 S 的一個聚點 .三 . 用區間套定理證明確界原理證僅證明非空有上界的數集S 必有上確界 .1. 要找一數 , 使其是數集 S 上的上確界 . 是 S 的上確界就要滿足上確界定義中的兩個條件 :

16、大于的數不在 S 中,的任何領域內有 S 中的點 .這兩條即為性質p .如果在閉區 a , b 間中 , 則閉區間應有性質 a , b : 任何小 a 于的數不在 S中, a , b 中至少含有 S 中的一個點 , 該性質即為 p* . 取 S 的上界為 b , 且 bS , 取 a S , 則閉區間有性質 p* ;2. 將閉區間 a , b 等分為兩個閉區間 , 則至少有一個閉區間 a1 , b1 也有性質 p* . 如此繼續得一閉區間列 , 滿足a , b a1 , b1 K an , bn L ;lim( bnan ) = lim1n (ba) =0xx23.由閉區間套定理得屬于所有的閉

17、區間 n,n=1,2,L ,并且每個an , b閉區間 an , bn 有性質 p* ;4.因為 anbn , n=1,2,L, 且 lim( bnan ) =0, 故xlim an=lim bn = ,xx由于對x S , 有 xbn , 從而 xlim bn =; 又對>0, 總存在 N ,x使得 -<aN , 故存在 x0S I aN , bN ,于是 x0aN > -. 因而=sup S .四用區間套定理證明單調有界定理證設 xn 是單調有界數列 ,不妨設其為單調遞增且有上界b1 , 現在來構造以個閉區間套 .在 xn 中任取一項記作a1 , 這時 a1 < b

18、1于是 , 以 a1 , b1 為端點的閉區間 a1 , b1 內一定含有數列 xn 中的無限多項 , 將區間 a1 , b1 二等分 , 得閉區間a1 , a12b1 ,a1 b1 , b1 .2由于 xna1b1 和 a1 b1 ， 1n 單調遞增，故 a1 ,2b 中只有一個包含 x 2的無限多項，記該區間為 a2 ,b2 . 再將 a2 , b2 二等分，在所得區間中只有一個包含 xn 的無限多項，記該區間為 a3 ,b3 , 如此繼續，得一閉區間列：a1 , b1 ，a2 ,b2 ， an ,bn ，滿足an1 ,bn 1 an ,bn ,(n =1,2,);lim( bnan )

19、=0n故 an , bn n 1 是一 個閉 區間 套 ,由閉區 間套 定理, 存在唯一 實數使得an ,bn (n =1,2,).現在證明因lim xn =.因 lim( bnan )=0, 故對>0存在自然數N , 當nnn > N 時, bn - an <另外, 由于n > N時, 有an,bn包含遞增數列 xn 的 無限多項,所以必存在N,當anbn ,取 N =maxN , N, 當 n > N時有 xn - <bn - an < ,此即 lim xn = .n柯西收斂準則對其它定理的證明一 . 用柯西數列的收斂準則證明確界原理證設為 S 非

20、空有上界數集 . 由實數的阿基米德性 , 對任何正數, 存在整數k, 使得 = k為S的上界,而-=( k -1)不是 S 的上界 , 即存在1S, 使得1>( k-1).分別取=1 ， n =1,2, K , 則對每一個正整數 n , 存在相應的n , 使得nn 為 S 的上界 , 而 n -1 不是 S的上界, 故存在1S, 使得n1 > n - 1 .(1)n1;同理又對正整數 m ,m 是 S 的上界 , 故有 m1. 結合(1)式得 n -m <n有 n - m < 1 . 從而得 m|m -n |<max(1 , 1mn).于是 , 對任給的>0

21、 ,存在N>0,使得當m ,n > N時有|m -n |<.由柯西收斂準則 , 數列 n 收斂 . 記lim n =(2)x現在證明就是 S 的上確界 . 首先 , 對任何 aS 和正整數 n 有 an , 由(2)式得 a, 即是 S 的一個上確界 . 其次 , 對任何>0, 由10( n) 及n(2) 式 , 對充分大的 n 同時有1 <,n >-.n22又因 n - 1 不是 S 的上界 , 故存在S,使得> n - 1 . 結合上式得nn> n -=- .這說明 為 S 的上確界 .22同理可證 : 若 S 為非空有下界數集 , 則必存在

22、下確界 .二 . 用柯西收斂準則證明聚點定理證 1.取 a 為 S 的下界 , 對任意固定的自然數n ，存在自然數 kn ,使 xn = a + knn滿足：1 ） S I (xn , ) 至多為有限點集；2） S I (xn1 ,) 為無限點集 .n1 < xm ,2由 1. 對任意的自然數 n , m ,xn這是因為，若存在n, m 使1nxnxm , 則n1 ,S I ( xn)S I (xm,)這與 1），2）矛盾 . 從而n|xn - xm| max 1 ,1 nm因此 nx 滿足柯西收斂準則；3由柯西收斂準則得，= lim xn ;x4對>0,由于lim( xn1,所以

23、存在0使得) =nxnxn0 ,xn0- 1( -,+),n0從S I (xn01 ,)S I (,) ,n0有2）得SI(,) 是無限點集；又S I (, )S I ( xn0 ,) ,由1）得SI(,) 至多是有限點集 . 因此SI( -, +),是無限點集 , 即 是 S的聚點 .三 . 用柯西收斂準則證明閉區間套定理證不 妨 設 an ,bn 是一列閉區間,滿足如下兩個條件:1) an 1, bn1 an , bn ，n1,2,L ,2)設 lim( bnan )0 .則n0amanbn an0(n) , 所以數列 an 是一基本數列 . 從而由柯西收斂準則得 : lim anlim

24、bn lim( bnanan )lim( bnan ) lim an.nnnnn由于數列 an 單調增加 , 數列 bn 單調減少 , 可知是屬于所有閉區間 an ,bn ( n 1,2,L ) 的唯一實數 , 從而區間套定理得證 . 下面證明閉區間套的公共點是唯一的若()也屬于所有的閉區間 an ,bn , 則 0ba, 當nnn時 ,lim( bnan )0 , 這與閉區間套的條件矛盾, 即區間套的n公共點是唯一的 .四 . 用柯西收斂準則證明單調有界定理證設 an為一遞增且有上界M的數列用反證法（借助柯西準則）可以證明：倘若 an無極限，則可找到一個子列 an k 以為廣義極限，從而與

25、an 有上界相矛盾現在來構造這樣的 an k 對于單調數列 an ，柯西條件可改述為： “0, NN + , 當 nN 時，滿足 | anaN|”這是因為它同時保證了對一切nmN ，恒有| anam | | anaN |倘若 an 不收斂，由上述柯西條件的否定陳述：0 0，對一切 NN ，n N ，使| anaN | anaN0 依次取N11, n1N1, 使 an a10；1N 2n1, n2N 2 , 使 anan0；21L LN knk 1, nkN k, 使 anan0.kk 1把它們相加 , 得到anka1k 0 故當 kMa1 時，可使 ankM ，矛盾所以單調有界數列 an 必定

26、有極限0確界原理對其它定理的證明一 . 用確界原理證明柯西收斂準則證必要性是常規證法 , 故從略 . 只證充分性 .1 構造非空有界數集 S , 因為欲證明數列 xn 收斂，故數集 S 必須含有數列 xn 中的無限多個數 , 為此，令S = x |(-,x ) I xn 是空集或有限點集 ;2 由于滿足柯西收斂準則充分條件的數列是有界的, 故知數列 xn 的下界a S , 上界 b 也是 S 的上界 . 所以 S 是非空有上界的數集 . 由確界原理數集 S 有上確界 =sup S ;3 對>0, (-,) I xn 是無限點集 , 否則 , 就與=sup S.矛盾.因(-, +) I x

27、n 至多含有 xn 的有限多個點 . 故 (- , +) 含有 xn的無限多個點 .設 xnk( - , + ),k= 1,2, K , 且 n1 < n2<K.取N1 =maxN, n1 ,則當 n> N1 時 , 總存在 nk > N1 使|xn - | xn - xnk | + | xnk - |<2因此 lim xn =x.二 .用確界原理證明閉區間套定理證存在唯一的實數使得an ,bn (n =1,2,)令 S = xn 顯然 S 非空且有上界 ( 任一 bn 都是其上界 ) 據確界原理 , S 有上確界 . 設 sup S =現在證明 屬于每個閉區間a

28、n ,n(n=1,2, )顯 然ban(n =1,2,),所以只需證明對一切自然數n , 都有bn .實事上 ,對一切自然數 n ， bn 都是 S 的上界 ,而上確界是上界中的最小者, 因此必有bn , 故證明了存在一實數使得 an , bn (n =1,2, ).三 . 用確界原理證明聚點定理證設 S 為有界無限點集。構造數集E x E中大于 x的點有無窮多個 . 易見數集 E 非空有上界 , 由確界原理 , E 有上確界 . 設sup E . 則對0 ,由不是 E的上界 ,E 中大于的點有無窮多個 ; 由是 E的上界 ,E 中大于的點僅有有限個 . 于是 , 在 (,)內有 E的無窮多個

29、點 , 即 是 E 的一個聚點 .四 . 用確界原理證明單調有界定理證設 xn 單調上升 ,即 x1x2x3 LxnL有上界 ,即 M ,使得 xnM .考慮集合Exn n,它非空 有界推出它有上確界,記為asup xn .我N,nN們驗證 alim xn .n0,由上確界的性質 ,N ,使得 axN ,當 nN 時 ,由序列單調上升得 axNxn , 再由上確界定義 , xnaa,有 axna,即xna,也就是說 lim xnasup x .nnn N同理可證若 x 單調下降有下界 也存在極限,且lim xinf xn .n,nnnN若集合 E 無上界 ,記作 sup E；若集合 E 無下界

30、 ,記作 inf E,這樣一來,由于單調上升（下降） 有上界（下界）的序列 xn ,必有極限 sup x(inf xn ) 的nn Nx N定理現在有了嚴格的理論基礎了.且對單調上升（下降）序列 xn ,總有. lim xnsup xn (inf xn )nx Nn N證閉 .聚點定理對其它定理的證明一 . 用聚點定理證明區間套定理證設 S = an U bn .則 S 是有界無限點集 . 由聚點定理得數集 S 聚點 .若存在一個N,n> aN>( n=1,2, L ).再取=1 (aN- ),由na使 b2a 的單調性 , 當 n>N時, an >aN >+ .

31、這樣,(-,+ )內至多有 S中的有限多個點 . 這與 是聚點矛盾 , 于是得到an ( n=1,2,L).同理可證 ,( n=1,2,L). 因此,有I an ,bn .n1唯一性的證明從略 .二 . 用聚點定理證明柯西收斂準則證設xn 是一 列 柯西列，則知 xn 是有界的 . 若 xn 中只有有限 多個項不相同 , 那么必有一項譬如 xn0出現無限多次 ,這時 就得到 xn 的一個收斂的子列 xnk .又因為 xn 是柯西列，故對>0，存在自然數 N ,當n >m > N 時 xn - xm< .特別地 ,當 n > N , k > N 時由于 nk &g