1、乘法公式的復習總結(題型擴展 )乘法公式的復習一、復習 :(a+b)(a-b)=a 2-b 2(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b3(a-b)(a2+ab+b2)=a 3 b3歸納小結公式的變式，準確靈活運用公式： 位置變化， xyy xx2y22 y2x 2y2 符號變化，xyxyx 指數變化， x2y2x2y2x4y4 系數變化， 2a b2a b224ab 換式變化， xyzmxyzmxy22z mx2y2z m z mx2y2z2zm zm2y222xz2zm m 增項變化， x yzxy z2mx22yzz2

2、xy x yx2xyxyy 2z222xyy22xzx2 y2 連用公式變化， xyxyx22x22yyx4y4 逆用公式變化， xyz 2xy z 2x y z x y z x y z x y zxyz2224xy4xz例 1已知 ab2 ， ab1，求 a 2b2的值。解： (a b) 2a 22abb2 a 2b 2 = (ab) 22ab a b 2， ab 1 a2b 2 = 222 1 2例 2已知 ab8 ， ab2 ，求 ( ab) 2 的值。解： ( a b) 2a 22abb2(ab)2a 22abb 2 (a b) 2(a b)24ab ( ab)24ab= (a b)

3、2 a b 8， ab 2 (a b)28242562例 3：計算 1999 -2000 × 1998解析此題中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。解： 19992-2000 × 1998=1999 2- （1999+1）×（ 1999-1 ）=19992- （ 19992 -1 2） =19992-1999 2+1 =1例 4：已知 a+b=2，ab=1，求 a2+b2 和 (a-b) 2 的值。1/16乘法公式的復習總結(題型擴展 )解析此題可用完全平方公式的變形得解。222解： a +b =(a+b) -2ab=4-2=2（a

4、-b) 2=(a+b) 2-4ab=4-4=0例 5：已知 x-y=2 ，y-z=2 ， x+z=14。求 x2-z 2 的值。解析此題若想根據現有條件求出 x、y、z 的值，比較麻煩，考慮到 x2-z 2 是由x+z 和 x-z 的積得來的，所以只要求出x-z 的值即可。解：因為 x-y=2 ，y-z=2 ，將兩式相加得x-z=4 ，所以 x2 -z 2=（x+z）(x-z)=14 ×4=56。例 6：判斷（ 2+1）（22+1）（ 24+1）（ 22048+1）+1 的個位數字是幾？解析此題直接計算是不可能計算出一個數字的答案，故有一定的規律可循。觀察到 1=（2-1 ）和上式可

5、構成循環平方差。242048解：（2+1）（2 +1）（2 +1）（ 2+1） +1=2=1640961024因為當一個數的個位數字是6 的時候，這個數的任意正整數冪的個位數字都是6，所以上式的個位數字必為 6。例 7運用公式簡便計算（1）1032（ 2） 1982222210000 600 910609解：（1）103100 3100210033（2）1982200 222002220022240000 800 439204例 8計算（ ） a4b c a b c（ 2）3x yx y2134 32 3解：（ ）原式a3c4bacbac222213434ba6ac 9c（2）原式x yxyx

6、2y24y 4 9x2y24y 432 32 9例 9解下列各式（1）已知a22，求2 ， a b 2 的值。b13ab 6a b（2）已知a b 2，2，求22，ab的值。7a b4ab216b（3）已知 a a1a222ab 的值。b2，求 a b2（4）已知 x13 ，求 x414 的值。x222x22分析：在公式 a b和 ab 分別看作是一個整體，ab2ab 中，如果把 a b， ab則公式中有三個未知數，知道了兩個就可以求出第三個。解：（ 1）a22，b13ab 6a b 2 a2b2 2ab 13 2 6 25a b 2a2b2 2ab 13 2 6 1（ ） a b27， a

7、b242a227222ab ba2ab b 4 得2a22，即 a2b211b112 得 4 ab 3，即 ab342/16乘法公式的復習總結(題型擴展 )（3）由 a a 1a2 b 2得 a b 2221 a2b22ab1a b122a bab222222（ 4）由 x1，得 x19即 x212 9x213x22 11xxxx21121即 x4 12121x41119x2x4x4例 10四個連續自然數的乘積加上1，一定是平方數嗎？為什么？分析：由于 12 3 4212552 34511211123 4561361192得猜想：任意四個連續自然數的乘積加上1，都是平方數。解：設n， n1，n

8、，n3是四個連續自然數2222則 n n 1 n 2n 3 1n n 3 n 1n 2 1n3n 2 n 3n 1 n 是整數，n2 3n n2 3n 2 1n2 3n 1 2n 2， 3n 都是整數n 231一定是整數n2n3n 1 是一個平方數四個連續整數的積與1 的和必是一個完全平方數。例 11計算（1） x2x 12（2） 3m n p 2解：（1） x2x1 2x22x 2122 x 2x2 x2 1 2x 1 x4x2 1 2x3 2x2 2x4233221xxxx（ ）m n p 23m22p22 3mn 2 3mp2 n2226mn 6mp 2np2 3np 9m n p分析：

9、兩數和的平方的推廣a b c2a bc2a b22 a2222ac2bc2b c ca2ab bca2 b2 c2 2ab 2bc 2ac即 a b c 2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac幾個數的和的平方，等于它們的平方和加上每兩個數的積的2 倍。二、乘法公式的用法( 一) 、套用 : 這是最初的公式運用階段，在這個環節中，應弄清乘法公式的來龍去脈，準確地掌握其特征，為辨認和運用公式打下基礎，同時能提高學生的觀察能力。22例 1.計算：5x 23y 25x 23y 2解：原式5x 23y225x 49 y4( 二) 、連用 : 連續使用同一公式或連用兩個以上公式解題。例 2. 計算：

10、1a a1 a21 a41解：原式 1a21a2 1a 41 a4 1 a41 a8例 3. 計算： 3x 2y 5z 1 3x 2y 5z 13/16乘法公式的復習總結(題型擴展 )解：原式2y5z3x 12 y5z3x 12 y23x25z14 y29x225z220 yz6x1三、逆用 : 學習公式不能只會正向運用，有時還需要將公式左、右兩邊交換位置，得出公式的逆向形式，并運用其解決問題。例 4.計算： 57825782abcabc解：原式5a7b8c5a7b8c5a7b8c5a7b8c10a 14b16c140ab160ac四、變用 : 題目變形后運用公式解題。例 5.計算： xy2z

11、xy6z解：原式xy2z4zxy2z4zxy222z4zx2y212z22xy4xz4yz五、活用 : 把公式本身適當變形后再用于解題。這里以完全平方公式為例，經過變形或重新組合，可得如下幾個比較有用的派生公式：1. a22aba 2b2b2.a22aba2b2b3.a2a22 a2b2bb4.a2a24abbb靈活運用這些公式， 往往可以處理一些特殊的計算問題，培養綜合運用知識的能力。例 6. 已知 ab4， ab5，求 a2b2 的值。解： a2b2ab2ab4225262例 7.計算： abcd 2bc da 2解：原式bca2bc2da d2b2a2cd2a22b22c22d 24bc

12、4ad例 8.已知實數 x、 y、 z 滿足 xy5， z2xyy9 ，那么 x2y3z（）4/16乘法公式的復習總結(題型擴展 )解：由兩個完全平方公式得：122aba ba b4從而 z2 152x2y 9y41 5252 yy9244y26y9y26y9y23 z2y 320 z 0，y 3 x 2 x2 y3z22308三、學習乘法公式應注意的問題（一）、注意掌握公式的特征，認清公式中的“兩數”例 1 計算 (-2 x2-5)(2 x2-5)分析：本題兩個因式中“-5 ”相同，“ 2x2”符號相反，因而“ -5 ”是公式 ( a+b)( a- b)= a2- b2 中的 a，而“ 2x

13、2”則是公式中的 b解：原式 =(-5-2 x2)(-5+2 x2)=(-5)2-(2 x2) 2=25-4 x4例 2 計算 (- a2+4b) 2分析：運用公式 ( a+b) 2 =a2+2ab+b2 時，“ - a2”就是公式中的a，“ 4b”就是公式中的 b；若將題目變形為 (4 b- a2) 2 時，則“4b”是公式中的 a，而“a2”就是公式中的 b（解略）（二）、注意為使用公式創造條件例 3 計算 (2 x+y- z+5)(2 x- y+z+5) 分析：粗看不能運用公式計算，但注意觀察，兩個因式中的“2x”、“ 5”兩項同號，“ y”、“z”兩項異號，因而，可運用添括號的技巧使原

14、式變形為符合平方差公式的形式解：原式 =(2 x+5)+( y- z) (2 x+5)-( y- z) =(2x+5) 2-( y- z) 2=4x2+20x+25- y+2yz - z2例 4 計算 ( a-1) 2( a2+a+1) 2( a6+a3 +1) 2分析：若先用完全平方公式展開，運算十分繁冗，但注意逆用冪的運算法則，則可利用乘法公式，使運算簡便解：原式 =( a-1)( a2+a+1)( a6+a3+1) 2=(a3-1)(a6 a32+ +1)=(a9-1) 2 =a18-2 a9+15/16乘法公式的復習總結(題型擴展 )例 5 計算 (2+1)(2 2+1)(2 4+1)

15、(2 8 +1) 分析：此題乍看無公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一項（2-1 ），則可運用公式，使問題化繁為簡2+1)(2 4 +1)(2 8+1)解：原式 =(2-1)(2+1)(2=(22-1)(22+1)(24+1)(2 8+1)=(24-1)(24+1)(28+1)= （28-1 ）（ 28+1） =216-1（三）、注意公式的推廣計算多項式的平方，由( a+b) 2=a2+2ab+b2，可推廣得到：( a+b+c) 2=a2+b2 +c2+2ab+2ac+2bc可敘述為：多項式的平方，等于各項的平方和，加上每兩項乘積的2 倍例 6 計算 (2 x+y-3) 2解：原式 =(2x2

16、y22 · x ·y· x·y(-3) + +(-3)+2 2+2 2 (-3)+2=4x2+y2+9+4xy-12 x-6 y（四）、注意公式的變換，靈活運用變形公式例 7 (1) 已知 x+y=10， x3+y3=100，求 x2+y2 的值；(2) 已知： x+2y=7， xy=6，求 ( x-2 y) 2 的值分析：粗看似乎無從下手，但注意到乘法公式的下列變形：x2+y2 =( x+y) 2-2 xy ，x3 y3x y 3-3xyxy，xy2x-y2xy，問題則十分簡單+=(+)x( + )(+)-(x) =4xy· ，解： (1)

17、3y3xy3-3xy(y，將已知條件代入得3+=(+ )+ )100=10 -310xy=30故 x2y2x y2-2xy2×+=(+ )=10 -230=40(2)(x-2y2xy2-8xy2×)=(+2)=7 -86=1例 8 計算 ( a+b+c) 2+( a+b- c) 2+( a- b+c)+( b- a+c) 2分析：直接展開，運算較繁，但注意到由和及差的完全平方公式可變換出( a+b) 2+( a- b) 2=2( a2+b2) ，因而問題容易解決解：原式=(a bc2+(a bc2ca b2+c-(a b2+ )+)-+(-)- )=2(a b)2c2+2c

18、2a b2+( -) =2(a b)2+(a b2+4c2+- )=4a2b2c2+4+4（五）、注意乘法公式的逆運用例 9 計算 ( a-2 b+3c) 2-( a+2b-3 c) 2 分析：若按完全平方公式展開，再相減，運算繁雜，但逆用平方差公式，則能使運算簡便得多解：原式 =( a-2 b+3c)+( a+2b-3 c)(a-2 b+3c)-( a+2b-3 c)=2ab cab ac(-4+6 )=-8+12例 10 計算 (2 a+3b) 2-2(2 a+3b)(5 b-4 a)+(4 a-5 b) 2分析：此題可以利用乘法公式和多項式的乘法展開后計算，但逆用完全平方公式，則運算更為

19、簡便解：原式 =(2 a+3b) 2 +2(2a+3b)(4 a-5 b)+(4 a-5 b) 2=(2 a+3b)+(4 a-5 b) 2=(6 a-2 b) 2 =36a2-24 ab+4b26/16乘法公式的復習總結(題型擴展 )四、怎樣熟練運用公式：（一）、明確公式的結構特征這是正確運用公式的前提， 如平方差公式的結構特征是： 符號左邊是兩個二項式相乘，且在這四項中有兩項完全相同，另兩項是互為相反數； 等號右邊是乘式中兩項的平方差，且是相同項的平方減去相反項的平方 明確了公式的結構特征就能在各種情況下正確運用公式（二）、理解字母的廣泛含義乘法公式中的字母a、 b 可以是具體的數，也可以

20、是單項式或多項式理解了字母含義的廣泛性， 就能在更廣泛的范圍內正確運用公式 如計算（x+2y3z）2，若視 x+2y 為公式中的 a，3z 為 b，則就可用（ a b）2=a22ab+b2 來解了。（三）、熟悉常見的幾種變化有些題目往往與公式的標準形式不相一致或不能直接用公式計算， 此時要根據公式特征，合理調整變化，使其滿足公式特點常見的幾種變化是：x y）（y x）交換x 和y 的位置后即可用平方差公式計1、位置變化 如（3+55335算了2、符號變化 如（ 2m 7n）（2m 7n）變為（ 2m+7n）（ 2m7n）后就可用平方差公式求解了（思考：不變或不這樣變，可以嗎？）3、數字變化如

21、98×102，992，912 等分別變為（1002）（100+2），（1001）2，（90+1）2 后就能夠用乘法公式加以解答了4、系數變化m n）（2mn）變為 2（ 2m n）（ 2mn）后即可用平方差公如（4 +4+424式進行計算了x y z）（xy z）變為（ xy zz）（x y z z）后5、項數變化如（ +3 +23 +6+3 +423+4+2再適當分組就可以用乘法公式來解了（四）、注意公式的靈活運用有些題目往往可用不同的公式來解， 此時要選擇最恰當的公式以使計算更簡便 如計算（ a2+1） 2·（ a21）2，若分別展開后再相乘，則比較繁瑣，若逆用積的乘方

22、法則后再進一步計算，則非常簡便即原式 = （a2+1）（a2 1） 2=（ a41）2=a82a4+1對數學公式只會順向（從左到右）運用是遠遠不夠的，還要注意逆向（從右到左）運用如計算（ 1 12）（1 12）（1 12）（ 1 12 ）（112 ），若分別算出各因式234910的值后再行相乘，不僅計算繁難，而且容易出錯若注意到各因式均為平方差的形式而逆用平方差公式，則可巧解本題即原式=（ 1 1 ）（1+1）（11）（1+ 1 ）×× （11）（1+ 1）22331010= 1× 3× 2× 4×× 9 ×11=

23、 1× 11= 112233101021020有時有些問題不能直接用乘法公式解決， 而要用到乘法公式的變式， 乘法公式的變式主要有： a2 +b2=（a+b） 22ab， a2+b2=（ab）2+2ab 等用這些變式解有關問題常能收到事半功倍之效如已知 m n ， mn 2222，求 mn ， mmnn 的值+=7=18+7/16乘法公式的復習總結(題型擴展 )面對這樣的問題就可用上述變式來解，2222×（），即m n（m n） mn+=+2=7218=49+36=85222mn2×（）m mn n=（ m n）+3=7318=103下列各題，難不倒你吧？！、若

24、a1，求（ ）a2+1，（ ）（a1 ）2的值1+a=51a22a2481632642、求（ 2+1）（2 +1）（ 2 +1）（2 +1）（2 +1）（2 +1）（ 2 +1） +1 的末位數字五、乘法公式應用的五個層次乘法公式： (a b)(a b)=a 2b2， (a ±b)=a 2± 2abb2，(a ±b)(a 2±abb2)=a 3± b3第一層次正用即根據所求式的特征，模仿公式進行直接、簡單的套用例 1計算(2)(2x y)(2x y) (2) 原式 =( y) 2x( y) 2x=y 24x2第二層次逆用，即將這些公式反過來進行

25、逆向使用例 2計算(1)1998 2 1998·399419972 ；解(1) 原式 =19982 2· 1998· 1997 19972 =(1998 1997) 2=1第三層次活用 ：根據待求式的結構特征，探尋規律，連續反復使用乘法公式；有時根據需要創造條件，靈活應用公式8/16乘法公式的復習總結(題型擴展 )例 3 化簡： (2 1)(2 21)(2 4 1)(2 8 1) 1分析直接計算繁瑣易錯， 注意到這四個因式很有規律， 如果再增添一個因式 “ 21”便可連續應用平方差公式，從而問題迎刃而解解原式 =(2 1)(2 1)(2 21)(2 4 1)(2

26、8 1) 1=(2 21)(2 2 1)(2 4 1)(2 81) 1=216例 4 計算： (2x 3y1)( 2x3y5)分析仔細觀察，易見兩個因式的字母部分與平方差公式相近，但常數不符于是可創造條件“拆”數： 1=23，5=23，使用公式巧解解原式 =(2x 3y 32)( 2x3y 32)=(2 3y) (2x 3)(23y) (2x 3)=(2 3y) 2 (2x 3) 2 =9y2 4x2 12x12y 5第四層次變用：解某些問題時， 若能熟練地掌握乘法公式的一些恒等變形式，如 a2 b2=(a b) 22ab， a3b3=(a b) 33ab(a b) 等，則求解十分簡單、明快例

27、 5 已知 ab=9， ab=14，求 2a2 2b2 和 a3 b3 的值解：ab=9， ab=14， 2a2 2b2=2(a b) 2 2ab=2(9 2 2· 14)=106，a3b3=(a b) 33ab(a b)=9 33·14·9=351第五層次綜合后用 ：將 (a b) 2 =a22ab b2 和(a b) 2 =a22abb2 綜合，可得 (a b) 2 (a b) 2=2(a 2b2) ；(a b) 2 (a b) 2=4ab；等，合理地利用這些公式處理某些問題顯得新穎、簡捷例 6 計算： (2x y z 5)(2x yz 5) 解：原式 = 1

28、(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)2- 1(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)244=(2x 5) 2 (y z) 2=4x2 20x25 y2 2yzz2六、正確認識和使用乘法公式1、數形結合的數學思想認識乘法公式：對于學習的兩種（三個）乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b 2、完全平方公式： (a+b) 2=a2+2ab+b2； (a-b) 2=a2-2ab+b 2，可以運用數形結合的數學思想方法來區分它們。假設 a、 b 都是正數，那么可以用以下圖形所示意的面積來認識乘法公式。如圖 1，兩個矩形的面積之和（即陰影部分的面積）為(a+b)(a-b)，通過左右兩

29、圖9/16乘法公式的復習總結(題型擴展 )的對照，即可得到平方差公式 (a+b)(a-b)=a 2 -b 2；圖 2 中的兩個圖陰影部分面積分別為 (a+b) 2 與 (a-b) 2，通過面積的計算方法，即可得到兩個完全平方公式： (a+b) 2=a2 +2ab+b2與 (a-b) 2=a2-2ab+b2。2、乘法公式的使用技巧：提出負號：對于含負號較多的因式， 通常先提出負號， 以避免負號多帶來的麻煩。例1、 運用乘法公式計算：（ 1）(-1+3x)(-1-3x)；（ 2） (-2m-1) 22-(3x) 2=1-9x 2 .解：（1）(-1+3x)(-1-3x)=-(1-3x)-(1+3x

30、)=(1-3x)(1+3x)=1（2） (-2m-1) 2 =-(2m+1)2 =(2m+1)2 = 4m2 +4m+1.改變順序：運用交換律、結合律，調整因式或因式中各項的排列順序，可以使公式的特征更加明顯 .例2、 運用乘法公式計算：1 11a2（ 1）( 3a- 4b )(-4b - 3 );（2）(x-1/2)(x+1/4)(x+1/2)1 11a1111解：（1）( 3a- 4b )(-4b - 3 )=(-4b+ 3a )(-4b - 3a )111112121212=( 4b-3a )(4b + 3a )=( 4b)- (3a)=16b -9a(2) (x-1/2)(x2+1/4

31、)(x+1/2)= (x-1/2) )(x+1/2)(x2+1/4)=(x 2 -1/4) (x2+1/4)= x2 -1/16.逆用公式a2-b 2將冪的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得= (a+b)(a-b) ，10/16乘法公式的復習總結(題型擴展 )逆用積的乘方公式，得anbn=(ab) n, 等等，在解題時常會收到事半功倍的效果。例3、 計算：（1）(x/2+5) 2-(x/2-5)2 ;（ 2）(a-1/2)2 (a 2+1/4) 2 (a+1/2) 2解：（1）(x/2+5) 2-(x/2-5)2=(x/2+5)+(x/2-5) (x/2+5)-(x/2-5)=(

32、x/2+5+x/2-5)( x/2+5-x/2+5)=x· 10=10x.（2） (a-1/2)2(a 2+1/4) 2 (a+1/2) 2=(a-1/2)(a2 +1/4) (a+1/2)2=(a-1/2) (a+1/2) (a2+1/4)2=(a 2-1/4 ) (a 2 +1/4)2=(a 4-1/16 ) 2 =a8-a 4/8+1/256.合理分組：對于只有符號不同的兩個三項式相乘， 一般先將完全相同的項調到各因式的前面，視為一組；符號相反的項放在后面，視為另一組；再依次用平方差公式與完全平方公式進行計算。計算：（1）(x+y+1)(1-x-y);（ 2）(2x+y-z+5

33、)(2x-y+z+5).2-(x+y) 2解：（1） (x+y+1)(1-x-y)=(1+x+y)(1-x-y)= 1+(x+y)1-(x+y)=1=1-(x 2+2xy+y2)= 1-x 2-2xy-y 2.（ 2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)=(2x+5+y-z)(2x+5-y+z)= (2x+5)+(y-z)(2x+5)-(y-z)= (2x+5) 2-(y-z)2 =(4x 2+20x+25)-(y 2 -2yz+z 2)= 4x2 +20x+25-y 2+2yz-z 2 = 4x2-y 2-z 2 +2yz +20x+25 .七、巧用公式做整式乘法整式乘法是初中數學的重要

34、內容，是今后學習的基礎，應用極為廣泛。尤其多項式乘多項式，運算過程復雜，在解答中，要仔細觀察，認真分析題目中各多項式的結構特征，將其適當變化，找出規律，用乘法公式將其展開，運算就顯得簡便易行。一.先分組，再用公式例 1.計算： (abc d)( a b c d )簡析：本題若以多項式乘多項式的方法展開，則顯得非常繁雜。通過觀察，將整式(a b c d ) 運 用加 法交 換律 和結 合律 變形 為 ( bd ) ( a c) ； 將另 一個 整式( a bc d ) 變形為 ( bd )(ac) ，則從其中找出了特點，從而利用平方差公式即可將其展開。解：原式 (bd )( ac)b da c(

35、bd) 2(ac)2b22bdd 2a 22acc2二.先提公因式，再用公式例 2.計算：y4 xy8x42簡析：通過觀察、比較，不難發現，兩個多項式中的x 的系數成倍數， y 的系數也成倍數，而且存在相同的倍數關系，若將第一個多項式中各項提公因數2 出來，變為2 4xy，則可利用乘法公式。411/16乘法公式的復習總結(題型擴展 )解：原式yy2 4x4x4422 y24x432 x 2y28三 .先分項，再用公式例 3.計算： 2 x3y 2 2 x 3y 6簡析：兩個多項中似乎沒多大聯系， 但先從相同未知數的系數著手觀察， 不難發現， x 的系數相同， y 的系數互為相反數，符合乘法公式。進而分析如何將常數進行變化。若將 2 分解成 4 與2 的和，將 6 分解成 4 與 2 的和，再分組，則可應用公式展開。解：原式 = ( 2x4) (2 3y) 2x 42 3y(2x4)2223y4x 216 x 12 1