1、一.知識能力層次(一) .填空題(每空格2分)1. R2中的一組向量 =(2,5)， = (4,10)',生成的子空間設為以 ,%),則其維數為：12. 若% = (3,1,0,1), %=(0，1，0，1-幻，儂衣)是向量空間3的一個基,則V的維數是：23. 設 R3中的一組基為=(1,0,1)， =(1,1,1)', %=(1，0，o )，設 0在這組基 下的坐標為且(1,1,1)則尸為：(3,1,2)"4. 設R2中的一組基為 = (1,1)， = (0,1)',則=2,-3) 在這組基下的坐標為:(2,-5)5. 設 = (2,1, 2)， =(0,3

2、,1)， =(0,0, 2)為 R 一組基貝皿的取值情況為t豐26. 設 R沖向量： =(5, 3,2), % = (0,化 7)',%=(0,0,1)不能構成一組基，則k的取值情況為"O7. 設 IT 的兩組基(1)= (1,0)，,% = (0,1)，,(H):* = (1,0)，腐=(1，1)<1 0)貝U由基到(n)的過渡矩陣為：J8. 設 R2 的兩組基(1)= (1,0)' ,% = (1, 1),(H):旗=(1,1)',河=(1，2)(23 則由基到(n)的過渡矩陣為：IT -9. 設 a =(1,0,-1,2)7 貝U10. 設 a =

3、 (3,1,2,5)',乃=(2,5,4, 3)，則 * 月=迫11.設a =(2,3, 1,2), ” =住,1,5,3)，若。和尸正交，貝快=迓12R"中，向量。和任何向量都正交的充分必要條件為a_= 013口曲 I 2 z 1 已知 oc 14向量 a = (3,-1,2,5丫, 和尸=(2,5,4, 幻 T 的內積為151617設 a =(1,1,1),”=(2,1,0)',則與a, ”都正交的單位向量為：半(1,2,1)J6'2331223323為正交矩陣，則尤 =-3)327、267 為正交矩陣，則 x =-773 7_32f 77-6, 則 k=

4、92 為單位向量，則 *=± 318 為正交矩陣，則 ac +.bd=g19 設 A 為 3 維正交矩陣，則./r(AA r )=320 設 A 為正交矩陣，則|A| =.±1_(二) .選擇題 ( 每小題 2分)1. 設 V 為三維向量空間 , 則 V 的二維向量空間有 (D)A:3 3:8 個個C:16 個O: 無數2.設 r 為向量空間的維 數,t 是該向量空間中向量的維數，則下列對的是： (A) C : r = t。：訝恥無關若% = (3,1,0,3)氣 =(0,1,0,5) 是向量空間 V 的一個基，則 V 的維:數是(A) B:2C:30:44. R2中的兩組

5、基分別為： =(角,但)， = (")', (口)： * =(q,C2)' .崖=(/,%) ，貝如)到(n)的過渡矩陣為(A)A:b?)頃2e、t0 1 0 2 ClC2si 耳？ d d 2>/ ,、TB: ex ai2 >D:hU15. 從 R2 的基 = (1,0)7，以 2 = (1,-1) 過渡矩陣為(C)r 至V基” 1 = (l,lfA = (1,2)'的B:C:(2V-D:172)2>6. R3中的兩組基分別為(1)0,a2, %,():* = av/32 =%+2%月 3 =4%,則由基到(n)的過渡矩陣為(C)(1(11

6、L01±0J1002r102A120B010Cl020D010<00302<00402J050k4?k4?7.R3 中的兩組基分別為(1)0, %, %,(n):* =/ +2% +3%,腐=%,” 3 =%則由基到(n)的過渡矩陣為(D)12< 1 0<1 -2 -<1 0A0、2 0B:0-2 1 0C:010D:°、2 1 00、<-3 ° b1° 0 1J<3 0 1,8. 設名=(1,-2),% =(0,1)7為112的一組基，貝U Q=(- 2,3)7在這組基下的坐標為：(B)A: (-2,3)B:

7、(-2,-1)C:(2,-l)。： (- 2,1)9. 設列向量a.p , /G RT列無意義的是(B).(a T,8 =(x,0,0)，若 a, ”為標準正交向量，貝 (C)10. 設a, 3) =(1,2,% =( 3,2,4,1)，且 1, 貝la=(C)13.設 =(1,2,2)L%=(2,1,-2)',%=(a,2,。)為 R3 中的正交向量組，貝U a,b 的值分別為 (A)11. 設名 =(2,3,1A,:24),B:-4 % =(*,1,5,3), M=(D)C:2 D:-2若 與 正交，貝C:2,l D2,112. 設 aB : x 任意 ,y = 乎D :x=l,

8、y 2A： X任意,y=-手V2C:x= + 1, y = ±2是R"的標準正交基的充要條件是(D )A:-2,-13:2,-1B. 均為單位向量C.線性無關B：3 3-D. (%,%,L ,%) = &221'2 |C:-,-D:-,14. 維列向量 ,%,L315.12為正交矩陣，貝 x,y 分別 (C設33為)_21l3333316. 上三角的正交矩陣必為對角矩陣，且對角線上的元素是（ D ）A. 1 B. -1 C. 0 D. 1或一 117. 下列結論錯誤的是 （B）A:兩正交矩陣的積為正交矩陣3 : 兩正交矩陣的和為正交矩陣C：正交矩陣的逆為正交

9、矩陣單位矩陣為正交矩陣18. 設A,B為正交矩陣，k為非零實數，P為可逆矩陣，貝U （C ）A-.A + B 為正交矩陣3: 屈為正交矩陣C: A3 為正交矩陣D : PA 為正交矩陣19. 設 A 是一個階正交矩陣，則 （A）A. A為可逆矩陣，且A】也是正交矩陣B. A為單位矩陣，且A-】也是單位矩陣C. A為單位矩陣，且也是單位矩陣D. A為單位矩陣，且也是單位矩陣20. 設H為正交矩陣，則（C）A:H =EB：| H| = I C ：D：| H|> O（三）.判斷題 -（每小題 2分）1. 若某線性空間中有無限多個向量，則該空間為無限維線性空間 . （ X）2. 只包含一個元素的

10、集合無法構成線性空間 . （ X）3. R"中任意一組線性無關的向量，都可以是 R1的基.（"）4. R"的子空間的維數必小于n. （ X）5. R"中的任意一組向量都可以生成一個 R"的子空間.（V ）6. R"的子空間以 ,?,%）維數為s. （X）7. 設和嶺都為R"的子空間，貝U V1UM也為R"的子空間.（X）8. 設和嶺都為R"的子空間，則也為R"的子空間.（"）9. 一個向量在不同的基下的坐標一定是不一樣的 . （ X）10. 兩組基之間的過度矩陣一定是可逆矩陣 . （v

11、）11. 線性空間的維數必為正數 . （X）12. R沖的基必為線性無關的向量組.（/ ）13. R"中的兩組基之間的過渡矩陣是唯一的.（V ）14. R"中每個向量都可以單位化.（X）15. 設列向量a, ”，您R',則也為R'中的列向量.（X）16. 給定我 3 的一組基 ,%,%，將其化為我 3 的一組標準正交基用挪 3。則02,是唯一的。 （X）17. 對任意維向量a和們 只有a和”互為正交時，|?+<=|?| 2+|a才成 立。（" ）18. 若。，”正交，則對任意實數 a, b, 向量 aa 和正交. （”）19. 正交矩陣必是滿

12、秩矩陣。（ V ）20. e !=er是階矩陣。為正交矩陣的必要條件。（X）二. 理解能力層次（一） . 填空題（每空格 2 分）1. R4 中的一組向量 = （1,4, 1,3 ）， =（2,1, 3,1 ）， =（0,2,1, 5），生成的子空間設為 ,%,%），則其維數為 ：32. R4中的一組向量 =（2,1,0,-2/, %=（2,l,O,cose ） r,0cR ）生成的子空間設為 L （%, %）, 其維數為 ： 23. 中的一組向量 =（0,1,2 ）'， =（1,3,5 ）'， =（2,1,0 ），, 生成的子空間設為乙（ ,%,%）, 則其維數為： 24.

13、R4 中的一組向量 =（1,2,3,3 ）， , % = （0,1,2,2 “ % =（ 3,2,1, 幻，生成的向量空間的維數為2,則k取值為j.5,線性方程組2也-"+6易=0解空間的維數為：23X2 + 6X3 - 9X4 = 06. 齊次線性方程組*1 + 2勺"-°解空間的維數為：【2 尤 1 + 4X2 一 2X3 = 07. 設R2中的一組基為 =(1,3)， =(3,1),則尸=(2,-2) 在這組基下的坐標為:(-1,1)8. 設 R3 中的一組基為 = (1,1,0)， = (0,1,1)', %=(1,1,1)', 則尸=(3

14、,4,3),在這組基下的坐標為：(1,1,2),9. 設 R3中的一組基為=(1,1,1)， =(1,1,0)', %=(1,0,0)，且尸在這組基下的坐標為(2,2, 1)，則”=(1,0, 2)10. 已知 =(!，: , : ) '，% =(:, !，： ) '，% =(: , ；，!)'是 R 的一組標準正交基，向量” =(2,1,3/在這組基之下的坐標為：(+!，:)'11. 設 % =(1, 1,2,1)，,% =(0,1,1,2)， =(0,0,3,1)'。4 =( :, 1，。'為2的基則的取值范圍為t312. R3 中的

15、兩組基分別為(I) : %, %, %,(n) : ” | =% + %+%, ” 2 =% + %，” 3 =%則1 0 0、(1) :由基到(U)的過渡矩陣為：-1 1 0、0 T J 1 0 0、(2) :由基(U)到(I)的過渡矩陣為：1 1 0 zII 1 J(3):若口關于(I)的坐標為(1, -2, 3), 則a關于(II)的坐標為：(1,-3,5)13. 設 R'的兩組基(I): &= (1,0,0), q = (0,1,0)' S = (0,0, 1)',(n)： * = (1,1,1)',河=(0,2,2), ” 3 = (0,0,3

16、) 1 0 0、貝則 由基 到(n)的過渡矩陣為：1 2 o11 2 3)油基(n)到的過渡矩陣為：J.213:若口關于的坐標為(1,2, 3),貝鸚關于(U)的坐標為：1 , ! ,v14. 1<3 中的兩組基分別為(1)0, %, %,(n) :” =%，” 2 =%+%” 3 =%+%+%若。在基(n)下的坐標為(2, 3, 5),則口關于的坐標為：(10,8,5)15. 設 , %,任為R3的一組基，月在這組基下的坐標為(1,-2, 4),貝U乃在R3的另 外一組基名 +2%, %, %下的坐標為:(1,-4,4) 16.設 =(1,0)', % =(2,1)',

17、 若 a :/3 = 3, aj (3 - 4, 則” =(3,-2)' 17.設 =(1,3, 1), %=(", 2 化 1), 若%與正交，貝I k = 1 o18.設 % = (3,-1,2)0, ± I, ± 2,L,心=(sin0,2,1),若 與 正交，貝 A0 k7i,k -jr19.設 = (3, 1,2), % = (cos2,1)，若 與 正交，貝U。=萬 + =0, ± I, ± 2,L 20.由R2的一組基 =(1,2)， =(3,4)，化成標準正交基為:21. 設和尸為正交的n維列向量，A-a伊，設*22,貝

18、Ur(A*j=Q22. 設A為6維正交矩陣，則?r(AA r)=624.當 x=Q y = Q'cos/30sin001§、0 為正交矩-sin/3000< 0xcos0y)且對角線上的元素是25. A 為階正交矩陣，則1Qk上二角的正交矩陣必為對角矩陣,26. 設A,3均是階正交矩陣，且|人| = 一閣，則|A + B|=O27. 設 a = (-3,4,0 ) ', A 為 3 階正交矩陣，貝 iJ|Aa|=5(二)選擇題(每小題2分1. 下列集合中能構成R"的一個子空間的是(B)+X+XA:V = 工 1，工 2，工 3， 了 4)' I

19、Xi 2 +-y3 4 =1B : V =|(x i,.r 2,.r 3,.r 4)r I xi +x2 + .r 3 +X4 =0C : V = (X, x, .r3, .r 4)' I %+ x, + .r3 + .r 4 =1, x, + .r 4 = 2D:V,x,X3,x 4)r I +2X2 + 3X3 +4X4 = 22. 向量空間R'的基可以取向量組(C)A:(l,l,l),(2,0, 0),(1,-1,-1)3:(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9) C : (I,a,a 2y(l,b,b 2y(l,c,c pa,b,c 互不相等 0:(0,0,2),

20、(0,2,2),(2,2,2),(1,0,0)+ 2X2 - 2X3 + 4X4 = 03. 齊次線性方程組v 3X1-X2 + X3-2X4=0解空間的維數是(C)。%! + 2X2 - x 3 + 2X4 = 0A. 1B.2C.3 D.4x, +2X2 - 2X3+X5 = 04.齊次線性方程組V3也-易+ 了 3-2易=0解空間的維數是_ (B) 0x, +2X2 - x 3 + 2X4 = 0A. 1B.2C.3 D.45. EvE,E3,eaE5 是我 5 的一組標準正交基，而 or ； = £ ?+ -£, a? =ex -e ， +E4 , % = 2q +

21、玲+烏，則的維數是(C)。A. 1B.2C.3 D. 46. %, %, er ; ,%為R"中的向量，且3%+2%-%+4% =0則下列對的是：(C)A L(z p(z2) = L(cr,(z 4)B: L(a 1( a4) = L(? p a3)CLax, a 2, cr,) = L(a2, a3, (z 4)DLav a 2, %) = %(%)7. 設 , %, % 為 R3 的一組基，=%+%腐=%+% 腐=0 +。3 則(C)A:R3QL （” ,腐，腐） B：R3=L （角腐，四）33C： R =L （A, A>AD： R4_ （A, A）& = 3%+%

22、 +%8. 設 , %, %為V的向量組，設向量組<” 2=%+%則（B）” 3 = % + 3% %代L （av %, % QL （"I，” 2,四） B：L （"i ,腐說）乙（ , %, % ）C: £（?! ,%, %）=乙（"1,），腐）。：乙（"1，二，腐）匚乙（ ,%）9. 設 = （1,-2 ）, % = （0,1 ） 為R2的一組基，貝Ua =（a,。）這組基下的坐標為：（B）( 00A%)B：%<、rp -b(0C、D:（）IIL'3 1 2、10. 設矩陣A和B的列向量分別為R'的兩組基，其中A

23、= 0 2 1、0 0 3,'1 0 0、B= 0 2 0 ,則下列結論成立的是：（D）項一1 3 ）A:矩陣4-3的列向量不是If的一組基B :矩陣人+ 3的列向量不是If的一組基C :矩陣4-33的列向量是R3的一組基D：矩陣A- 3的列向量是R3的一組基11. 設R3的一組基為則（A）也可以作為R3一組基代 a i2,cx1+2as, -%+2cr, 2%-6 小 +3。3B :?-2?2+2?3, _2%+4%-%, 0+2%C:2a1+4 （Z2-as, -4%+8%-2%, 3%+%D: （Z1 _2fzo+2（zs, 2%- （z, 3c?j _3fz o+2 （zs12

24、. 設列向量組 ,?,%為R的組基，A為n階可逆方陣，則（D）A : A%, A%,，A%不是R"的向量組3 : A%, A%, . . ., A%線性相關C : A%, A%,. . ., A% 不是 R"的一組基D A%, A%,，A°是 R"的一組基13. 設If的一組基為 ,則(C)不可以作為If 一組基A : ? +%, % +% , % + % 3:%+2%, %+2%, as+2a, C : q_%, %_%, D: ax, %+%, %+%+%14.R3中的兩組基分別為(1):=%+2%,腐=2%句 =3%則由基(U)到(I)的過渡矩陣為

25、:D12<1 0AO、OB:2 2 00、3o >15. A3中的兩組基分別為：%，任,(-1 0、1 0 0C0-0D:-1-0220 0-0 0-LL% ,( ):艮=%+2% +3%, ” 2 二以挪 3=以 3則由基(U)到(I)的過渡矩陣為E12< 1 0<1 -2 -<10A0、0B0-2 1 0C:3、10D:0、2 100、<-3 ° b1° 0 1J<30°3)1；16.設。，Q為R"的列向量，則;:;£ =0是。，Q線性相關的(A)O:即非充要條件也非必要條件A:充要條件3:充分條件

26、C:必要條件17.下列結論正確的有(D)A: 1個 3 : 2 個 C: 3個 O : 4個(1):若。，”正交，則對任意實數a, b,向量aa和奶正交。：若/與口，尸都正交，則對任意實數 a,b, /與向量2+奶正交(3): a-P < a-y + y-/3：若A為反對稱矩陣，且Aa =貝U a與尸正交18.設a為維列向量，A為R階正交矩陣，貝l|A?|= (B)A. 1 B. |a| C. |A| D. 019. 若 A,B 為正交矩陣，則 (B)A:矩AAB,A + B正交3:矩陣A3正交,A + B非正交C:矩陣A+ 3非正交,A3正交O:矩aaB,A + B非正交20. 設 P 為正交矩陣，則 (D)A:P 為不可逆矩陣B:P 為奇異矩陣C:P 為對稱矩陣O：P 的不同行的對應元素的乘積之和為零( 三 ). 判斷題 ( 每小題 2 分1. 實數域R上的mx的全體矩陣所組成的集合也可以構成向量空間.(V)2. 兩個向量組生成相同的子空間的充要條件為這兩組向量組等價 .( V)3. 設?! , ?> am和*,切為R"中兩個向量組，且( ,?,%) = (*,?,*),貝U乙 ( ,.,X)