1、高中數學基本不等式的應用一、考點突破知識點課標要求題型說明基本不等式的應用1. 掌握基本不等式 （a0，b0）；2. 能用基本不等式求解簡單的最大（?。┲祮栴}（指只用一次基本不等式，即可解決的問題）；3. 能用基本不等式求解簡單的最大（小）值問題。選擇題填空題基本不等式是高中數學的重點，也是近幾年高考的熱點。注意應用均值不等式，求函數的最值三個條件缺一不可。二、重難點提示重點：對由基本不等式推導出的命題的理解，以及利用此命題求某些函數的最值。突破重點的關鍵是對基本不等式的理解。難點：理解利用基本不等式求最值時的三個條件“一正、二定、三相等”?？键c：利用基本不等式求最值1. 由兩個重要不等式可推

2、得下面結論：已知，則 如果是定值，那么當且僅當時，取最小值； 如果是定值，那么當且僅當時，取最小值?！疽c詮釋】（1）利用基本不等式求函數的最值時，強調三要素：正數；定值；等號成立的條件。特別式子中等號不成立時，則不能應用重要不等式，而改用函數的單調性求最值。（2）不能僅僅關注基本不等式的形式構造，而應注意統一的整體變換?！竞诵耐黄啤坷弥匾坏仁角蠛瘮档淖钪禃r，定值條件的構造技巧：利用均值不等式求函數的最值應滿足三個條件：即“一正、二定、三相等”?！耙徽?，是指所求最值的各項都是正值?！岸ā?，是指含變量的各項的和或者積必須是常數。“三相等”，是指具備不等式中等號成立的條件，使函數取得最大或

3、最小值。在具體的題目中，“正數” 條件往往從題設條件中獲得解決，“相等”條件也易驗證確定，而要獲得“定值”條件卻常常被設計為一個難點，它需要一定的靈活性和變形技巧，因此“定值”條件決定著基本不等式應用的可行性，這是解題的關鍵。 常用構造定值條件的技巧變換. 加項變換；. 拆項變換；. 統一換元；. 平移后利用基本不等式。 利用基本不等式求最值的實質是：有界并能達到。2. 其他形式：（1）若aR，bR，則a2b22ab，當且僅當ab時等號成立；（2）若a0，b0，則ab，當且僅當ab時等號成立； （3）若a0，b0，則，當且僅當ab時等號成立。3. 恒等變形：為了利用基本不等式，有時對給定的代數

4、式要進行適當變形，比如：（1）當x2時，x（x2）2224。（2）當0x時，x（83x） （3x）（83x）。【隨堂練習】 已知正數a、b滿足abab3，求ab的取值范圍是_。思路分析：思路一：將b代入消元； 思路二：利用基本不等式得關于ab的不等式。答案：法一由abab3，得b，由b0，得0，a0，a1，aba（a1）5259，當且僅當a1，即a3時，取等號，此時b3，ab的取值范圍是9，）。法二：由于a、b為正數，ab2，abab323，即（）2230，3，故ab9，當且僅當ab3時，取等號，ab的取值范圍是9，）。技巧點撥：1. 本題中，要求ab的取值范圍，在使用已知條件等式的方法上靈活

5、多樣，但最終都歸結為基本不等式的應用。2. 利用基本不等式，求字母參數的取值范圍，關鍵是怎樣由等式通過放縮得出不等式。例題1 （基本不等式的變形應用）求y的最大值。思路分析：由2（定值），利用基本不等式的變形：，可求。答案：由，知定義域為x1,1，又1x1x2（定值），y2，當且僅當1x1x即x0時，等號成立。ymax2。技巧點撥：1. 本例中，由于2（定值），因而不宜使用基本不等式，應該使用不等式的變式。2. 對于基本不等式及其變式，在利用這些不等式求最值時，要保證一側為定值，并保證等號成立，要根據已知條件和所求，靈活地選取公式。例題2 （利用基本不等式求函數的最值）（1）已知x2，求yx的

6、最小值；（2）已知0x，求yx（12x）的最大值。思路分析：（1）將原式變形為yx22，再利用基本不等式；（2）將原式變形為y2x（12x），再利用基本不等式。答案：（1）x2，x20，yxx22224， 當且僅當x2 （x2），即x3時，ymin4。（2）0x，12x0，yx（12x）2x（12x）當且僅當2x12x（0x），即x時，ymax。技巧點撥：本例中，對要求最值的函數式，通過適當地變形，使式子變為和為定值或積為定值的式子，然后運用基本不等式求最值?！疽族e警示】多次使用基本不等式時，等號不同時成立致誤忽視最值取得的條件致誤例題 已知a、b均為正實數，且ab1，求y的最小值。易錯分析：在求最值時兩次使用基本不等式，其中的等號不能同時成立，導致最小值不能取到。思路分析：（1）求函數最值問題，可以考慮利用基本不等式，但是利用基本不等式，必須保證“正、定、等”，而且還要符合已知條件。（2）可以考慮利用函數的單調性，但要注意變量的取值范圍。答案：方法一：y當且僅當ab時，y取最小值，最小值為方法二：yab2，令tab，即t，又f（t）t在上是單調遞減的，當t時，f（t）min，此時，ab，當ab時，y有最小值技巧點撥：（1）這類題目感到比較容易下