1、第九章第九章 梁的應(yīng)力梁的應(yīng)力9-1 梁橫截面的正應(yīng)力和正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁橫截面的正應(yīng)力和正應(yīng)力強(qiáng)度條件9-2 梁橫截面的切應(yīng)力和切應(yīng)力強(qiáng)度條件梁橫截面的切應(yīng)力和切應(yīng)力強(qiáng)度條件9-3 薄壁截面梁彎曲切應(yīng)力的進(jìn)一步分析薄壁截面梁彎曲切應(yīng)力的進(jìn)一步分析9-4 提高梁承載能力的措施提高梁承載能力的措施. .純彎曲純彎曲 梁的橫截面上只有彎矩而無剪力的彎曲（橫截面上只有正應(yīng)力而無切應(yīng)力的彎曲）。剪力剪力“Fs”切應(yīng)力切應(yīng)力“t t ”；彎矩彎矩“M”正應(yīng)力正應(yīng)力“s s ”2.2.橫力彎曲（剪切彎曲）橫力彎曲（剪切彎曲）aaFBAFMxFsxFaFF 梁的橫截面上既有彎矩又有剪力的彎曲（橫截面上既有正應(yīng)

2、力又有切應(yīng)力的彎曲）。一、一、 純彎曲和橫力彎曲的概念純彎曲和橫力彎曲的概念9 9-1 -1 梁橫截面的正應(yīng)力和正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁橫截面的正應(yīng)力和正應(yīng)力強(qiáng)度條件二二 、純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力公式、純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力公式（一）變形幾何關(guān)系：（一）變形幾何關(guān)系：由純彎曲的變形規(guī)律縱向線應(yīng)變的變化規(guī)律。1 1、觀察實驗：、觀察實驗：abcdabcdMM2 2、變形規(guī)律：、變形規(guī)律：(2)、橫向線、橫向線：仍為直線，：仍為直線，只是相對轉(zhuǎn)動了一個角度只是相對轉(zhuǎn)動了一個角度且仍與縱向線正交。且仍與縱向線正交。(1)、縱向線、縱向線：由直線變?yōu)椋河芍本€變?yōu)榍€，且靠近上部的纖維曲線，且靠近上部的纖維

3、縮短，靠近下部的纖維伸縮短，靠近下部的纖維伸長。長。3 3、假設(shè)：、假設(shè)：（1 1）彎曲平面假設(shè)：）彎曲平面假設(shè)：梁變形前原為平面的橫截面變形后仍為平梁變形前原為平面的橫截面變形后仍為平面，且仍垂直于變形后的軸線，只是各橫截面繞其上的某軸轉(zhuǎn)面，且仍垂直于變形后的軸線，只是各橫截面繞其上的某軸轉(zhuǎn)動了一個角度。動了一個角度。凹入凹入一側(cè)纖維一側(cè)纖維縮短縮短突出突出一側(cè)纖維一側(cè)纖維伸長伸長 根據(jù)變形的連續(xù)性可知，梁彎曲時從其凹入一側(cè)的縱向線縮短區(qū)到其凸出一側(cè)的縱向線伸長區(qū)，中間必有一層縱向無長度改變的過渡層-稱為中中性層性層 。中間層與橫截面中間層與橫截面的交線的交線中性軸中性軸（2 2）縱向纖維假

4、設(shè)：）縱向纖維假設(shè)：梁是由許多縱向纖維組成的，且各縱向纖維梁是由許多縱向纖維組成的，且各縱向纖維 之間無擠壓。之間無擠壓。 梁的彎曲變形實際上是各截面繞各自的中性軸轉(zhuǎn)梁的彎曲變形實際上是各截面繞各自的中性軸轉(zhuǎn)動了一個角度，等高度的一層纖維的變形完全相同。動了一個角度，等高度的一層纖維的變形完全相同。Aabcd4 4、縱向線應(yīng)變的變化規(guī)律、縱向線應(yīng)變的變化規(guī)律 （縱向線段的變化規(guī)律）（縱向線段的變化規(guī)律）)1( ydxyoo1dddy)(yabcd中性層中性層中中性性層層曲曲率率半半徑徑ABABBA111111OOOOBA橫截面上各點(diǎn)的縱向線應(yīng)變橫截面上各點(diǎn)的縱向線應(yīng)變與它到中性軸的距離成正比與

5、它到中性軸的距離成正比 dy1B1AAabcd4 4、縱向線應(yīng)變的變化規(guī)律、縱向線應(yīng)變的變化規(guī)律 （縱向線段的變化規(guī)律）（縱向線段的變化規(guī)律）(1) . ydxyoo1在彈性范圍內(nèi)，sE（二）物理關(guān)系：（二）物理關(guān)系： (2) . sEyEabcd中性層中性層 由縱向線應(yīng)變的變化規(guī)律 正應(yīng)力的分布規(guī)律。橫截面上各點(diǎn)的正應(yīng)力沿截面高度橫截面上各點(diǎn)的正應(yīng)力沿截面高度按線性規(guī)律變化按線性規(guī)律變化中中性性層層曲曲率率半半徑徑dy1B1A sEyE梁彎曲時橫截面上正應(yīng)力分布圖：梁彎曲時橫截面上正應(yīng)力分布圖：MZymaxmax中性軸的位置？梁變形后中性層的曲率 1 中性層中性層橫截面上各點(diǎn)的正應(yīng)力沿截面高

6、度橫截面上各點(diǎn)的正應(yīng)力沿截面高度按線性規(guī)律變化按線性規(guī)律變化yxMZANdAFs) 1 (AAydAEdAyE（中性軸（中性軸 z 軸為形心軸）軸為形心軸）AydAzMs) 2(AAyzdAEzdAyE（y 、z 軸為形心主軸軸為形心主軸）yzdAs sdAAzdAyMs) 3(AAdAyEydAyE2彎曲變形計算的基本公式彎曲變形計算的基本公式ZEIM1（三）、靜力平衡條件（三）、靜力平衡條件 由橫截面上的彎矩和正應(yīng)力的關(guān)系由橫截面上的彎矩和正應(yīng)力的關(guān)系 正應(yīng)力的計算公式。正應(yīng)力的計算公式。 sEyEM梁橫截面上內(nèi)力已知：MMMFzyN, 0, 000zzSSE00yzyzIIEMIEzzI

7、Mys 純彎曲時梁橫截面上純彎曲時梁橫截面上正應(yīng)力的計算公式。正應(yīng)力的計算公式。 彎矩可代入絕對值，應(yīng)力的符號由變形來判斷。彎矩可代入絕對值，應(yīng)力的符號由變形來判斷。 當(dāng)當(dāng) M 0 時，下拉上壓；時，下拉上壓； 當(dāng)當(dāng) M 5 ），剪力的影響可以忽），剪力的影響可以忽略，略，純彎曲時的正應(yīng)力計算公式用于橫力彎曲情況，其結(jié)純彎曲時的正應(yīng)力計算公式用于橫力彎曲情況，其結(jié)果仍足夠精確果仍足夠精確。zIyxM)(szWxM)(maxsFl4lF彎曲正應(yīng)力公式彎曲正應(yīng)力公式ZIMys可推廣應(yīng)用于橫力彎曲和小曲率梁（曲率半徑大于5倍梁截面高度的曲桿)例：厚為例：厚為t = 1.5 mm的鋼帶，卷成直徑的鋼帶

8、，卷成直徑D3m 的圓環(huán)。的圓環(huán)。 。求：鋼帶橫截面上的最大正應(yīng)力求：鋼帶橫截面上的最大正應(yīng)力GPaE210解：解：1 1）研究對象：單位寬條）研究對象：單位寬條?M2 2）曲率公式：）曲率公式：3 3）求應(yīng)力：）求應(yīng)力：,maxmaxyIMzsDEIEIMzz2MPa105maxmaxyEs也可用公式：3105 . 110210392DzEIM1Dt1t,2,121max3tytIzDEttDEyIMz22maxmaxs例：例：求圖示懸臂梁的最大拉、壓應(yīng)力。已知：mkNqml/6,110槽鋼槽鋼q解：解：1 1）畫彎矩圖）畫彎矩圖kNmqlM35 . 0|2max2 2）查型鋼表：）查型鋼表

9、：cmycmIcmbz52. 1,6 .25,8 . 414cmy28. 352. 18 . 423 3）求最大拉、壓應(yīng)力應(yīng)力：）求最大拉、壓應(yīng)力應(yīng)力：1maxyIMzts6106 .2552. 13000MPa1782maxyIMzcs6106 .2528. 33000MPa384MPaMPact384,178maxmaxssbz1yy2ycmaxtmaxbz1yy2yM四、梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件四、梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件 材料的許用彎曲正應(yīng)力材料的許用彎曲正應(yīng)力 ssmax szWMmax中性軸為橫截面對稱軸的等直梁中性軸為橫截面對稱軸的等直梁拉、壓強(qiáng)度不相等的鑄鐵等脆性材料制成的梁拉、壓

10、強(qiáng)度不相等的鑄鐵等脆性材料制成的梁tmaxmaxmaxtsstzyIMcmaxmaxmaxcssczyIMOzyytmaxycmaxttmaxmaxtmaxsszIyMccmaxmaxcmaxsszIyMctcmaxtmaxssyy為充分發(fā)揮材料的強(qiáng)度，最合理的設(shè)計為zh sM彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件 ssmax sszWMmaxmax 1 1、強(qiáng)度校核、強(qiáng)度校核 2 2、設(shè)計截面尺寸、設(shè)計截面尺寸 3 3、確定外載荷、確定外載荷 s ss s max； maxs sMWz ; maxs szWM tmaxmaxmax)(sszttIyMcmaxmaxmax) (sszccIyM解

11、解：1 1、求約束反力、求約束反力x0.5m0.5m0.5mABCD2FF例例：矩形截面梁：矩形截面梁 b= 60 mm、h=120mm，s s =160MPa, 求求：Fmax 5F/2F/2M max = 0.5F3 3、強(qiáng)度計算、強(qiáng)度計算ZWMmaxmaxshb2、畫、畫M圖，求圖，求MmaxF25. 0F5 . 0,s s2615 . 0bhF)(1 .46maxkNFM解解：1)求約束反力求約束反力.5 .10,5 . 2kNFkNFBYAY)(5 . 2下下拉拉、上上壓壓kNmMC （上上拉拉、下下壓壓）kNmMB4 例例、T 字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的字形截面的鑄鐵梁受力如

12、圖，鑄鐵的s st = 30 M Pa， s sc = 60 M Pa.其截面形心位于其截面形心位于C點(diǎn)，點(diǎn)，y1= 52 mm， y2= 88 mm，Iz =763 cm4 ，試校核此梁的強(qiáng)度。試校核此梁的強(qiáng)度。y 2y 1C Cz1m1m1mABCD2.5kNm-4k N m2 2）畫彎矩圖）畫彎矩圖 定危險截面定危險截面AyFByFxkNF91kNF423 3）求應(yīng)力）求應(yīng)力B截面截面（上拉下壓）（上拉下壓）MC截面截面（下拉上壓）（下拉上壓）為什么？zCCtIyM2maxsC截面截面（下拉上壓）（下拉上壓）:y 2y 1C Cz1m1m1mABCDF 2 =4kNF 1 =9kN tt

13、ss2 .28maxccss2 .46maxMPa2 .281076310885 . 246zCCIyMc1maxsMPa04.174 ) 強(qiáng)度校核強(qiáng)度校核A1A2A3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa2.5kNm-4k N mxMB截面截面（上拉下壓）（上拉下壓）:,2 .271076310524461maxMPaIyMzBBtsMPaIyMzBBc2 .461076310884462maxs最大拉、壓應(yīng)力不在同一截面上最大拉、壓應(yīng)力不在同一截面上A1A2y 2y 1C CzA3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa結(jié)論結(jié)論對Z軸對稱截面的彎曲梁，只計算一個截面一個截面：

14、對Z軸不對稱截面的彎曲梁，必須計算兩個截面兩個截面：maxMmaxmax; MMx 2.5kNm-4k N mM1m1m1mABCDF 2 =4kNF 1 =9kN例例 跨長跨長 l= 2m 的鑄鐵梁受力如圖，已知鑄鐵的許用拉應(yīng)力的鑄鐵梁受力如圖，已知鑄鐵的許用拉應(yīng)力 st =30 MPa，許用壓應(yīng)力，許用壓應(yīng)力 sc =90 MPa。試根據(jù)截面最。試根據(jù)截面最為合理的要求，確定為合理的要求，確定T字形梁橫截面的尺寸字形梁橫截面的尺寸d ，并校核梁，并校核梁的強(qiáng)度的強(qiáng)度 。解：解：ct21ssyy根據(jù)截面最為合理的要求根據(jù)截面最為合理的要求319030mm701 yy1m2mBAF=80 kN

15、Cy1y2z60220yO280dttmaxmaxtmaxsszIyMccmaxmaxcmaxsszIyMctcmaxtmaxssyyFl/4mm24d得得462323mm102 .99)30210280(220601260220)110210(220241222024zI截面對中性軸的慣性矩為截面對中性軸的慣性矩為y1y2z60220yO280dmmy7060220)60280()11060()60280(3060220ddct21ssyy319030mm701 yy例例 跨長跨長 l= 2m 的鑄鐵梁受力如圖，已知鑄鐵的許用拉應(yīng)力的鑄鐵梁受力如圖，已知鑄鐵的許用拉應(yīng)力 st =30 MPa

16、，許用壓應(yīng)力，許用壓應(yīng)力 sc =90 MPa。試根據(jù)截面最為。試根據(jù)截面最為合理的要求，確定合理的要求，確定T字形梁橫截面的尺寸字形梁橫截面的尺寸d ，并校核梁的強(qiáng)，并校核梁的強(qiáng)度度 。1m2mBAF=80 kNCy1y2z60220yO280dmkN4042804maxFlM 梁上的最大彎矩梁上的最大彎矩mm24dOsc,maxst,maxz46mm102 .99zIc4662maxmaxc,MPa7 .84mm102 .99mm210mmN1040sszIyM最大壓應(yīng)力為最大壓應(yīng)力為梁滿足強(qiáng)度要求。梁滿足強(qiáng)度要求。y1y2z60yO280dFl/4例例 圖示槽形截面鑄鐵梁，已知：圖示槽形

17、截面鑄鐵梁，已知：b = 2m，截面對，截面對中性軸的慣性矩中性軸的慣性矩 Iz=5493104mm4， 鑄鐵的許用拉鑄鐵的許用拉應(yīng)力應(yīng)力 st =30 MPa，許用壓應(yīng)力，許用壓應(yīng)力 sc =90 MPa。試。試求梁的許可荷載求梁的許可荷載F 。 解：解：1 1、梁的支反力為、梁的支反力為zyC形心形心86134204018012020BF Cbq=F/bDbbAFB FA FFB474FFA2 2、作梁的彎矩圖如下、作梁的彎矩圖如下4maxFbM2maxFbM發(fā)生在截面發(fā)生在截面C發(fā)生在截面發(fā)生在截面BzyC形心形心86134204018012020Fb/2Fb/4BF Cbq=F/bDb

18、bA例例 圖示槽形截面鑄鐵梁，已知：圖示槽形截面鑄鐵梁，已知：b = 2m，截面對中性軸的慣性，截面對中性軸的慣性矩矩 Iz=5493104mm4， 鑄鐵的許用拉應(yīng)力鑄鐵的許用拉應(yīng)力 st =30 MPa，許用壓，許用壓應(yīng)力應(yīng)力 sc =90 MPa。試求梁的許可荷載。試求梁的許可荷載F 。FB FA FFB474FFA3 3、計算最大拉、壓正應(yīng)力、計算最大拉、壓正應(yīng)力 可見：壓應(yīng)力強(qiáng)度條件由可見：壓應(yīng)力強(qiáng)度條件由B截面控制，拉應(yīng)力截面控制，拉應(yīng)力強(qiáng)度條件則強(qiáng)度條件則B、C截面都要考慮。截面都要考慮。zyC形心形心86134204018012020Fb/2Fb/4C截面截面B截面截面壓應(yīng)力壓應(yīng)力拉應(yīng)力拉應(yīng)力拉應(yīng)力拉應(yīng)力壓應(yīng)力壓應(yīng)力MPa30mm105493mm86mm1022/4332maxt,FIyMzBs考慮截面考慮截面B ：MPa90mm105493mm341mm1024/4431maxc,FIyMzBskN2 .19FkN8 .73Fzy