1、 1.5 全概率公式和貝葉斯公式全概率公式和貝葉斯公式1.5.1 1.5.1 全概率公式全概率公式引例：引例： 有三個罐子有三個罐子,1號裝有號裝有 2 紅紅 1 黑球黑球 , 2號裝有號裝有 3 紅紅 1 黑球，黑球，3號裝有號裝有 2 紅紅 2 黑球黑球. 某某人從中人從中隨機取一罐隨機取一罐，在從中，在從中任意取出一球任意取出一球，求取得紅球的概率求取得紅球的概率.213如何求取得紅球的概率？如何求取得紅球的概率？第第1章章 概率論基礎概率論基礎 定理定理1.2 設試驗設試驗E的樣本空間為的樣本空間為 ,A1,A2,An為為E的的一組事件，且滿足：一組事件，且滿足：(1) A1,A2,A

2、n兩兩互不相容，兩兩互不相容， i = 1,2,n；(2) 則對任一事件則對任一事件B，有，有 (1.7) (1.7)稱為稱為全概率公式全概率公式稱滿足稱滿足(1)和和(2)的的A1，A2，An為為完備事件組完備事件組或或樣本空間的一個劃分樣本空間的一個劃分 iniA1)()()(1iniiABPAPBP , 0)( iAP1A2A3A1 nAnA1.5.1 全概率公式全概率公式證明：證明：因為因為由于由于A1，A2，An兩兩互不相容，兩兩互不相容，由有限可加性由有限可加性由假設及乘法公式得到由假設及乘法公式得到 利用全概率公式求事件利用全概率公式求事件B的概率，關鍵是尋求完的概率，關鍵是尋求

3、完備事件組備事件組A1，A2，An; 尋求完備事件組尋求完備事件組A1，A2，An相當于找導致事相當于找導致事件件B發生的所有互不相容的事件發生的所有互不相容的事件 BB )()(1iniBAPBP ).()()()(11iniiniiABPAPBAPBP )(1iniAB )(1iniBA niiBAP1)(1.5.1 全概率公式全概率公式 有三個罐子有三個罐子,1號裝有號裝有 2 紅紅 1 黑球黑球 , 2號裝有號裝有 3 紅紅 1 黑球，黑球，3號裝有號裝有 2 紅紅 2 黑球黑球. 某人從中隨機取一某人從中隨機取一罐，再從中任意取出一球，罐，再從中任意取出一球，求取得紅球的概率求取得紅

4、球的概率.解解 記記 Ai = 取到的是取到的是 i 號罐號罐 i=1, 2, 3; B = 取得紅球取得紅球 A1,A2,A3 的發生都會導致的發生都會導致B 發生，發生，A1,A2,A3構成完備事件組構成完備事件組代入數據計算得：代入數據計算得：P( (B) ) 0.639 . 31)|()()(iiiABPAPBP由由全全概概率率公公式式得得123再看引例再看引例 依題意依題意: P(B|A1)=2/3, P(B|A2 )=3/4,P(B|A3 )=1/2,P( Ai )=1/3, i=1, 2, 31.5.1 全概率公式全概率公式【例【例1.15】假設有假設有3箱同種型號零件，里面分別

5、裝有箱同種型號零件，里面分別裝有50件、件、30件、件、40件，而且一等品分別有件，而且一等品分別有20件、件、12件件和和24件，現在任取一箱，從中不放回地先后取出兩件，現在任取一箱，從中不放回地先后取出兩個零件，試求個零件，試求: (1)先取出的零件是一等品的概率；先取出的零件是一等品的概率； (2)兩次取出的零件均為一等品的概率兩次取出的零件均為一等品的概率 解解: 設設Ai =“任取的一箱為第任取的一箱為第i箱零件箱零件”，i = 1,2,3， Bj =“第第j次取到的是一等品次取到的是一等品”，j = 1，2 由題意知由題意知 A1、A2和和A3構成完備事件組，構成完備事件組， 且且

6、31)()()(321 APAPAP1.5.1 全概率公式全概率公式 (1)由全概率公式得由全概率公式得 )|(11ABP )|(21ABP6 . 04024 )()()(1311iiiABPAPBP , 4 . 05020 4 . 03012 )|(31ABP.467. 0)6 . 04 . 04 . 0(31 1.5.1 全概率公式全概率公式 (2) 因為因為由全概率公式得由全概率公式得 )|(121ABBP )|(221ABBP )|(321ABBP22. 0)3538. 01517. 01551. 0(31 1551. 0250220 CC1517. 0230212 CC3538. 0

7、240224 CC)()()(213121iiiABBPAPBBP 1.5.1 全概率公式全概率公式引例：引例：某人從任一罐中任意摸出一球，發現某人從任一罐中任意摸出一球，發現是紅球，求該球是取自是紅球，求該球是取自 1號罐的概率號罐的概率.213這是這是“已知結果求已知結果求原因原因”的問題是求一的問題是求一個條件概率個條件概率.下面就介紹為解決這類問題而引出的公式：下面就介紹為解決這類問題而引出的公式：Bayes(貝葉斯貝葉斯)公式公式1.5.1 全概率公式全概率公式 1.5.2 1.5.2 貝葉斯公式貝葉斯公式定理定理1.3 設試驗設試驗E的樣本空間為的樣本空間為 ，B為為E的事件，的事

8、件，A1，A2，An為完備事件組，且為完備事件組，且P(B) 0，P(Ai) 0，i = 1，2，n，則，則 (1.8) (1.8)式稱為式稱為貝葉斯公式貝葉斯公式 niABPAPABPAPBAPiniiiii, 2 , 1,)()()()()(1 niABPAPABPAPBAPiniiiii, 2 , 1,)()()()()(1 1.5 全概率公式和貝葉斯公式全概率公式和貝葉斯公式證明證明)()()(BPBAPABPii ,)()()()(1 njjjiiAPABPAPABP., 2 , 1ni 該公式于該公式于1763年由貝葉斯年由貝葉斯(Bayes)給出給出. 它是在觀它是在觀察到事件察

9、到事件B已發生的條件下，尋找導致已發生的條件下，尋找導致B發生的每個原發生的每個原因的概率因的概率.由由條件概率公式條件概率公式、乘法公式乘法公式及及全概率公式全概率公式知：知：1.5.2 貝葉斯公式貝葉斯公式某人從任一罐中任意摸出一球，發現是紅球，某人從任一罐中任意摸出一球，發現是紅球，求該球是取自求該球是取自 1號罐的概率號罐的概率.再看引例再看引例 解解 記記 i = 取到第取到第 i 號罐號罐 i=1, 2, 3; = 取得紅球取得紅球 1,2,3是完備事件組是完備事件組 31111)|()()()|()|(iiiABPAPAPABPBAP由由貝貝葉葉斯斯公公式式得得代入數據計算得：代

10、入數據計算得：213其中其中P(|1)=2/3, P(|2 )=3/4,P(|3 )=1/2,P(i)=1/3,i=1,2,3348. 0)|(1 BAP1.5.2 貝葉斯公式貝葉斯公式特別有：特別有：設事件設事件A、B為試驗為試驗E的兩事件，由于的兩事件，由于A和和是一個完備事件組，若是一個完備事件組，若P(A) 0，P(B) 0，貝葉斯公式的一種常用簡單形式為，貝葉斯公式的一種常用簡單形式為A0)( AP)()()()()()()(ABPAPABPAPABPAPBAP 1.5.2 貝葉斯公式貝葉斯公式 【例【例1.16】玻璃杯成箱出售，每箱玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設各箱只，假設各箱含

11、含0，1，2只殘次品的概率分別是只殘次品的概率分別是0.8，0.1和和0.1，某，某顧客欲購一箱玻璃杯，在購買時，售貨員隨即取出顧客欲購一箱玻璃杯，在購買時，售貨員隨即取出一箱，顧客開箱隨機地查看四只，若無殘次品，則一箱，顧客開箱隨機地查看四只，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回，試求：買下該箱玻璃杯，否則退回，試求： (1) 顧客買下該箱的概率顧客買下該箱的概率 ； (2) 在顧客買下的一箱中，確實沒有殘次品的在顧客買下的一箱中，確實沒有殘次品的概率概率 1.5.2 貝葉斯公式貝葉斯公式 解解：設設B =“顧客買下該箱玻璃杯顧客買下該箱玻璃杯”，Ai =“抽到的一箱中有抽到的一箱中有i件

12、殘次品件殘次品”，i = 0,1,2 (1) 事件事件B在下面三種情況下均會發生：抽到的一在下面三種情況下均會發生：抽到的一箱中沒有殘次品、有箱中沒有殘次品、有1件殘次品或有件殘次品或有2件次品。件次品。顯然顯然A0，A1，A2是完備事件組是完備事件組由題意知由題意知由全概率公式得由全概率公式得1 . 0)(, 1 . 0)(, 8 . 0)(210 APAPAP )(0ABP)(BP , 1420420 CC )(1ABP,54420419 CC )(2ABP1912420418 CC94. 0)()()()()()(221100 ABPAPABPAPABPAP1.5.2 貝葉斯公式貝葉斯公

13、式 (2) 由貝葉斯公式由貝葉斯公式 )(0BAP )()()(00BPABPAP85. 094. 018 . 0 1.5.2 貝葉斯公式貝葉斯公式 【例【例1.17】根據以往的記錄，某種診斷肝炎的試驗根據以往的記錄，某種診斷肝炎的試驗有如下效果：對肝炎病人的試驗呈陽性的概率為有如下效果：對肝炎病人的試驗呈陽性的概率為0.95；非肝炎病人的試驗呈陰性的概率為非肝炎病人的試驗呈陰性的概率為0.95對自然人群對自然人群進行普查的結果為：有千分之五的人患有肝炎現進行普查的結果為：有千分之五的人患有肝炎現有某人做此試驗結果為陽性，問此人確有肝炎的概有某人做此試驗結果為陽性，問此人確有肝炎的概率為多少？

14、率為多少？1.5.2 貝葉斯公式貝葉斯公式解解: 設設A =“某人確有肝炎某人確有肝炎”， B =“某人做此試驗結果為陽性某人做此試驗結果為陽性”；由已知條件有由已知條件有從而從而由貝葉斯公式，有由貝葉斯公式，有95. 0)( ABP,95. 0)( ABP005. 0)( AP995. 0)(1)( APAP05. 0)(1)( ABPABP)()()()()()()(ABPAPABPAPABPAPBAP 087. 005. 0995. 095. 0005. 095. 0005. 0 1.5.2 貝葉斯公式貝葉斯公式本題的結果表明，雖然本題的結果表明，雖然 這兩個概率都很高但是，即試驗這兩個

15、概率都很高但是，即試驗陽性的人有肝炎的概率只有陽性的人有肝炎的概率只有8.7%如果不注意這如果不注意這一點，將一點，將 和和 搞混，將會得出錯誤搞混，將會得出錯誤診斷，造成不良的后果診斷，造成不良的后果 ,95. 0)( ABP95. 0)( ABP)(ABP)(BAP1.5.2 貝葉斯公式貝葉斯公式 在貝葉斯公式中，事件在貝葉斯公式中，事件Ai的概率的概率P(Ai)，i = 1，2，n，通常是人們在試驗之前對，通常是人們在試驗之前對Ai的認知，習的認知，習慣上稱其為慣上稱其為先驗概率先驗概率若試驗后事件若試驗后事件B發生了，在發生了，在這種信息下考察這種信息下考察Ai的概率的概率 它反映了導

16、致它反映了導致B發生的各種原因的可能性大小，常發生的各種原因的可能性大小，常稱為稱為后驗概率后驗概率niBAPi,.,2 , 1),|( 1.5.2 貝葉斯公式貝葉斯公式 貝葉斯公式是英國哲學家貝葉斯公式是英國哲學家Bayes于于1763首先提出首先提出的，經過多年的發展和完善，由這一公式的思想已的，經過多年的發展和完善，由這一公式的思想已經發展成為一整套統計推斷方法，即經發展成為一整套統計推斷方法，即“Bayes方法方法”，這一方法在計算機診斷、模式識別、基因組成、蛋這一方法在計算機診斷、模式識別、基因組成、蛋白質結構等很多方面都有應用白質結構等很多方面都有應用Thomas BayesBor

17、n: 1702 in London, EnglandDied: 17 Apr. 1761 in Tunbridge Wells, Kent, England1.5.2 貝葉斯公式貝葉斯公式課堂練習課堂練習 有一臺用來檢驗產品質量的儀器，已知一只有一臺用來檢驗產品質量的儀器，已知一只次品經檢驗被認為是次品的概率為次品經檢驗被認為是次品的概率為0.990.99，而一只，而一只正品經檢驗被認為是次品的概率正品經檢驗被認為是次品的概率0.0050.005，已知產品，已知產品的次品率為，若一產品經檢驗被認為是次品，的次品率為，若一產品經檢驗被認為是次品，求它確為次品的概率求它確為次品的概率解解 品品產產品品經經檢檢驗驗被被認認為為是是次次設設 A