1、一、樣本均值分布一、樣本均值分布定理定理 設(shè)總體設(shè)總體.,2NXnXXX,21是是X X的樣本。的樣本。nkkXnX11樣本均值樣本均值.,2nNX1, 02NnXZ（標(biāo)準(zhǔn)化）（標(biāo)準(zhǔn)化）)(22n記為記為2分布分布二、二、nXXX,21222212nXXX 21.1.定義定義: : 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量相互獨立相互獨立, ,都服從都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N N(0,1), (0,1), 則稱統(tǒng)計量：則稱統(tǒng)計量：所服從的分布為自由度為所服從的分布為自由度為 n n 的的分布分布. .注注: : 自由度是指自由度是指* *右端所含獨立的隨機變量的個數(shù)。右端所含獨立的隨機變量的個數(shù)。2分布的密

2、度函數(shù)為分布的密度函數(shù)為122210( ; ) 2(2)00nxnxexf x nnx 來定義來定義. .通過積分通過積分0,)(01xdttexxt其中伽瑪函數(shù)其中伽瑪函數(shù))(x 2 2分布的密度函數(shù)曲線分布的密度函數(shù)曲線000)2(21);(2122xxexnnxfxnn2由由 分布的定義，不難得到：分布的定義，不難得到：)(21221nnXX),(),(222121nXnX且且X X1 1 , , X X2 2相互獨立，相互獨立，這個性質(zhì)叫這個性質(zhì)叫 分布的可加性分布的可加性. .2(2) (2) 設(shè)設(shè)則則222 ,2 En Dn（ ）0,1,(0,1) iiiEXDXXN證證：2422

3、()312,1,2, iiiDXEXEXin 22211(). nniiiiEEXEXn 所所以以22211()2 . nniiiiDDXDXn 21, iEX 24421()2xE Xxedx 23212xxde 223222113322xxxeex dx 應(yīng)用中心極限定理可得，若應(yīng)用中心極限定理可得，若則當(dāng)則當(dāng)n n充分大時，充分大時，)(2nXnnX2的分布近似正態(tài)分布的分布近似正態(tài)分布 N N (0,1).(0,1).(3)(3)對于給定的正數(shù)對于給定的正數(shù)10,稱滿足條件的點稱滿足條件的點為為分位點分位點. .分布的分布的上上(4) (4) 分布的分位點分布的分位點)(2n)(2n)

4、(2nnxf,x2( )n P4432分布表供查閱。分布表供查閱。例例8 .34)30(3025. 0225. 0n即即25. 0)(8 .34)30(8 .342ydyfP對于給定的對于給定的10稱滿足條件稱滿足條件2)(ydyf的點的點)(2n為為)(2n分布的分布的“上上100百分位點百分位點”)(2n yfx上側(cè)上側(cè)分位點。分位點。)(21n yfx)(22n2 yfx)(221n2雙側(cè)雙側(cè)2分位點。分位點。1 . 0當(dāng)當(dāng)時時下側(cè)下側(cè)分位點分位點44.12)20(21雙側(cè)雙側(cè)2分位點分位點851.10)20(221411.31)20(22)(2n分布的下側(cè)分布的下側(cè)分位點。分位點。),

5、(2N相互獨立相互獨立, , 都服從正態(tài)分布都服從正態(tài)分布nXXX,21則則222211() ( )niiXn 問題問題 設(shè)設(shè)為什么？為什么？例例2 設(shè)總體設(shè)總體XN（0，0.32）, n =10,求求10211.44iiPX解解 X/0.3N（0，1），），21021() (10) 0.3iiX10211.44 iiPX102222111.44(10)160.1 0.30.3iiPXP休息片刻休息片刻T的密度函數(shù)為：的密度函數(shù)為：212)1 ()2(2) 1();(nnxnnnnxf 記為記為Tt(n).nYXT 所服從的分布為自由度為所服從的分布為自由度為 n的的 t 分布分布.)(2n1

6、. 定義定義:設(shè)設(shè) XN(0,1) ,Y則稱變量則稱變量, 且且 X 與與 Y 相互獨立，相互獨立，xt(n) t(n) 的概率密度為的概率密度為212)1 ()2(2) 1();(nnxnnnnxf x（1 1）具有自由度為）具有自由度為 n n 的的 t t 分布的隨機變量分布的隨機變量 T T 的的當(dāng)當(dāng)n n充分大時，其圖形類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度充分大時，其圖形類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度0);(nxfLimx（2 2）t t 分布的密度函數(shù)關(guān)于分布的密度函數(shù)關(guān)于 x x = 0 = 0 對稱，且對稱，且數(shù)學(xué)期望和方差為數(shù)學(xué)期望和方差為: : E E( ( T T ) = 0; ) = 0;

7、D D( ( T T ) = ) = n n / ( / ( n n - 2 ) , - 2 ) , 對對 n n 2 2 函數(shù)的圖形函數(shù)的圖形. .很大很大. .不難看到，當(dāng)不難看到，當(dāng)n n充分大時，充分大時，t t 分布近似分布近似N N (0,1) (0,1)分布分布. . 但對于較小的但對于較小的n n， t t分布與分布與N N (0,1)(0,1)分布相差分布相差 對于給定的正數(shù)對于給定的正數(shù)10,稱滿足條件稱滿足條件( )( )tPttnh tdt的點的點為為百分位點百分位點”。分布的分布的“上上)(nt100)(nt)(nt)(1nt例例4851. 2)25(2501. 00

8、1. 0tn)(2nt22)(2nt)()(1ntnt查查t t 分布表，附表分布表，附表3 3)()(221ntbnta當(dāng)當(dāng)201 . 0n時時 分布上側(cè)分布上側(cè)分位點分位點3253. 1)20(t 分布下側(cè)分布下側(cè)分位點分位點3253. 1)20()20(1tt 分布雙側(cè)分布雙側(cè)分位點分位點7247. 1)20(2t7247. 1)20()20(221tt( )baPatbh t dt t t的分布的雙側(cè)的分布的雙側(cè)分位點為滿足分位點為滿足),(),(2212nYnX21nYnXF =若若X F (n1,n2)， X的概率密度為的概率密度為 0001)()()()(),;(22222121

9、2112121212121xxxxnnxfnnnnnnnnnnnnn1.1.定義定義: : 設(shè)設(shè)X X與與Y Y相互獨立，相互獨立，則稱統(tǒng)計量則稱統(tǒng)計量服從自由度為服從自由度為n n1 1及及 n n2 2 的的F F分布，分布，n n1 1稱為第一自由度，稱為第一自由度，n n2 2稱為第二自由度，稱為第二自由度，記作記作 F F (n1,n2).即它的數(shù)學(xué)期望并不依賴于第一自由度即它的數(shù)學(xué)期望并不依賴于第一自由度n n1.1.(2) X(2) X的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為: :2)(22nnXE若若 n n2 2 2 2(1) (1) 由定義可見，由定義可見，121nXnYF F( n2,

10、n1)2. 2. 性質(zhì)性質(zhì)(3) F (3) F 分布的分位點分布的分位點對于給定的正數(shù)對于給定的正數(shù)10,稱滿足條件稱滿足條件1212(,)(,)( )Fn nP FFn ny dya的點的點為為分位點。分位點。分布的上分布的上),(21nnF),(21nnF),(21nnF 關(guān)于關(guān)于 F F 分布的重要結(jié)論分布的重要結(jié)論結(jié)結(jié)論論：112211(,)(,)Fn nFn n ),(21nnFF證明：若),(11),(1211211nnFFPnnFFP),(111211nnFFP),(11211nnFFP所以),(1),(21112nnFnnF),(/ 112nnFF又表中所給的表中所給的都是很

11、小的數(shù)，如都是很小的數(shù)，如0.01，0.05等等當(dāng)當(dāng)表中查不出，由性質(zhì)（表中查不出，由性質(zhì)（2）),(1),(12211nnFnnF即)9 ,12(95. 0F例：)12, 9(105. 0F357. 080. 21較大時，如較大時，如0.95， 定理定理 1 (1 (樣本均值的分布樣本均值的分布) )設(shè)設(shè) X X1 1, ,X X2 2, , ,X Xn n 是取自正態(tài)總體是取自正態(tài)總體),(2 N則有則有),(2nNX ) 1 , 0( NnXZ的樣本，的樣本，N N 取不同值時樣本均值取不同值時樣本均值 的分布的分布X) 1() 1() 1 (222nSn 設(shè)設(shè) X X1 1, , X

12、X2 2, , , , X Xn n 是取自正態(tài)總體是取自正態(tài)總體),(2 N2SX 和分別為樣本均值和樣本方差分別為樣本均值和樣本方差, ,則有則有.)2(2相互獨立和 SX的樣本的樣本, ,N N 取不同值時取不同值時222) 1(Sn的分布的分布222(1)(1)nSn 關(guān)關(guān)于于的的簡簡要要說說明明222211( ) ( )niiXn 22221(1)1( )niinSXX X 從從以以上上兩兩式式子子看看出出，僅僅 和和 不不同同1()0niiiXXX 但但是是，第第一一個個式式子子，自自由由，第第二二式式無無形形中中多多了了一一個個條條件件，減減少少了了一一個個自自由由度度2(1)n

13、 故故為為127,(0, 1 4)XXXXN設(shè)是總體的簡單樣本721()4iiPXX求72722121()4()(6)0.5iIiiXXXX772211()44()160.01iiiiPXXPXX 設(shè)設(shè) X X1 1, , X X2 2 , , , X Xn n 是取自正態(tài)總體是取自正態(tài)總體),(2 N的樣本的樣本, ,2SX 和分別為樣本均值和樣本方差分別為樣本均值和樣本方差, , 則有則有) 1(ntnSXT（與樣本均值和樣本方差有關(guān)（與樣本均值和樣本方差有關(guān) 的一個分布）的一個分布）當(dāng)當(dāng)zntn)(45).1() 1(),1 , 0(/222nSnNnX證明：則由則由t-t-分布的定義：

14、分布的定義：) 1() 1() 1(/22ntnSnnX) 1(/ntnSX即：且它們獨立。且它們獨立。Y N (2,2 2) ： Y1，Y2，,Yn2 ，它們相互獨立，它們相互獨立，則則22121212(,)XYNnn12221212()()(0,1)XYNnn若若 X N (1,12) ： X1，X2，,Xn1（1） 定理定理 4 (4 (兩總體樣本均值差的分布兩總體樣本均值差的分布) ) )2(112) 1() 1()(21212122221121nntnnnnSnSnYX ，設(shè)),(),(2221NYNXYX 和分別是這兩個樣本的樣本分別是這兩個樣本的樣本且且 X X 與與Y Y 獨立

15、獨立, ,X X1 1, ,X X2 2, , ,1nX是取自是取自X X的樣本的樣本, ,取自取自Y Y的樣本的樣本, ,分別是這兩個樣本的樣本方差分別是這兩個樣本的樣本方差, ,均值均值, ,2221SS 和則有則有Y Y1 1, ,Y Y2 2, , ,2nY是是 定理定理 5 (5 (兩總體樣本方差比的分布兩總體樣本方差比的分布) ) ) 1, 1(2122222121nnFSS，設(shè)),(),(222211NYNXYX 和分別是這兩個樣本的分別是這兩個樣本的且且X X與與Y Y獨立獨立, ,X X1 1, , X X2 2, , ,1nX是取自是取自X X的樣本的樣本, ,取自取自Y

16、Y的樣本的樣本, ,分別是這兩個樣本的樣本方差分別是這兩個樣本的樣本方差, ,均值，均值，2221SS 和則有則有Y Y1 1, ,Y Y2 2, , ,2nY是是樣本樣本設(shè)設(shè) X: X1，X2，Xn2211() 1niiSXXn11 niiXXn 1. 2.若若 XN（0，1），則），則2221( ) niiXn222212= ( ) /()/nXXtt nnXXXn2222121111122222221222() /()(,) ()() /nnXXXnnnFF nnnnXXXn2(,)XNn(0 ,1)XzNn (1)/XTt nSn2222(1)(1)nSn2212()(1)niiXXn

17、四四大大統(tǒng)統(tǒng)計計量量2221()( )niiXn121212() () (2)11wX Yt nnSnn222112212(1)(1),2wnSnSSnnY N (2,2 2) ： Y1，Y2，,Yn2 ，它們相互獨立，它們相互獨立，則則22121212(,)XYNnn12221212()()(0,1)XYNnn若若 X N (1,12) ： X1，X2，,Xn1（1）（2）當(dāng)當(dāng)12 =22 =2時，時，2211122222/(1,1)/SF nnS（3）設(shè)設(shè)X1,X2,X3,X4是總體是總體N（0，1）的樣本，則：）的樣本，則：12341 XXXX（ ）服從什么分布？222212342 XX

18、XX（ ）服從什么分布？1222343 XXXX（ ）服從什么分布？221222344 XXXX（ ）服從什么分布？請回答：請回答：設(shè)設(shè)X1,X2,X3,X4是總體是總體20,XN的樣本212234()()XXYXX求的分布 221234(0, 2)(0, 2)XXNXXN，221234(0, 2)(0, 2)XXNXXN，21223421, 12XXYFXX1212222()/22/2YYYYZSS 1291262789 ,)11( ) ()631XXXYXXXYXXX 2設(shè)是來自正態(tài)總體N( ,的樣本記92212272()1()2iiYYSXYzS求的分布(2)t212 YY -YZZ強強

19、調(diào)調(diào)與與 獨獨立立，與與 獨獨立立2,(0,)128X ,X,XN 設(shè)設(shè)是是來來自自于于總總體體的的一一個個樣樣本本例題分析例題分析221234225678(X -X )() Y=()()XXXXXX求求的的分分布布22XN( ,), X,( )12X ,XXn 設(shè)總體樣本來自設(shè)總體樣本來自未知 則下列結(jié)論正確未知 則下列結(jié)論正確n222ii=1n22ii=1n22i2i=1n222i2i=11(A) S =(X -X) (n-1)1(b) (X -X) (n-1)1(c) (X -X) (n-1)1(d) S =(X -X) (n)n-1n 請回答請回答：設(shè)總體設(shè)總體XN（，2），），X1，X2，X8為為一個樣本，則（一個樣本，則（ ）成立。）成立。(2) t (7)8X（1） t (8)8X(4) t (8)8Xs(3) t (7) 8Xs請回答請回答：設(shè)：設(shè) 是來自正態(tài)總體是來自正態(tài)總體N(N(，2 2）的樣本，）的樣本， 是樣本均值，記是樣本均值，記12,nXXXX22111()1niiSXXn22211()niiSXXn22311()1niiSXnniiXnS1224)(11( )