1、實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶?shí)驗(yàn)?zāi)康膶?shí)驗(yàn)內(nèi)容實(shí)驗(yàn)內(nèi)容學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)主要的隨機(jī)變量抽樣方法主要的隨機(jī)變量抽樣方法1 1、均勻分布均勻分布U(0,1)的隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生2 2、其他各種分布的隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法其他各種分布的隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法3 3、隨機(jī)數(shù)生成實(shí)例、隨機(jī)數(shù)生成實(shí)例4 4、實(shí)驗(yàn)作業(yè)、實(shí)驗(yàn)作業(yè)隨機(jī)數(shù)的生成及隨機(jī)變量抽樣隨機(jī)數(shù)的生成隨機(jī)數(shù)的生成 隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生是實(shí)現(xiàn)MC計(jì)算的先決條件。而大多數(shù)概率分布的隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生都是基于均勻分布U(0,1)的隨機(jī)數(shù)。 首先，介紹服從均勻分布U(0,1)的隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法。 其次，介紹服從其他各種分布的隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法。以及服從正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法。 最后，關(guān)于隨機(jī)數(shù)的幾

2、點(diǎn)注。一、一、均勻分布均勻分布U(0,1)的隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生 產(chǎn)生均勻分布的標(biāo)準(zhǔn)算法在很多高級計(jì)算機(jī)語言的書都可以看到。算法簡單，容易實(shí)現(xiàn)。使用者可以自己手動(dòng)編程實(shí)現(xiàn)。Matlab 中也提供給我們用于產(chǎn)生均勻分布的各種函數(shù)。我們的重點(diǎn)是怎樣通過均勻分布產(chǎn)生服從其他分布的隨機(jī)數(shù)。因此，直接使用Matlab提供的可靠安全的標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)，當(dāng)然不用費(fèi)事了。 IMSL庫中的函數(shù)使用庫中的函數(shù)使用 RNSET: 種子的設(shè)定 CALL RNSET (ISEED) RNOPT: 產(chǎn)生器的類型的設(shè)定 CALL RNOPT (IOPT) RNUN/DRNUN: 產(chǎn)生均勻分布的隨機(jī)數(shù) CALL RNUN (N

3、R, R) 例例1 1生成生成1 1行行10001000列的列的1 11010上離散均勻分布的隨機(jī)上離散均勻分布的隨機(jī)數(shù)；數(shù)；生成生成1 1行行10001000列列21213030上離散均勻分布的隨機(jī)數(shù)；上離散均勻分布的隨機(jī)數(shù)；生成生成1 1行行10001000列列50150110001000上離散均勻分布的隨機(jī)上離散均勻分布的隨機(jī)數(shù)。數(shù)。 并畫經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)曲線。并畫經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)曲線。Randnum=unidrnd(10,1,10000)；cdfplot(Randnum)；pauseRandnum=unidrnd(10,1,10000)+10；cdfplot(Randnum)；pauseRan

4、dnum=unidrnd(500,1,10000)+500；cdfplot(Randnum)cdfplot(x)解解:由密度函數(shù)知由密度函數(shù)知 例例2設(shè)總體設(shè)總體X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為為未知參數(shù)其它 , 0,1)()(xexfXx其中其中 0, 生成生成 1行行10000列的隨機(jī)數(shù)列的隨機(jī)數(shù). X具有均值為具有均值為 的指數(shù)分布的指數(shù)分布 Randnum=exprnd(2,1,10000)+55, 2并畫經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)曲線。并畫經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)曲線。cdfplot(Randnum)二、其他各種分布的隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生二、其他各種分布的隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生 基本方法有如下三種： 逆變換法 合成法 篩選法 逆變換

5、法逆變換法 設(shè)隨機(jī)變量 的分布函數(shù)為 ，定義 定理定理 設(shè)隨機(jī)變量 服從 上的均勻分布，則 的分布函數(shù)為 。 因此，要產(chǎn)生來自 的隨機(jī)數(shù)，只要先產(chǎn)生來自 的隨機(jī)數(shù)，然后計(jì)算 即可。 其步驟為 X xF 10 ,:inf1yyxFxyFU) 1 , 0( UFX1 xF xF1 , 0U uF1 uFxuU11 , 0計(jì)算，抽取由的隨機(jī)數(shù)生成,min21nXXXY00, 01);(xxexfx0為常數(shù)例例3 設(shè)密度函數(shù)為并畫經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)曲線。并畫經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)曲線。0, 00,1)(0, 00,1)(yyeyFxxexFnyYxX，的隨機(jī)數(shù)生成,min21nXXXY例例4 設(shè)X分布函數(shù)為F(X)1

6、 (1 (,)(11)(11nXYnXYUFRandyFyF，0, 001,)(xxxxFXnnXYnYUUFRandyyF111)1 (1)1 (1 (11)(生成生成n=20的的1行行10000列隨機(jī)數(shù)，并畫經(jīng)驗(yàn)分布列隨機(jī)數(shù)，并畫經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)曲線。函數(shù)曲線。n=20Randnum=1-(1-unifrnd(0,1,1,10000).(1/n);cdfplot(Randnum)的隨機(jī)數(shù)生成X1n為常數(shù)例例5 設(shè)密度函數(shù)為并畫經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)曲線。并畫經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)曲線。1,.,00, 0,)(1nixxxxcxfiiiX，其它合成法合成法 合成法的應(yīng)用最早見于Butlter 的書中。 構(gòu)思如下：

7、如果 的密度函數(shù) 難于抽樣，而 關(guān)于 的條件密度函數(shù) 以及 的密度函數(shù) 均易于抽樣，則 的隨機(jī)數(shù)可如下產(chǎn)生： 可以證明由此得到 的服從 。X xpXYyxpY ygX xyxpyygY抽取由條件分布，抽取的分布由X xp篩選抽樣篩選抽樣 假設(shè)我們要從 抽樣，如果可以將 表示成 ，其中 是一個(gè)密度函數(shù)且易于抽樣，而 ， 是常數(shù)，則 的抽樣可如下進(jìn)行： 定理定理 設(shè) 的密度函數(shù) ，且 ，其中 ， ， 是一個(gè)密度函數(shù)。令 和 分別服從 和 ，則在 的條件 下， 的條件密度為 xp xgxhcxp xph 10 xg1cX 。，回到如果，停止，則如果，抽取，由抽取由1321 , 01yguyxyguy

8、yhuUX xp xgxhcxph 10 xg1cUY1 , 0U yh YgU xpYgUxpYY三、生成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)三、生成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù) 的隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生方法很多。簡要介紹三種。 法法1、 變換法（Box 和Muller 1958） 設(shè) ， 是獨(dú)立同分布的 變量，令 則 與 獨(dú)立，均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 法法2、 結(jié)合合成法與篩選法。（略） 法法3 3、 近似方法（利用中心極限定理） 即用 個(gè) 變量產(chǎn)生一個(gè) 變量。 其中 是抽自 的隨機(jī)數(shù)， 可近似為一 個(gè) 變量。1 , 0N1U2U1 , 0U2122112sinln22cosln22121UUXUUX1X2Xn1 , 0U1

9、, 0N2112unxiu1 , 0Uniiunu111 , 0N例例6生成單位圓上均勻分布的生成單位圓上均勻分布的1行行10000列隨機(jī)數(shù)，列隨機(jī)數(shù)，并畫經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)曲線。并畫經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)曲線。Randnum=unifrnd(0,2*pi,1,10000);xRandnum=cos(Randnum)Y,II =sort(xRandnum)yRandnum=sin(Randnum)plot(xRandnum(II),yRandnum(II),.)例例7 生成單位正方形上均勻分布的生成單位正方形上均勻分布的1行行10000列隨列隨機(jī)數(shù)，并畫散點(diǎn)圖。機(jī)數(shù)，并畫散點(diǎn)圖。mm=10000;Randnu

10、m=unifrnd(0,4,1,mm);xRandnum=zeros(1,mm);yRandnum=zeros(1,mm);for ii=1:mm if Randnum(1,ii)=1 xRandnum(1,ii)=0; yRandnum(1,ii)=Randnum(1,ii); else if Randnum(1,ii)=2 xRandnum(1,ii)=Randnum(1,ii)-1; yRandnum(1,ii)=1; else if Randnum(1,ii)=3 xRandnum(1,ii)=1; yRandnum(1,ii)=1-(Randnum(1,ii)-2); else xR

11、andnum(1,ii)=1-(Randnum(1,ii)-3); yRandnum(1,ii)=0; end end end end Y,JJ =sort(xRandnum);plot(xRandnum(JJ),yRandnum(JJ),.)離散型隨機(jī)變量的生成離散型隨機(jī)變量的生成離散型隨機(jī)變量X,它的取值是非光滑連續(xù)的值，它只能間斷地即離散地取值x1,x2,x3，xn，且規(guī)定x1x2x3xn。其概率密度函數(shù)為 p(xi)=pX= xi概率分布函數(shù)為xixiixpxXpXF)()(例例1010 對某車間每天需求某種零件的數(shù)量歷史數(shù)據(jù)中統(tǒng)計(jì)獲得表1的結(jié)果。生成1行1000列零件需求的隨機(jī)數(shù)。并

12、畫經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)曲線。并畫經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)曲線。 表1 某零件每天需求量 X需求量x(件)概率P(x)累積概率F(x)可分配的隨機(jī)數(shù)范圍X1=10 0.10 F(X1)=0.10（ .00 - .10X2=20 0.20 F(X2)=0.30（ .10 - .30X3=30 0.40 F(X3)=0.70（ .30 - .70X4=40 0.25 F(X4)=0.95 （ .70 - .95X5=50 0.05 F(X5)=1.00（ .95 1)隨機(jī)變量生成的算法為產(chǎn)生一個(gè)u(0，1)，并令i=0；令i=i+1；若uF(xi)，轉(zhuǎn)回到第步，否則轉(zhuǎn)至；輸出得 Xxi。mm=10000;Randnum

13、=unifrnd(0,1,1,mm);xRandnum=zeros(1,mm);for ii=1:mm if Randnum(1,ii)=0.1 xRandnum(1,ii)=10; else if Randnum(1,ii)=0.3 xRandnum(1,ii)=20; else if Randnum(1,ii)=0.7 xRandnum(1,ii)=30; else if Randnum(1,ii)=0.95 xRandnum(1,ii)=40; else xRandnum(1,ii)=50; end end end end end cdfplot(xRandnum) 三角分布(a,m,b

14、)的隨機(jī)變量其密度函數(shù)為 bx 1 a)-a)(b-a)/(m-2(x 0)(時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)或當(dāng)mmxabxxaxf bx 1bx )(/()(1 a)-a)(b-/(ma)-(x 0)(22時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)mabmbxbmxaaxxF其分布函數(shù)為 在用Monte Carlo等方法解應(yīng)用問題時(shí),隨機(jī)向量的抽樣也是經(jīng)常用到的. 若隨機(jī)向量各分量相互獨(dú)立,則它等價(jià)于多個(gè)一元隨機(jī)變量的抽樣。隨機(jī)向量的抽樣方法例例8生成單位正方形內(nèi)均勻分布的生成單位正方形內(nèi)均勻分布的1行行10000列隨機(jī)列隨機(jī)數(shù)，并畫散點(diǎn)圖。數(shù)，并畫散點(diǎn)圖。mm=10000 xRandnum=unifrnd(0,1,1,mm);yRan

15、dnum=unifrnd(0,1,1,mm);plot(xRandnum,yRandnum,.)mm=100000 xRandnum=unifrnd(0,1,1,mm);yRandnum=unifrnd(0,1,1,mm);Y,JJ =sort(xRandnum)plot(xRandnum(JJ),yRandnum(JJ),.)例例9 生成單位圓內(nèi)均勻分布的生成單位圓內(nèi)均勻分布的1行行10000列隨機(jī)數(shù)，列隨機(jī)數(shù)，并并畫散點(diǎn)圖。畫散點(diǎn)圖。mm=10000；Randnum1=unifrnd(-1,1,1,2*mm);Randnum2=unifrnd(-1,1,1,2*mm);xRandnum=z

16、eros(1,mm);yRandnum=zeros(1,mm);s=Randnum1.2+Randnum2.2；ii=1;jj=1;while iimm if s(1,jj)=1; xRandnum(1,ii)=Randnum1(1,jj); yRandnum(1,ii)=Randnum2(1,jj); ii=ii+1; end jj=jj+1;endplot(xRandnum,yRandnum,.)關(guān)于隨機(jī)數(shù)的幾點(diǎn)注關(guān)于隨機(jī)數(shù)的幾點(diǎn)注 注注1 1 由于均勻分布的隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生總是采用某個(gè)確定的模型進(jìn)行的，從理論上講，總會(huì)有周期現(xiàn)象出現(xiàn)的。初值確定后，所有隨機(jī)數(shù)也隨之確定，并不滿足真正隨機(jī)數(shù)的要

17、求。因此通常把由數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)成為偽隨機(jī)數(shù)。 注注2 2 應(yīng)對所產(chǎn)生的偽隨機(jī)數(shù)作各種統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，如獨(dú)立性檢驗(yàn)，分布檢驗(yàn)，功率譜檢驗(yàn)等等。 但其周期又相當(dāng)長，在實(shí)際應(yīng)用中幾乎不可能出現(xiàn)。因此，這種由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的偽隨機(jī)數(shù)可以當(dāng)作真正的隨機(jī)數(shù)來處理。2.設(shè)設(shè)密度函數(shù)為密度函數(shù)為1.1.生成單位球內(nèi)均勻分布的生成單位球內(nèi)均勻分布的1 1行行1000010000列隨機(jī)數(shù)，列隨機(jī)數(shù)，并畫散點(diǎn)圖。并畫散點(diǎn)圖。作業(yè)作業(yè):00, 01);(xxexfx0為常數(shù)的隨機(jī)數(shù)生成,max21nXXXY并畫經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)曲線。并畫經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)曲線。3.3.生成三角分布生成三角分布(0,1,2)(0,1,2)的的1 1行

18、行1000010000列隨機(jī)數(shù)，并列隨機(jī)數(shù)，并畫散點(diǎn)圖。畫散點(diǎn)圖。作業(yè)作業(yè):并畫經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)曲線。并畫經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)曲線。 5.2隨機(jī)數(shù)與隨機(jī)變量的生成隨機(jī)數(shù)與隨機(jī)變量的生成 5.2.1隨機(jī)數(shù)的生成隨機(jī)數(shù)的生成 在系統(tǒng)模擬中只要有隨機(jī)變量，則在模擬運(yùn)行的每一步中都要對隨機(jī)變量確定一個(gè)具體的值。我們將會(huì)遇到各種概率分布的隨機(jī)變量，但其中最簡單或最基本的隨機(jī)變量是在(0， 1)區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)變量。服從某一分布的隨機(jī)變量都可以通過對(0， 1)均勻分布的隨機(jī)變量進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)換而得到。(0， 1)均勻分布的隨機(jī)變量的取值也是在(0，1)區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)數(shù)ui序列(流)的獨(dú)立采樣，其密度函數(shù)是(5

19、.1) 010 1)(其它時(shí)當(dāng)xxf(5.2) 1 x 1 10 )(0)(時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)xxdxxfxxFui的數(shù)學(xué)期望和方差分別為(5.3) 21022)(0)(2xdxxfxuE(5.4) 121)()(0)(2xEdxxfxxV 因此，若能獲得(0，1)均勻分布的隨機(jī)數(shù)，也就能通過對其適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換而獲得某一規(guī)定分布的隨機(jī)變量的取值，這就是隨機(jī)變量的生成。為此，首先要掌握(0，1)區(qū)間上均勻分布隨機(jī)數(shù)的生成方法。 均勻分布隨機(jī)數(shù)必須具備均勻性和獨(dú)立性的要求；要生成符合上述要求的隨機(jī)數(shù)流，現(xiàn)在多用數(shù)學(xué)算法來產(chǎn)生，一般是采用遞推算法，確定一個(gè)初始值(種子數(shù))以后，逐次遞推算得隨機(jī)數(shù)流。數(shù)學(xué)算法獲得的

20、隨機(jī)數(shù)、常稱之為偽隨機(jī)數(shù)(Pseudo Random Number)序列。 數(shù)學(xué)方法計(jì)算產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)流必須滿足下列要求： (1)盡可能在(0，1)區(qū)間均勻分布； (2)具有統(tǒng)計(jì)上的獨(dú)立性； (3)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)流能夠重復(fù)出現(xiàn)，即給以相同的初值(種子數(shù))能獲得相同的隨機(jī)數(shù)流； (4)有足夠長的周期，即在出現(xiàn)周期性重復(fù)之前，能生成足夠多個(gè)的隨機(jī)數(shù)； (5)算法占用計(jì)算機(jī)內(nèi)存較少而計(jì)算生成速度較快。 目前廣泛應(yīng)用的算法是線性同余法( Linear congruential Method)，其中又分為： 1混合線性同余法。它是由Lehmer于1951年提出的，其算式為xi+1=(axi+c) mod m

21、 ui+1=xi+1/m式中 a乘數(shù)(常數(shù))； C增量(常數(shù))； x0種子數(shù)； m模數(shù)。 a,c,m和x0的選取對隨機(jī)數(shù)流的統(tǒng)計(jì)特性和周期長度有極大影響。 上述第一式的含義是(5.6) m )(1mcaxcaxxiii式中表示取整數(shù)， a，c，m皆為整常數(shù)。 2、 乘法線性同余法。若混合線性同余法中c=0，則為乘法線性同余法，其算式為 x i+1=ax imod m u i+1=xi+1/m (5.7)可參考選用的數(shù)據(jù)有：（1） a=16807, m=2147483647, x0=123457;（2） a=655393, m=33554432。 5.2.2隨機(jī)數(shù)流的檢驗(yàn)隨機(jī)數(shù)流的檢驗(yàn) 一、均勻

22、分布性檢驗(yàn)一、均勻分布性檢驗(yàn) 1參數(shù)檢驗(yàn)。檢驗(yàn)ui的數(shù)字特征，如均值、方差的估計(jì)值和其理論值的差異是否顯著。 設(shè)有u1, u2,，un隨機(jī)數(shù)流，則它們的 (5.8) 1 1niiunu均值(5.9) )(11 22uuni方差若 ui序列在(0，1)上均勻分布，可假設(shè)：u的期望和方差分別為 (5.10) 121)( 21)(nuVuE2的期望和方差分別為則上列假設(shè)(810)與(811)應(yīng)該成立。據(jù)此，可對n個(gè)ui計(jì)算下列統(tǒng)計(jì)量若取顯著性水平a=005， (5.11) 1801) ( 121)(22nVE(5.12) )21(12)()(1unuVuEuV(5.13) )21 (180) ()

23、( 22222nVEV 當(dāng)|V1|196時(shí)。則可認(rèn)為假設(shè)(810)式成立； 當(dāng)|V2|196時(shí)，則可認(rèn)為假設(shè)(811)式成立。因而可以接受此假設(shè)，檢驗(yàn)通過;否則拒絕接受。 2均勻性檢驗(yàn)。它是檢驗(yàn)所生成的隨機(jī)數(shù)落在(0， 1)各子區(qū)間的頻率的均勻程度，是否與理論上的均勻分布頻率有顯著性差異。此處介紹常用方法之一，x2檢驗(yàn)方法如下： 將(0，1)區(qū)間劃分為相等的k個(gè)子區(qū)間，假如落在第i個(gè)( il，2，3，k)子區(qū)間的隨機(jī)數(shù)有ni個(gè)；而在理論上第i個(gè)子區(qū)間的隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)為mi = Nk，其中 N為隨機(jī)數(shù)流總個(gè)數(shù)(擬檢驗(yàn)的)。由此，可計(jì)算 x2統(tǒng)計(jì)量(5.14) )()(21122KiiKiiiiKNn

24、NKmmnx再按k-1為自由度、顯著性水平取005，查得2(a)表值。當(dāng)算得統(tǒng)計(jì)量x22(a)時(shí)，可認(rèn)為在顯著性水平a下能接受為均勻分布假設(shè)。 二、獨(dú)立性檢驗(yàn)二、獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)是檢驗(yàn)隨機(jī)數(shù)流中前后各數(shù)之間是否存在相關(guān)性。常用的方法是進(jìn)行自相關(guān)檢驗(yàn)。此外，還有Poker Test和Run檢驗(yàn)，一般應(yīng)用較少。 5.2.3隨機(jī)變量的生成隨機(jī)變量的生成 一、離散型隨機(jī)變量的生成一、離散型隨機(jī)變量的生成離散型隨機(jī)變量 X,它的取值是非光滑連續(xù)的值，它只能間斷地即離散地取值x1,x2,x3，xn，且規(guī)定x1x2x30.0025 1 0.172 0.076 P0.0025 2 0.423 0.032 P0.0025 3 0.819 0.026 P0.0025 4 0.255 0.0066 P0.0025 5 0.749 0.0049 P0.0025 6 0.225 0.0011 P0.0025,置 X=6 3近似計(jì)算法近似計(jì)算法。