1、幾何變換中的半角旋轉問題例題：已知：ABC是等腰直角三角形，ACB90°，M，N為斜邊AB上兩點，如果MCN45°求證: AM2BN2MN2 變式1：由此問題可以產生如下問題ABC是等腰直角三角形，ACB90°， M，N為斜邊AB上兩點，滿足AM2BN2MN2求MCN的度數是上面例2的逆問題，建議利用圖形的旋轉變式2：正方形ABCD中，邊長為4，點E在射線BC上，且CE=2,射線AM交射線BD于N點，且EAN=45°，則BN的長為 3 2 或52 或2 。方法1：圖1：正方形的邊長為4，BD=42，AE=25 , 由AODBOE，相似比為2：1， 則BO

2、=423，設ON=x , DN=823 x，由旋轉得：OB2+DN2=ON2, x= 圖2圖3方法同上方法2：用旋轉相似來解變式3： 如圖1，在同一平面內，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，BAC=AGF=90°,它們的斜邊長為2，若ABC固定不動，AFG繞點A旋轉，AF,AG與邊BC的交點分別為D、E(點D不與點B重合，點E不與點C重合)，設BE=m ,CD=n.(1) 求m與n的函數關系式，直接寫出自變量n的取值范圍；(2) 以ABC的斜邊BC所在直線為x軸，BC邊上的高所在直線為y軸，建立平面直角坐標系（如圖2）。在邊BC上找一點D，使BD=CE

3、，求出D點的坐標，并通過計算驗證BD2+CE2=DE2 ; (3) 在旋轉過程中，（2）中的等量關系BD2+CE2=DE2是否始終成立，若成立，請證明，若不成立，請說明理由。學生卷例題：已知：ABC是等腰直角三角形，ACB90°，M，N為斜邊AB上兩點，如果MCN45°求證: AM2BN2MN2 變式1： 已知：ABC是等腰直角三角形，ACB90°， M，N為斜邊AB上兩點，滿足AM2BN2MN2求MCN的度數變式2：已知：正方形ABCD中，邊長為4，點E在射線BC上，且CE=2,射線AM交射線BD于N點，且EAN=45°，則BN的長為 變式3： 如圖1

4、，在同一平面內，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，BAC=AGF=90°,它們的斜邊長為2，若ABC固定不動，AFG繞點A旋轉，AF,AG與邊BC的交點分別為D、E(點D不與點B重合，點E不與點C重合)，設BE=m ,CD=n.(4) 求m與n的函數關系式，直接寫出自變量n的取值范圍；(5) 以ABC的斜邊BC所在直線為x軸，BC邊上的高所在直線為y軸，建立平面直角坐標系（如圖2）。在邊BC上找一點D，使BD=CE，求出D點的坐標，并通過計算驗證BD2+CE2=DE2 ; (6) 在旋轉過程中，（2）中的等量關系BD2+CE2=DE2是否始終成立，若成

5、立，請證明，若不成立，請說明理由。1 如圖正方形ABCD中，以A為頂點做PAQ=45°，AP，AQ分別交直線BC，CD于E，F。（1） 求證：CEF的面積=正方形ABCD的面積（或者問AC，CE，CF三者的數量關系）（2） 把PAQ繞點A旋轉到如圖所示的位置時，設此時AQ的反向延長線交直線CD于F，（1）中的結論是否還成立，如果成立，請證明你的結論，如果不成立，試說明理由。（3） 在（2）的條件下，若設AQ交直線BC于G，若BG=3，BE=2，求EF的長。（提示在2頁）2 已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一個銳角頂角與A點重合，將此三角板繞A點旋轉時，兩邊分別交直線BC，CD于M，N（1） 當M，N分別在邊BC，CD上時，如圖1，求證：BM+DN=MN（2） 當M，N分別在邊BC，CD所在的直線上