1、整式及整式的加減要點梳理及經典例題一、整式的有關概念1. 單項式(1) 概念：注意：單項式中數與字母或字母與字母之間是乘積關系，例如：-可以看2 1x2x成丄X，所以-是單項式；而-表示2與X的商，所以-不是單項式，凡是分母中含有字22x2母的就一定不是單項式11(2) 系數：單項式中的數字因數叫做這個單項式的系數.例如：一丄x2y的系數是-丄；222二r的系數是2二.注意：單項式的系數包括其前面的符號；當一個單項式的系數是1或-1時，“ 1 ”通常省略不寫，但符號不能省略 .女口： -xy,a2b3c等；二是數字，不是字母.(3) 次數：一個單項式中，所有字母指數的和叫做這個單項式的次數注意

2、：計算單項式的次數時，不要漏掉字母的指數為1的情況.如2xy3z2的次數為52321 3 6，而不是5；切勿加上系數上的指數， 如2 xy的次數是3,而不是8； -2二x y 的次數是5,而不是6.2. 多項式(1) 概念：幾個單項式的和叫做多項式.其含義是：必須由單項式組成；體現和 的運算法則.(2) 項：在多項式中，每一個單項式叫做多項式的項，其中不含字母的項叫常數項；一個 多項式含有幾 個單項式 就叫幾項式.例如：2x2 - 3y - 1共含有有三項，分 別是2x2, -3y, -1，所以2x2 -3y -1是一個三項式.注意：多項式的項包括它前面的符號，如上例中常數項是-1，而不是1.

3、(3 )次數：多項式中，次數最高項的次數，就是這個多項式的次數注意：要防止把多項式的次數與單項式的次數相混淆，而誤認為多項式的次數是各項次數之和.例如：多項式2x2y2 -3x4y 5xy2中，2x2y2的次數是4, -3x4y的次數是5, 5xy2 的次數是3,故此多項式的次數是 5,而不是4 5 3 =12 .3. 整式：單項式和多項式統稱做整式4降幕排列與升幕排列(1)降幕排列：把一個多項式按某一個字母的指數從大到小的順序排列起來叫做把這個多項式按這個字母的降冪排列 .(2)把一個多項式按某一個字母的指數從小到大的順序排列起來叫做把這個多項式按 這個字母的升幕排列.注意：降(升)幕排列的

4、根據是：加法的交換律和結合律； 把一個多項式按降 (升)幕重新排列，移動多項式的項時，需連同項的符號一起移動；在進行多項式的排列時，要244233先確定按哪個字母的指數來排列 .例如：多項式xy - x - y -3x y - 2x y按x的升幕排 列為：一y4 xy2 _3x2y3 _2x3y - x4 ;按 y 的降幕排列為：-y4 - 3x2y3 xy2 - 2x3y - x4 二、整式的加減1 同類項：所含的字母相同，并且相同字母的指數也分別相同的項叫做同類項注意：同類項與其系數及字母的排列順序無關例如：2a2b3與_3b3a2是同類項；而2a2b3與5a3b2卻不是同類項，因為相同的

5、字母的指數不同2 合并同類項(1) 概念：把多項式中相同的項合并成一項叫做合并同類項注意：合并同類項時，只能把同類項合并成一項，不是同類項的不能合并，女口 2a 3b =5ab顯然不正確；不能合并的項，在每步運算中不要漏掉(2) 法則：合并同類項就是把同類項的系數相加，所得的結果作為系數，字母和字母 的指數保持不變注意：合并同類項，只是系數上的變化，字母與字母的指數不變，不能將字母的指數 相加；合并同類項的依據是加法交換律、結合律及乘法分配律； 兩個同類項合并后的結果與原來的兩個單項式仍是同類項或者是0.3 去括號與填括號(1) 去括號法則：括號前面是“ + ”，把括號和它前面的“ + ”去掉

6、，括號內的各項都不變號；括號前面是“ 把括號和它前面的“”去掉，括號內的各項都改變符號注意：去括號的依據是乘法分配律，當括號前面有數字因數時， 應先利用分配律計算，切勿漏乘；明確法則中的“都”字，變符號時，各項都變；若不變符號，各項都不變例如：a b-c =a，b-c;a-b-c = a -b c ；當出現多層括號時，一般由里向外逐層去括號，如遇特殊情況，為了簡便運算也可由外向內逐層去括號(2) 填括號法則：所添括號前面是“+”號，添到括號內的各項都不變號；所添括號 前面是“-”號，添到括號內的各項都改變符號注意：添括號是添上括號和括號前面的“+”或“-”，它不是原來多項式的某一項 的符號“移

7、”出來的；添括號和去括號的過程正好相反，添括號是否正確，可用去括號來檢驗例如：a，b-c=a，b-c;a-b，c = a -c 4. 整式的加減整式的加減實質上是去括號和合并同類項，其一般步驟是：(1)如果有括號，那么先去括號；( 2)如果有同類項，再合并同類項 注意：整式運算的結果仍是整式 經典例題透析類型一：用字母表示數量關系a1 填空題：(1) 香蕉每千克售價3元，m千克售價元。(2) 溫度由5C上升tC后是C。(3) 每臺電腦售價x元，降價10%后每臺售價為 元。(4) 某人完成一項工程需要 a天，此人的工作效率為 。思路點撥：用字母表示數量關系，關鍵是理解題意，抓住關鍵詞句，再用適當

8、的式子表達出來。.元的圖書240冊，若每冊圖書的郵費為書舉一反三：變式某校學生給“希望小學”郵寄每冊價的5%,則共需郵費元。類型二：整式的概念2 指出下列各式中哪些是整式，哪些不是。3(1)lx + 1 ; (2)a= 2; (3) n ; (4)S = n R2;總結升華：判斷是不是整式，關鍵是了解整式的概念，注意整式與等式、不等式的區別， 等式含有等號，不等式含有不等號，而整式不能含有這些符號。舉一反三：變式把下列式子按單項式、多項式、整式進行歸類。2_£5x2y,2ab, x + y25 ,2, 29, 2ax + 9b 5,600xz,2axy,xyz1 , .】。分析：本題

9、的實質就是識別單項式、多項式和整式。單項式中數和字母、字母和字母之間必須是相乘 的關系，多項式必須是幾個單項式的和的形式。5答案：單項式有：x2y, ,29,600xz, - axy2多項式有：-a b , x+ y2 5,2ax+ 9b 5 , xyz 115整式有：x2y , 1 a b , x+ y2 5 , - , 29 , 2ax + 9b 5,600xz , 1 axy , xyz類型三：同類項03若'與宀是同類項，那么a,b的值分別是()(A) a=2, b= 1。(B) a=2, b=1。長沙家教網www.cs-(C) a= 2, b= 1。( D) a= 2, b=1

10、。思路點撥：解決此類問題的關鍵是明確同類項定義，即字母相同且相同字母的指數相同,要注意同類項與系數的大小沒有關系。解析：由同類項的定義可得：a仁b,且2a+b=3，解得 a=2, b= 1, 故選A。舉一反三：變式在下面的語句中，正確的有()2 1rn2一§ a2b3與a3b2是同類項；x2yz與zx2y是同類項;是同類項；字母相同的項是同類項。A、1個B、2個C、3個D、4個2 1解析：中一:a2b3與1 a3b2所含的字母都是1一1與一a, b，但a的次數分別是 2,3, b的次數分別是3,2,所以它們不是同類項；中所含字母相同，并且相同字母的指數也相同，所以CiYI 2丿x2y

11、z與zx2y是同類項；不含字母的項(常數項)都是同類項，正確，根據可知 不正確。故選B。類型四：整式的加減4 .化簡m n( m+n)的結果是()(A) 0。( B) 2m。(C) 2n。( D) 2m 2n。思路點撥：按去括號的法則進行計算，括號前面是“-”號，把括號和它前面的“-” 號去掉，括號里各項都改變符號。解析： 原式=m n m n= 2n,故選(C)。舉一反三：變式計算：2xy+3xy=。分析：按合并同類項的法則進行計算，把系數相加所得的結果作為系數，字母和字母的指數不變。注意不要出現 5x2y2的錯誤。答案：5xy。ei i5. (化簡代入求值法)已知x = ： , y= _，

12、求代數式(5x2y 2xy2 3xy) (2xy22+ 5x y 2xy )思路點撥：此題直接把x、y的值代入比較麻煩，應先化簡再代入求值。” r I ”、 r2222解析：原式=5x y 2xy 3xy 2xy 5x y+ 2xy = 5xy11LlLLiVl當x = §,y=亍時，原式=5xl fj丿I ?丿 3總結升華：求代數式的值的第一步是“代入”，即用數值替代整式里的字母；第二步是“求值”，即按照整式中指明的運算，計算出結果。應注意的問題是：當整式中有同類項時， 應先合并同類項化簡原式，再代入求值。舉一反三：1變式1當x= 0, x = 1 , x = -2時，分別求代數式

13、的 2x2x + 1的值。解：當 x= 0 時，2x2 x+ 1 = 2X 02 0 + 1= 1；-卩丫丄+1=2丄一丄+Ul當 x =2 時，2x2 x + 1 = 2X 匕丿 242；當 x = -2 時，2x2 x + 1 = 2X( -2) 2( -2)+ 1 = 2 X 4+2 + 1 = 11。總結升華：一個整式的值，是由整式中的字母所取的值確定的，字母取值不同，一般整式的值也不同；當整式中沒有同類項時，直接代入計算，原式中的系數、指數及運算符號都不改變。但應注意，當字母的取值是分數或負數時，代入時，應將分數或負數添上括號。變式2先化簡，再求值。3(2x2y 3xy2) (xy

14、2 3x2y)，其中 x=,y= 1。解:3(2x2y 3xy2) (xy 2 3x2y)= (6x2y 9xy2) xy2 + 3x2y222222l 丫 I9 X 乜)X ( 1) 10 X 2 X ( 1)2 =6x y 9xy xy + 3x y = 9x y 10xy。1當 x = 1 , y = 1 時，原式=總結升華：解題的基本規律是先把原式化簡為9x2y 10xy2,再代入求值，化簡降低了運算難度，使計算更加簡便，體現了化繁為簡，化難為易的轉化思想。變式3求下列各式的值。(1)(2x2 x 1)，其中x =1(2)2mn + ( 3m) 3(2n mn),其中 m + n =

15、2, mn= 3。r 2hX-+3?-解析：(1) (2x2 x 1)1為I y 1=2x2x 1 x2 + x+ _ + 3x2 3_ = 4x2 4當x=(2) 2m n + ( 3m) 3(2n mn)=2mn 6m 6n+ 3mn=5mn 6(m + n)當 m + n= 2, mn = 3 時原式=5 x ( 3) 6 x 2 = 27o類型五：整體思想的應用6. 已知x2 + x + 3的值為7,求2x2 + 2x 3的值。思路點撥：該題解答的技巧在于先求x2+x的值，再整體代入求解，體現了數學中的整體思想。解析：由題意得x2 + x + 3= 7,所以x2 + x= 4，所以2(

16、x2+ x) = 8,即2x2+ 2x = 8,所以2x2 + 2x 3 = 8 3= 5o總結升華：整體思想就是在考慮問題時，不著眼于它的局部特征，而是將具有共同特征的某一項或某一類看成一個整體的數學思想方法。運用這種方法應從宏觀上進行分析，抓住問題的整體結構和本質特征，全面關注條件和結論，加以研究、解決，使問題簡單化。在中 考中該思想方法比較常見，尤其在化簡題中經常用到。舉一反三：變式1已知x2 + x 1 = 0，求代數式x3 + 2x2 7的值。分析：此題由已知條件無法求出x的值，故考慮整體代入。解析：T x2+ x 1 = 0,. x2= 1 x, x3+ 2x2 7 = x(1 x

17、) + 2(1 x) 7 = x x2 + 2 2x 72 2=-x -x-5 =( -x -x+1) -6 = 6 o變式2當x= 1時，代數式px3+ qx + 1的值為2003，則當x= 1時，代數式px3 + qx+ 1的值為()A、一 2001B、一 2002C、一 2003D、2001分析：這是一道求值的選擇題，顯然p, q的值都不知道，仔細觀察題目，不難發現所求的值與已知值之間的關系。解析：當 x = 1 時，px3 + qx + 1 = p+ q+ 1 = 2003，而當 x = 1 時，px3 + qx + 1 = p q+ 1，可以把 p + q 看做一個整體，由 p +

18、q + 1 = 2003 得 p+ q= 2002，于是p q= (p + q)= 2002，所以原式=2002 + 1 = 2001。故選 A。變式3已知A = 3x3 2x + 1, B = 3x2 2x+ 1, C= 2x2+ 1，則下列代數式中化簡結果為 3x3 7x2 2 的是()A、A + B + 2CB、A + B 2CC、A B 2CD、A B + 2C分析：將A, B, C的式子分別代入 A , B , C, D四個選項中檢驗，如： A B 2C = 3x3 2x + 1 (3x2 2x+ 1) 2(2x2+ 1) = 3x3 2x+ 1 3x2 + 2x 1 4x2 2 =

19、 3x3 7x2 2。故 選C。答案：C變式4化簡求值。(1) 3(a + b c)+ 8(a b c) 7(a+ b c) 4(a b c)，其中 b= 2(2) 已知 a b = 2, 求 2(a b) a+ b+ 9 的值。分析：(1)常規解法是先去括號，然后再合并同類項，但此題可將a+ b c, a b c分別視為一個“整體”，這樣化簡較為簡便；(2)若想先求出a, b的值，再代入求值，顯然行不通，應視a b為一個“整體”。解析：原式=3(a+ b c) 7(a+ b c) + 8(a b c) 4(a b c)=4(a+ b c) + 4(a b c)=4a 4b+ 4c+ 4a4b

20、 4c= 8b。 因為b = 2,所以原式=一 8X 2 = 16。(2)原式=2(a b) (a b) + 9 =(a b) + 9因為a b = 2,所以原式=2 + 9= 11。類型六：綜合應用7 .已知多項式 3(ax?+ 2x 1) (9x?+ 6x 7)的值與 x 無關，試求 5a? 2(a? 3a + 4)的值。思路點撥：要使某個單項式在整個式子中不起作用，一般是使此單項式的系數為0即可.解析：3(ax2+ 2x 1) (9x2 + 6x 7) = 3ax2 + 6x 3 9x2 6x + 7= (3a 9)x2 + 4。因為原式的值與 x無關，故3a 9 = 0，所以a= 3。 又因為 5a2 2(a2 3a+ 4) = 5a2 2a2 + 6a 8= 3a2 + 6a 8,