1、一、數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法數(shù)據(jù)包絡(luò)分析是一種基于線性規(guī)劃的用于評價同類型組織（或項目）工作績效相對有效性的特殊工具手段。這類組織例如學校、醫(yī)院、銀行的分支機構(gòu)、超市的各個營業(yè)部等，各 自具有相同（或相近）的投入和相同的產(chǎn)出。衡量這類組織之間的績效高低，通常采用投入產(chǎn)出比這個指標，當各自的投入產(chǎn)出均可折算成同一單位計量時，容易計算出各自的投入產(chǎn)出比并按其大小進行績效排序。但當被衡量的同類型組織有多項投入和多項產(chǎn)出，且不能折算成統(tǒng)一單位時，就無法算出投入產(chǎn)出比的數(shù)值。例如，大部分機構(gòu)的運營單位有多種投入要素，如員工規(guī)模、工資數(shù)目、運作時間和廣告投入，同時也有多種產(chǎn)出要素，如利潤、市 場份額和成長率。在這些

2、情況下，很難讓經(jīng)理或董事會知道，當輸入量轉(zhuǎn)換為輸出量時，哪個運營單位效率高，哪個單位效率低。1.1數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法的主要思想一個經(jīng)濟系統(tǒng)或者一個生產(chǎn)過程可以看成一個單元在一定可能范圍內(nèi)，通過投入一定數(shù)量的生產(chǎn)要素并產(chǎn)出一定數(shù)量的“產(chǎn)品”的活動。雖然這些活動的具體內(nèi)容各不相同，但其目的都是盡可能地使這一活動取得最大的“效益”。由于從“投入”到“產(chǎn)出”需要經(jīng)過一系列決策才能實現(xiàn)，或者說，由于“產(chǎn)出”是決策的結(jié)果，所以這樣的單元被稱為“決策單 元”（Decision Maki ng Units ，DMU ）。可以認為每個 DMU都代表一定的經(jīng)濟含義，它的基 本特點是具有一定的輸入和輸出，并且在將輸入轉(zhuǎn)

3、換成輸出的過程中，努力實現(xiàn)自身的決策目標。1.2數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法的基本模型 我們主要介紹 DEA中最基本的一個模型一一 C2R模型。m項投入（輸入）設(shè)有n個決策單元（j = 1 , 2,，n ）,每個決策單元有相同的輸入向量為x j = X 1 j, X 2 jT每個決策單元有相同的 s項產(chǎn)出（輸出），輸出向量為y 1j, y 2j,即每個決策單元有 m種類型的“輸入”及T,y .0, j =1,2,s種類型的“輸出”。Xij表示第j個決策單元對第i種類型輸入的投入量；y ij表示第j個決策單元對第i種類型輸出的產(chǎn)出量；為了將所有的投入和所有的產(chǎn)出進行綜合統(tǒng)一，即將這個生產(chǎn)過程看作是一個只有一個

4、投入量和一個產(chǎn)出量的簡單生產(chǎn)過程，我們需要對每一個輸入和輸出進行賦權(quán)，設(shè)輸入和輸出的權(quán)向量分別為：v = V.V2,，Vm T,U = U.U2,，Us 丁 。 Vj為第i類 型輸入的權(quán)重，Ur為第r類型輸出的權(quán)重。ms這時，則第j個決策單元投入的綜合值為瓦Vi Xij，產(chǎn)出的綜合值為 E uryrj，我i Tr T們定義每個決策單元 DMU j的效率評價指數(shù):sujrj m' ViXijI模型中Xij , y,j為已知數(shù)(可由歷史資料或預測數(shù)據(jù)得到)，于是問題實際上是確定一組最佳的權(quán)向量v和U,使第j個決策單元的效率值 h.最大。這個最大的效率評價值是該決j策單元相對于其他決策單元來

5、說不可能更高的相對效率評價值。我們限定所有的h.值j(j=1,2, ,n)不超過1,即max h.w 1。這意味著，若第 k個決策單兀h =1，則該決策單元相j k對于其他決策單元來說生產(chǎn)率最高，或者說這一系統(tǒng)是相對而言有效的；若hk<1，那么該決策單元相對于其他決策單元來說，生產(chǎn)率還有待于提高，或者說這一生產(chǎn)系統(tǒng)還不是有效的。根據(jù)上述分析，第j0個決策單元的相對效率優(yōu)化評價模型為:sUMomax h jo m為 ViXijoI 4s.tsuy-m?1,j =1,2,nI Vi XjI占V=(W,V2,Vm j >0Tu = U1,U2/ ,Us-0這是一個分式規(guī)劃模型，我們必須將

6、它化為線性規(guī)劃模型才能求解。為此令1t m卩T' rViXijoI =1二 tur ,Wj =tVj則模型轉(zhuǎn)化為:smaxhjo八.rYrjor =1* sm為卩Mj 一為WiXj蘭°，rmi 9mj = 1,2,，n寫成向量形式有S.tWiXij0 二1=1r, Wo,i=1,2,m； r=1,2,.,smaxhjo 二 jTYo= TYj - wTXj < 0IJJs.t wTX0 = 1j = 1,2,nw 一 0, 0線性規(guī)劃中一個十分重要，也十分有效的理論是對偶理論，通過建立對偶模型更易于從理論及經(jīng)濟意義上作深入分析，其對偶問題為：min j* nZ 丸jXj

7、j丄n航佯/ jyy。k j 狂 0, j =1,2，,n二無約束進一步引入松弛變量 s 和剩余變量s ，將上面的不等式約束化為等式約束：min vn送丸 jXj +s+=xj 二nst片/丫廠丁= y。扎 j x0, j =1,2，,nd無約束< -0,-0設(shè)上述問題的最優(yōu)解為 ， s "，二，則有如下結(jié)論與經(jīng)濟含義：（1） 若=1，且s* =0,5* 一=0,則決策單元DMU j0為DEA有效，即在原線性規(guī)劃 的解中存在w* >0,山>0，并且其最優(yōu)值h*° =1。此時，決策單元 DMU j°的生產(chǎn)活動同時 為技術(shù)有效和規(guī)模有效。（2） ，但

8、至少有某個輸入或者輸出松弛變量大于零。則此時原線性規(guī)劃的最優(yōu)值h* 1，稱DMU j0為弱DEA有效，它不是同時技術(shù)有效和規(guī)模有效。（3）若三-.1，決策單元DMU j0不是DEA有效。其生產(chǎn)活動既不是技術(shù)效率最佳，而 不是規(guī)模效率最佳。（4） 另外，我們可以用C2R模型中打的最優(yōu)值來判別 DMU的規(guī)模收益情況。若存在 人（j =1,2，n），使瓦珀=1成立，則DMU為規(guī)模效益不變；若不存在 ”（j =1 , 2； n,）,使送人=1成立，則若送坊£1,那么DMU j0為規(guī)模效益遞增；若不 存在* j -1,2/ ,n，使a ； =1成立，則若* 1,那么DMUj°為規(guī)模效

9、益遞減。技術(shù)有效：輸出相對輸入而言已達最大，即該決策單元位于生產(chǎn)函數(shù)的曲線上。規(guī)模有效：指投入量既不偏大， 也不過小，是介于規(guī)模收入收益由遞增到遞減之間的狀DMU1、DMU2、DMU3都處于技術(shù)有效狀態(tài)；DMU1不為規(guī)模有效，實際上它處于 規(guī)模收益遞增狀態(tài)；DMU3不為規(guī)模有效，實際上它處于規(guī)模收益遞減狀態(tài)；DMU2是規(guī)模有效的。如果用DEA模型來判斷DEA有效性，只有DMU2對應(yīng)的最優(yōu)值 90= 1。可見， 在C2R模型下的DEA有效，其經(jīng)濟含義 是：既為“技術(shù)有效”，也為“規(guī)模有效”。例題：下面是具有3個決策單元的單輸入數(shù)據(jù)和單輸出數(shù)據(jù) .相應(yīng)決策單元所對應(yīng)的點 以A,B,C表示,其中點A

10、、C在生產(chǎn)曲線上，點B在生產(chǎn)曲線下方。由3個決策單元所確定的 生產(chǎn)可能集T也在圖中標出來。對于決策點A,它是“技術(shù)有效”和“規(guī)模有效”，它所對應(yīng)的C2R模型為min 二2入+4扎2 +5嘉蘭2日s.t 2、23.5 3 -2-0其最優(yōu)解為：2 =(1,0,0)T,界=1對于決策點B,它不是“技術(shù)有效”，因為點B不在生產(chǎn)函數(shù)曲線上，也不是“規(guī)模有效” 這是因為它的投資規(guī)模太大 其對應(yīng)的C2R模型如下：2i 425' _4二s.t 2、亠；2 ' 3.5'3 _1'1, ' 2, ' 3 - °其最優(yōu)解為，° =(1/2,0,0)T,二° =1/4：由于0 <做B點不是DEA有效,由3° j j丄，知該部門的規(guī)模收益是遞增的4對于決策點C,因為點C是在生產(chǎn)函數(shù)曲線上，它是“技術(shù)有效”，但