1、函 數 的 零 點分 法 練 習 題 精 選一、填空題1設f (X)的圖象在區間(a , b)上不間斷，且f(a) f(b)<O,取Xo = ,若f(a) f(xo)<O ,則用二分法求相應方程的根時取有根區間為 答案：(a,a+ b2. 一塊電路板的AB線路之間有64個串聯的焊接點，如果電路不通的原因是因為焊口 脫落造成的，要想用二分法檢測出哪一處焊口脫落，至多需要檢測 .解析：由二分法可選AB中點C,然后判斷出焊口脫落點所在的線路為 AC還是BC然 后依次循環上述過程即可很快檢測出焊口脫落點的位置，至多需要檢測6次.答案：63. 根據表中的數據，可以判定方程 ex X-2= 0

2、的一個根所在的區間是 X10123X e0.3712.727.3920.09X+ 212345解析：設 f(x) = ex X-2,由圖表可知 f( 1)<0 , f(0)<0 , f(1)<0 , f( 2)>0 , f( 3)>0.所以 f(1) f(2)<0 ,所以根在(1,2) 內.答案：(1,2)4. 已知函數f (x)的圖象是不間斷的，X, f(x)的對應值如下表:X123456f(x)123.621.457.8211.5753.76126.49函數f (X)在區間(1,6)內的零點至少有 .解析：在區間(2,3) , (3,4) , (5,6)

3、內至少各有一個.答案：35. 設f(x) = 3x + 3x 8,由二分法求方程3x+ 3x 8= 0在(1,2)內近似解的過程中，得f(1)<0 , f(1.5)>0 , f(1.25)<0 ,則方程根所在的大致區間是 .解析：雖然 f(1) f(1.5)<0 , f(1.5) f(1.25)<0 ,但(1.25,1.5) 比(1,1.5)更精確. 答案：(1.25,1.5)6. 下列方程在區間(0,1)內存在實數解的有 .2 1 1 2 X + x 3= 0; - + 1 = 0; x+ InX = 0; xIgx= 0.X2解析：0<x<1 時，

4、X2+ X - 3<0,2X + 1>0, X - Ig x>0.入答案：17. 設函數y = X3與y=()X-2的圖象的交點為(X0, y。),則x。所在的區間是(填寫序號).(0,1)(1,2)(2,3)(3,4)解析：令 g(X) = X3-22-x,可求得 g(0)<0 , g(l)<0 , g(2)>0 , g(3)>0 , g(4)>0.易知函數g(X)的零點所在區間為(1,2).答案：8. 函數f (X) = x2-2x| -a有三個零點，則實數a的取值范圍是.解析：數形結合可知.答案：a=19. 下列函數中能用二分法求零點的是.

5、解析：由二分法應用條件知只有符合題意.答案：10. 下面關于二分法的敘述，正確的是 .二分法可求函數所有零點的近似值位有效數字 利用二分法求方程的近似解時，可以精確到小數點后任 二分法無規律可循，無法在計算機上實施 只在求函數零點時，才可用二分法答案：11. 方程log 3X+ X= 3的解所在區間是 .解析：構造 f(x) = 0g3X + X-3, f (2)<0 , f (3)>0 , Xo (2,3).答案：(2,3)212. 方程0.9x-2-x = 0的實數解的個數是 .解析：0<x<10 時，f(x) = x3lgx>O.答案：014. 方程x2 x

6、 1 = 0的一個解所在的區間為 .2解析：f(x) = X X 1,f ( 1)>0 , f (0)<0 , f(2)>0.答案：(1,0)或(0,2)15. 用計算器求方程InX + X 3= 0在(2,3)內的近似解為(精確到0.1).解析：令 f(x) = lnx+ x 3,因為 f(2) = In2 1<0,f(3) = In3>0 ,所以取(2,3)為初始區間.答案：2.2二、解答題1. 已知圖象連續不斷的函數 y = f (x)在區間(a, b)( b a=0.1)上有惟一零點，如果用“二分法”求這個零點的近似值(精確到0.001),求將區間(a,

7、b)等分的次數.1 1解：每等分一次區間長度變為原來的一半，n次等分后區間長度變為原來的 尹即歹 0.1 ,1 n要精確到0.001 ,必有歹 0.1<0.001 ,即卩2 >100,從而最小的n為7.即將區間(a, b)至少等分7次.2 用二分法求方程X3+ 5= 0的近似解.(精確到0.1)O解：令 f(x) = X + 5,由于 f( 2) = -3<0, f( - 1) = 4>0,故取區間2, 1作為 計算的初始區間，用二分法逐次計算，列表如下：區間中占I八、中點函數值-2,-11.51.625-2,-1.51.750.3594-1.75 ,1.51.6250

8、.7090-175 ,-1.6251.68750.1946-175 ,-1.68751.718750.0774-1.71875 ,-1.6875所以函數的零點的近似值為一1.7 ,故原方程的近似解為一1.7.3. 求兩曲線y = 2x與y =-X + 4的交點的橫坐標(精確到0.1).用計算器操作）4. 求證：方程(X + 1)( X 2)( X 3) = 1在區間(1,0)上有解； 能否判斷方程(X + 1)( X 2)( X 3) = 1其他解的區間.解：證明：設 f (X) = (X+ 1)( X 2)( X 3) 1,f ( 1) = 1<0 且 f (0) = 5>0,所

9、以方程(X+ 1)( X 2)( X 3) = 1在區間(一1,0)上有解. V f (1) = 3>0, f (2) = 1<0,故方程(X + 1)( X 2)( X 3) = 1在區間(1,2)上有解，Vf(3) =1<0, f(4) =9>0,故方程(X + 1)( X 2)( X 3) = 1在區間(3,4)上有解.綜上,方程在區間 (1,2) , (3,4) 上有解.5. 利用函數的圖象特征，判斷方程 2x3 5x + 1= 0是否存在實數根. 解：設f(x) = 2x3 5x+ 1,則f(x)在R上的圖象是一條連續不斷的曲線. 又 f(0) =1>0

10、, f(3)=38<0. f (0) f ( 3)<0 ,在3,0內必存在一點X0,使f（x。） = 0, Xo是方程2x3- 5x + 1= 0的一個實數根.方程2x 5x+ 1 = 0存在實數根.鞏固練習題：1. 若二次函數y= X2+ m>+ (m+ 3)有兩個不同的零點，貝U m的取值范圍是.2 2 解析：由 = m 4( m+ 3)>0 可得 m 4- 12>0,所以 m<-2 或 m>6.答案：m<-2 或 m>62. 若二次函數y = 2x2- 3x+ a的圖象與X軸沒有公共點，則實數 a的取值范圍是y=2x9 解析：= 9+

11、 8a<0,所以 a<g.解析：作函數y = 0g2(x + 4), y = 2x的圖象如圖所示，兩圖象有兩個交點，且交點橫 坐標一正一負，.方程有一正根和一負根.答案：21個.交占八、5. 函數f(x) = InX 的零點個數是X 11解析：如圖可知y = InX與y =的圖象有兩個X I答案：26. 觀察如圖所示的函數y = f (X)的圖象.(1)在區間a，b上(有/無)零點；f(a) f(b).0(填“<”或“ >”).在區間b，c上(有/無)零點；f(b) f(c)0(填“<”或“ >”).在區間c，d上(有/無)零點；f(c) f(d)0(填“<”或“ >”).答案：有，V 有，V 有，V2解析：令 f(X) = 0.9x-2x,f (X)為R上的減函數且f (10)<0 , f (5)>0 ,所以f(x)在(5,10)內有一個根.答案：113. 方程x2 3- Ig