1、機(jī)械動力學(xué)第二章作業(yè)（答案）-標(biāo)準(zhǔn)化文件發(fā)布號：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII第二章習(xí)題2-1如圖2-1所示，長度為L、質(zhì)量為，的均質(zhì)剛性桿由兩根剛度為攵的彈簧系住，求桿繞。點微幅振動的微分方程。解：設(shè)系統(tǒng)處于靜平衡位置時勢能為0,當(dāng)桿順時針偏轉(zhuǎn)。角時動能：T = -J6> =-022 3勢能：V = 22（sin 夕）2 +mg -（1-cos）2 22由能量守恒原理，得I（r+v）=o at化簡得目8+（超+勺夕=03 2L 2）2-2如圖2-2所示，質(zhì)量為 ？、半徑為廣的圓柱體，可沿水平而作純滾動，它的圓心。用剛度為攵彈簧相連，求系統(tǒng)的

2、振動微分方程。圖21圖2- 2解：設(shè)系統(tǒng)處于靜平衡位置時勢能為。，當(dāng)桿順時針偏轉(zhuǎn)。角時1 .2 1 （ . 21動能：T =Je+ 用 r0 J = -mr22 2）2勢能：V = -k（r0）22由能量守恒原理，得且（r+v）= odt化簡得:We+ke = o 23如圖2.3所示，質(zhì)量為？、半徑為R的圓柱體，可沿水平而作純滾動，與圓心°距離為處用兩根剛度為k的彈簧相連，求系統(tǒng)作微振動的微分方程。解：設(shè)系統(tǒng)處于靜平衡位置時勢能為0.J=-mR22動能：t2 2 )勢能：V = 1(2k)(R + )e/2由能量守恒原理,得一(T + V) = O dt3 a化簡得:一加六6+ 2k

3、 (R +幻2 6 = 0224求圖2-4所示彈簧-質(zhì)量-滑輪系統(tǒng)的振動微分方程(假設(shè)滑輪與繩索間無滑動)。解：設(shè)系統(tǒng)處于靜平衡位置時勢能為0動能：T = Lj82+_L/e1 9J =-Mr2 22 )2勢能：7 = '.kQ6)22由能量守恒原理，得(r + v)= o dt其中，x = r&x = r8X/I化簡得：(? H) x+ kx = 022- 5質(zhì)量可忽略的剛性桿-質(zhì)量-彈簧-阻尼器系統(tǒng)參數(shù)如圖2-5所示，4桿處于鉛垂位置時 系統(tǒng)靜平衡，求系統(tǒng)作微振動的微分方程。設(shè)系統(tǒng)處于靜平衡位置時勢能為0,當(dāng)桿順時針偏轉(zhuǎn)6角時1.1.1動能：T = 一im（Li。）? +

4、-m2（L2+ m3KL3 + L222勢能：V = -+ La）0 2-/H2/2（l - COS 0）2i .耗散能:W = Jc.（心行df0由能量守恒原理，得幺（r+v+w）= odt化簡得：?/ +miL22 + myLy + LaY 0+ cLv 0+kL + LaY miglijO = 0 2.6系統(tǒng)參數(shù)如圖2.6所示，剛性桿質(zhì)量可忽略，求系統(tǒng)的振動微分方程.圖2- 5圖2- 6解：設(shè)系統(tǒng)處于靜平衡位置時勢能為01.21/. 21動能：T = _J6+ _ M+T汕se）2,22 I J 2勢能：7 = Lki（二8）2+Lk2（n8）22 h 2由能量守恒原理，得“（r + v

5、）= odt2化簡得：” +M6 +mr2 ）6+（匕3"2' +2r22 ）6 = 0 2-7試用能量法確定圖27所示系統(tǒng)的振動微分方程。（假定圖示位置是圖示 位置是系統(tǒng)的靜平衡位置）解：設(shè)系統(tǒng)處于靜平衡位置時勢能為0,當(dāng)桿順時針偏轉(zhuǎn)6角時1.2動能：T = (mia2 +m2a2) 2勢能：V = (m2 7ni)g . cos a a(l- cos 0)由能量守恒原理，得d(r+v)= o dt9： 6很小,sin6* 8化簡得：nna + mia 8+ (m2 一 "，)g cos a 8 = 02-8試確定圖28所示串并聯(lián)彈簧系統(tǒng)的等效剛度。解.：彈簧1、

6、2并聯(lián)，和彈簧3串聯(lián)，則等效剛度為：1 _ 11 _ k + k2 + ky_ (k + ki)k3=+ -. Ke =ke k+ki ka k3(ki + k»ki + ki + ka2- 9求跨度為L的均勻簡支梁在離支承點3處的等效剛度系數(shù)。解：根據(jù)材料力學(xué)公式，均勻簡支梁上處擾度：3r L 2L尸占三9-(主丫-化6LEI 3 ) 13 J 243EZ等效剛度為：匕=£=生孕y 4FL2-10系統(tǒng)參數(shù)如圖29所示,剛性桿質(zhì)量可忽略，求系統(tǒng)對于廣義坐標(biāo)x的等效剛度。解：對小車次沿工方向施加作用力尸,使小車產(chǎn)生位移 X。則彈,近伸長彈簧上伸長以，巾。小車受力F = F13

7、s a + E二其中芭=.fcjxcosaF2b = Fa = l&at /=>所以等效剛度T用=產(chǎn)/父=&cosJ a +用排/力2-11 一質(zhì)量為J長度為L的均勻剛性桿，在距左端。為L處設(shè)一支承點，如圖210 所示。求桿對。點的等效質(zhì)量。解；設(shè)弓單簧機(jī)以速度上發(fā)生變形，則桿的質(zhì)心的運動 速度為 亍_爭一過_1一2M.1A - AnL In于是系統(tǒng)動能:x2 12，.地 /212如圖211所示，懸臂梁長度為L ,彎曲剛度為耳，質(zhì)量不計。求系統(tǒng)的等效剛度和 等效質(zhì)量。舉費心轉(zhuǎn)動 覆費心平動而等效系統(tǒng)的動能：、由=6得現(xiàn)=初1解：當(dāng)懸臂梁在自由端受到彎曲力那寸,自由端的 位

8、移為工=三,所以懸臂梁自由端的等效剛度為T _3E1v而系統(tǒng)的等效剛度相當(dāng)于懸臂梁的等效剛度與強(qiáng)箸E串聯(lián)竭 _ 3EIk上+電系統(tǒng)的等效質(zhì)量L2-13如圖212所示，固定滑車力學(xué)模型中，起吊物品質(zhì)量為濟(jì)，滑輪繞中心。的轉(zhuǎn)動慣 量為,。，假定繩索與滑輪間無滑動，求系統(tǒng)的振動微分方程。15e k'R (k + k2)r2 0解：設(shè)洲的位移為;V,向下為正：Jo的轉(zhuǎn)角為仇 順時針為正。并假設(shè)酸（使彈簧品伸長）。則彈簧片受到的拉力為T =kx-0R）彈簧后受到的拉力為T2= k/R對滑輪利質(zhì)量塊分別進(jìn)行受力分析：J 酒= T、R-7?R= Jad = k.xR-k.GR1 -k28R2=>

9、; mx + xkR = 0-.注：沒有寫重力項和彈簧靜伸長，因為于是微分方程：網(wǎng)=",兩項可抵消。（參見習(xí)題2-5）2-14用視察法建立圖2-13所示鏈?zhǔn)较到y(tǒng)的振動微分方程。簡要說明必須注意的問題。1 2 1 圖 2-13解：微分方程為町 0侔g0 m2 x2 J c%)d叫叫匕p圖 2-14圖 2-15、w、'、w' wj可等: 1-2連接mi和m 2之間的與人相連上:有彈簧所有彈雷的負(fù)數(shù)f 國+恒江& £頊儼=0 q x2 L -k3 電+%1E對角陣對稱陣2-15繩索.質(zhì)量系統(tǒng)的參數(shù)如圖214所示，設(shè)質(zhì)量 用剛度法建立系統(tǒng)作微振動的微分方程。

10、解法二：(剛度法)把他和啊豎直不 方向的位移作為廣義坐標(biāo)，向下為 1 正。使叫產(chǎn)生豎直向下的單位位移，不 機(jī)2位置不變，需要對四和小2施加的 豎直向下的力，即為剛度系數(shù)和今 七1。72Tsin =,=竺力sin 夕產(chǎn) 1 / L j11 LT sin 6.鼠JT.12沙=幺 上sin 6 « 1/ L JL同理，使蜂產(chǎn)生豎直向下的單位位移， 人12和左22 °于是微分方程72ml Olp一。JUj L-i與叫相連的對稱陣所有彈簧=24各段繩索中的張力均為了，試_(J)_1Mh%位置不變，得剛度系數(shù)T卜 1 0< =。21工2,J = J 2 = J于是微分方程：J0注

11、，還可以用 刖度法列方科2-16如圖215所示系統(tǒng)中，乂=七=公=大，犯=m2=m t=r2 = 求系統(tǒng)的振動微分方程。解：設(shè)4和4分別沿順時針方Z 向旋轉(zhuǎn)了必和即則彈簧內(nèi)力彳 分別為（均為拉伸）:f2耳二廊,6=&（如+觸），4=煙和1和，2受力分析:樸-他,4川3+如）工J202 =-為（R + & J 72 - 螭 r2 , r2圖 2-162-17行車載重小車運動的力學(xué)模型如圖2.16所示，小車質(zhì)量為叫， 所受到兩根剛度為攵彈簧的約束，懸掛物品質(zhì)量為,懸掛長度為 L擺角8很小,求系統(tǒng)的振動微分方程。WM解；以嗎水平方向的位移和嗎的擺角為廣彳MW卜義坐標(biāo)。'E由于

12、他相對嗎的速度為L0,碼的速度 （即牽連速度）為小故嗎的絕對速度為7<92L2 + i2+2i0Lcos0勢能為系統(tǒng)的動能為T -yix +工牲戶/? +i2 + 2i£cos0 22U =-（kJrk）x1 +gL（l-cos） 2令L = TU,列Lagrange方程:dtydx J色閔方程化簡為些二。dx三二0 80dL/dx = m1 + mz）x+m9LcQS03L/ dx = -2kxdL! dO = -m2gL sin 0 tn2x0L sin 0 dL! dO = mpl + m2xL cos 0（機(jī)1 +機(jī)2卜+m2九cos。一加22乙51!10 +2Ax=0

13、 mOLr + m2 遼 cos 0 -機(jī) 2 MLsin 0 。+ 根 2 '/ sin 0 + m2gLsin 0 = 0略去82高階項，且sinepacos，Bl,方程可化簡為（機(jī)+ 加 2）£ + m2乙。+ 2kx = 0in? 0 + 機(jī)2& + m2gL 9 = 0于是微分方程：+ m2 m2L2k 0m2L m2l3 00 m2gLj 62-18離散化振動系統(tǒng)力學(xué)模型由哪些元件組成?質(zhì)量元件、彈性元件、阻尼元件2-19實際系統(tǒng)離散化的依據(jù)是什么？用課外的實例舉例說明,簡化的程度取決于系統(tǒng)本身的復(fù)雜程度、外界對它的作用形式和分析結(jié)果的精度要求等（以下20

14、-26題請用拉格朗日方程建立系統(tǒng)運動微分方程）2-20圖27所示系統(tǒng)中，輪A沿水平而純滾動，輪心以水平彈簧聯(lián)于墻上，質(zhì)量為 的物塊C以細(xì)繩跨過定滑輪B聯(lián)于點A。A、B兩輪皆為均質(zhì)圓盤，半徑為R，質(zhì)量為團(tuán)2。彈簧剛度為匕質(zhì)量不計。當(dāng)彈簧較軟，在細(xì)繩能始終保持張緊的條件下，求此系 統(tǒng)的運動微分方程。解：此系統(tǒng)具有一個自由度，以物塊平衡位置為原點，取r為廣義坐標(biāo)如圖n以平衡位 置為重力零勢能點，取彈簧原長處為津性力零勢能點，系統(tǒng)在任意位置X處的勢能為V=+ j）2 - mtgjc其中徐為平街位置處彈簧的伸長量3由運動學(xué)關(guān)系式,當(dāng)初塊速度為上時,輪B角速度為 左依,輪A質(zhì)心速度為二角速度亦為此系統(tǒng)的動

15、能為T=：m?+；叫？ +住）=（仁+ ：仁）？系統(tǒng)的動勢為L = T - V =（蛆 + ：m1 ）工2 -（ So + x ）2 + gx代人拉格朗H方程.等償）嚼=。得（25z + m ）工 + 6$. + ix - m j g = 0注意到=她系統(tǒng)的運動微分方程為（2% +叫丘+匕=02-21在圖218所示的運動系統(tǒng)中，重物“I的質(zhì)量為巧,可沿光滑水平面移動：擺錘 “2的質(zhì)量為“2,兩個物體用無重桿鏈接，桿長為人 試用第二類拉格朗日方程建立此 系統(tǒng)的運動微分方程。圖 2-1828(a)(b)T = 2%孫9m式工：+<) = ；(如 +加z丘：+例3-8仍以例3-6為例，該問題也

16、可以用第二類拉格朗日方程來求解。選工B和夕 為廣義坐標(biāo),則有*=0,12=工一/4”，y2 - Zcos f 將式(a)兩端對時間求導(dǎo)數(shù)，律,I =0， r2 =X| - /geos 中. y】=一 If sin 牛系統(tǒng)的動能為選質(zhì)點Mt在最低處時的位置為系統(tǒng)的零勢能位置，則系統(tǒng)的勢能為 丫=如/(1 -cos 午)由此得)X| - m2 /cosajc aj, TT0 =( m坊 az.=(E + mj)x| - mjZcos 曠0+ m2/sin 中«q，T=。dX|3T_. 汗“,J- - mz /fUTgSin - = mzl 夕-m24rleosgd d7Tdfp=m2/(

17、/-co5 中上i +X|Sin j)c av.Q. 55 一 而二一m2x/sin 中把以上結(jié)果代入拉格朗日方程中網(wǎng)(mt > m2)X| - m2 Zcos > m: /sin ,=0(4一o» p'ii ”.n 夕夕)f>如架質(zhì)點M,鎂動很小.可以近ft1地認(rèn)為Wn中aq.M夕Rl.且可以忽略含，fQiif的育 階小最上式可改寫為從以上的式中消去，一得到這是自由振動的it分方程.其修為p= Amn(art r 9)因有角菽率為擺動冏期T =如果則質(zhì)點M(的位移”.將很小質(zhì)點Mt的摸幼周期稗0于普通單氓的局若將式(e)代入(d)潛到(h) m2川=.有即

18、將式(f)代入可見質(zhì)點Mj沿”方向也作自由振動，可以悔例36的培果與例3 8進(jìn)行對比，樣(.).(1)兩式代入例3-6中式(g)的第4式,當(dāng)M接動祖小時,sin夕%分.om,且可電愈4含/和懺的高階小量,得到I -3產(chǎn)。代入例3-6中式(g)的第3式，并注意少=0.得到(k)由本例中的式(a)- Xt - x1ctanc =代人式(k)得到與式(h)同悻的結(jié)果。2-22運用拉格朗日方程推導(dǎo)單擺的運動微分方程(如圖219)。分別以下列參數(shù)為廣義坐 標(biāo)：(1)轉(zhuǎn)角9： (2)水平坐標(biāo)X; (3)鉛直坐標(biāo)。(1)以。為廣義坐標(biāo)，則系統(tǒng)T = -ml2.(p22V =7K/(1-COS (p)L =

19、T-Vd (叼 0L代入拉格朗日方程7 -= 0dtd(p) d(p得運動微分方程/0+gsino = O(2)以X為廣義坐標(biāo)，約束方程廠+ y-=卜對上式時間求導(dǎo)2x土 + 2 yy = 0,即1= y貝 ljT=1 加(±2 + y2) =2 ,7 2l2-x-V = mg(/ y) = mg (/ yjl2 -x2)將L = TV代入拉格朗日方程得3/2 (尸+gX(/2 -X2)2 =0(3)以y為廣義坐標(biāo)，同樣有約束方程/ + 丁 =廣 2有T 二 "/= mg (/ - y)2 l y將L = T - V代入拉格朗日方程得l2 (/2-y2)»y +

20、yy2-g(/2-y2)2 =02- 23斜塊A的質(zhì)量為"，在常力F作用下水平向右并推動活塞桿BC向上運動：活塞與 桿BC的質(zhì)量為“，上端由彈簧壓住，彈簧的剛度系數(shù)為4。運動開始時，系統(tǒng)靜止，彈 簧未變形。見圖220,不計摩擦，求頂桿BC的運動微分方程。2-24質(zhì)量為"。的均質(zhì)桿0A長為乙 可繞水平軸0在鉛垂面內(nèi)轉(zhuǎn)動，其下端有一個與基座 相連的螺線彈簧，剛度系數(shù)為,當(dāng)夕=°時，彈簧無變形。0A桿的A端裝有可自由轉(zhuǎn)動的均質(zhì)圓盤，盤的質(zhì)量為'"2,半徑為，在盤面上作用有矩為加的常力偶，設(shè)廣義坐 標(biāo)為。和6,如圖2.21所示。求該系統(tǒng)的運動微分方程。T

21、 1/1 P1 廠印 1系統(tǒng)的動能7 二不ml e +m2l e +- z J 7 zz卜 2(1)1m2廣義坐標(biāo)。對應(yīng)的廣義力Qq=M(2)(1 、Qe =-k6+ 一町 +% g/sinS(3)代入拉格朗日方程= 2，i = 0,夕將（1） （2） （3）代入（4）式，得m1r2(p = M 2 -< ) >-mA + in2 l20 + k0-、3>-+ m2 ；g/sin6 = 012)2-25設(shè)有一個與彈簧相連的滑塊A，其質(zhì)量為“，它可以沿光滑水平面無摩擦的來回滑動,彈簧的剛度系數(shù)為在滑塊A上又連接一個單擺，如圖222所示。擺長為/, B的質(zhì)量為m2 ”列出該系統(tǒng)的

22、運動微分方程。系統(tǒng)動能T = mx2 +m2(£2 +(p2l2 +2/辦cos 8)22系統(tǒng)勢能V = kx2 - m2gl cos (p22(x2 + <p2l2 + 21(j)x cos(p)-kx2 +m2gl cos (p 2拉格朗曰函數(shù)L = T-V = m.x2 +m 22將上式代入拉格朗曰方程d 5L =()力的J西谷 (町 +)x + rnJipcQS(p-m2l(p2 sin(p + loc = 0化間行 一 -Xcos 9+/©+g sin 9 = 0當(dāng)?為小量時，cos0口l，sin0一必 略去高階小量/項，有(町 + m2)x + m2l(p

23、 + kx = O龍+ /0 + g0 = O2- 26圖示直角三角塊A可以沿著光滑水平面滑動。三角塊的光滑斜而上放置一個均質(zhì)圓柱體B,其上面繞有不可伸長的繩索，繩索通過滑輪C懸掛一質(zhì)量為的物塊D，可沿三角 塊的鉛直光滑槽運動。已知圓柱B的質(zhì)量為27,三角塊A的質(zhì)量為3” , 8=30°。設(shè) 開始時系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，滑輪C的大小和質(zhì)量略去不計。試確定系統(tǒng)中各物體的運動方 程。圖 2-231圖 2-23圖 2233解：系統(tǒng)動能mr1 <p2 +(2m)(x2 + ()- -2x(，-)cos6)2/2r = ；(3?)M +/?(*")+；35=；，爐 + 3/ni2

24、+ mr2g)2 - 2mry(p-小"談 + 'J3mrx(p系統(tǒng)勢能V = -mgy + 27g ( y - 0/j sin 6 = mgrcp把拉格朗日函數(shù)L = T-V代入拉格朗日方程d( dL cL 八.-r - -= 0j = x,y 力【的J西化簡得6x-y/3y + y/3r = 0 后-3»； + 29 = 0V3x-2y + -1r = g解得：2褥x =8336產(chǎn)1TgHr積分得：.4，2尸徜11 r考試復(fù)習(xí)題:一、 圖1所示系統(tǒng)中，四個彈簧均未受力，己知m=50kg, kl=9800N/m, k2=k3=4900N/m, k4=19600N/mo 試問：(1)若將支承緩慢撤去，質(zhì)量塊將下落多少距離？(2)若將支承突然撤去，質(zhì)量塊乂將下落多少距離？ke = 3 + k 八1 1 1解:=1ke k2 + k3 kxke = 24500答：(1) x =2 cm ； (2) x=4 cm網(wǎng)中 k = 1OOON/tn, k2 = IN/m(1) .試推導(dǎo)這兩個系統(tǒng)的等效剛度。(2) .簡述計算結(jié)果所反映出的物理意義“圖 串聯(lián)彈簧系統(tǒng)和并聯(lián)彈簧系統(tǒng)(1)串聯(lián)彈簧