1、數(shù)學(xué)研究生課程設(shè)置統(tǒng)計(jì)分析課程設(shè)置既是研究生進(jìn)行課程學(xué)習(xí)的知識(shí)載體，學(xué)生科研創(chuàng)新能力培養(yǎng)中基本知識(shí)和基本方法的傳承和發(fā)展，也直接制約著培養(yǎng)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。課程設(shè)置還是學(xué)科點(diǎn)自主實(shí)現(xiàn)學(xué)科持續(xù)發(fā)展的主體作用的體現(xiàn)，關(guān)注研究生課程設(shè)置與建設(shè)是當(dāng)前的熱點(diǎn)話題之一。 2014年 12月教育部公布了關(guān)于改進(jìn)和增強(qiáng)研究生課程建設(shè)的意見 1，要求“把培養(yǎng)目標(biāo)和學(xué)位要求作為課程體系設(shè)計(jì)的根本依據(jù)。完整貫徹本學(xué)科研究生培養(yǎng)目標(biāo)和學(xué)位要求，重視課程體系的系統(tǒng)設(shè)計(jì)和整體優(yōu)化。堅(jiān)持以能力培養(yǎng)為核心、以創(chuàng)新能力培養(yǎng)為重點(diǎn)，拓寬知識(shí)基礎(chǔ) ”。2015 年 1 月 27 日，李克強(qiáng)總理在與科教文衛(wèi)體的代表座談時(shí)談到“剛才為什么我

2、要問(wèn)純數(shù)學(xué)？我們要搞原始創(chuàng)新，就必須更加重視基礎(chǔ)研究，沒(méi)有扎實(shí)的基礎(chǔ)研究，就不可能有原始創(chuàng)新”2。與一般研究研究生公共數(shù)學(xué) 3 或者數(shù)學(xué)二級(jí)學(xué)科4 的課程體系不同，本文主要關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科本身的課程設(shè)置問(wèn)題。通過(guò)調(diào)研我國(guó) 19 個(gè)大學(xué)數(shù)學(xué)一級(jí)學(xué)科下，各個(gè)培養(yǎng)單位自主設(shè)置基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)和運(yùn)籌學(xué)與控制論共五個(gè)二級(jí)學(xué)科下開設(shè)專業(yè)課程的現(xiàn)狀，進(jìn)行可視化統(tǒng)計(jì)分析。把各個(gè)高校開設(shè)的共性課程與哈佛大學(xué)、加州大學(xué)伯克利分校的數(shù)學(xué)課程進(jìn)行對(duì)比分析。課程統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果可以為數(shù)學(xué)學(xué)科碩士研究生培養(yǎng)方案修（制）訂提供參考，也可供理工類學(xué)科選修數(shù)學(xué)課程參考。一、數(shù)學(xué)學(xué)科課程開設(shè)頻數(shù)可視化分析課

3、程數(shù)據(jù)來(lái)自于19個(gè)高等學(xué)校：北京大學(xué)（PKU ,北京工業(yè)大學(xué) （PKU ,北京航空航天大學(xué)（BAUU ,北京交通大學(xué)（BJTU ,北京 科技大學(xué)（USTB ,復(fù)旦大學(xué)（FDU ,哈爾濱工業(yè)大學(xué)（HIT）,華 東理工大學(xué)（ECUST ,武漢理工大學(xué)（WUT ,上海交通大學(xué)（SJTU ,西安交通大學(xué)（XJTU ,蘭外I大學(xué)（LZUJ）,武漢大學(xué) （WHU,吉林大學(xué)（JLU）,南京大學(xué)（NJU ,四JI大學(xué)（SCU , 南開大學(xué)（NKU ,浙江大學(xué)（ZJU）,山東大學(xué)（SDU。括號(hào)中的學(xué) 校簡(jiǎn)稱用于課程設(shè)置信息可視化圖形繪制（如圖 1）。所選的 19所高校中包括北京大學(xué)等國(guó)家重點(diǎn)學(xué)科院校8 個(gè)。因?yàn)?/p>

4、本次統(tǒng)計(jì)分析主要面向綜合類或者理工類院校，所以沒(méi)有納入師范類院校。根據(jù)各個(gè)學(xué)校公開的培養(yǎng)方案中的選修課和必修課進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，把課程名稱非常接近的課程合并為同一個(gè)課程名稱 , 比如“代數(shù)幾何初步”并入“代數(shù)幾何”，“算法分析與設(shè)計(jì)”并入“算法設(shè)計(jì)與分析”，“現(xiàn)代分析基礎(chǔ)”并入“現(xiàn)代分析引論”，“小波分析及應(yīng)用”并入“小波分析”，“有限元的數(shù)學(xué)理論”并入“有限元方法”，“隨機(jī)信號(hào)處理”并入“隨機(jī)信號(hào)分析”，“最優(yōu)化計(jì)算方法”并入“最優(yōu)化理論與算法”，“矩陣分析”并入“矩陣分析與計(jì)算”等。在合并之后，這 19 所高校的開設(shè)課程之和多達(dá)664 門，采用信息可視化軟件Gephi, 繪制出這 19 所高校及其

5、數(shù)學(xué)學(xué)科開設(shè)課程交叉關(guān)系圖（圖 1）。圖 1 中，學(xué)校和課程都采用代碼表示，每門課程對(duì)應(yīng)一個(gè)小圓點(diǎn)（結(jié)點(diǎn)），每所學(xué)校對(duì)應(yīng)于一大圓點(diǎn)（結(jié)點(diǎn)），將學(xué)校與其所開設(shè)課程通過(guò)直線相連。若同一門課程的開設(shè)學(xué)校多于一個(gè)，則此結(jié)點(diǎn)與多個(gè)學(xué)校相關(guān)聯(lián)，并且這類多個(gè)學(xué)校關(guān)聯(lián)的結(jié)點(diǎn)一般都布局在比較靠近中心的位置。若某個(gè)結(jié)點(diǎn)僅與某個(gè)高校關(guān)聯(lián)，則說(shuō)明此課程為這個(gè)學(xué)校特色課程。從圖 1 可以看出，ZJU, BJTU LZU, SDU PKU NKU FDUM開設(shè)了較多特色課程。從高校角度看，這19 所高校中，各個(gè)高校開設(shè)課程數(shù)量如圖 2 所示，其中開課最多的是復(fù)旦大學(xué) 158 門，最少的是華東理工大學(xué) 26 門。從課程角度

6、看， 664 門課程中，有447 門課程僅有一個(gè)學(xué)校開設(shè)，有118 門課程獲得了 3 個(gè)或者 3 個(gè)以上學(xué)校開設(shè)。而獲得 7 個(gè)或者 7 個(gè)以上學(xué)校開設(shè)的課程僅有28 門 , 如表 1 所示。表 1中的課程代碼體現(xiàn)在圖 1 中。可見表1 所列出的 28 門課程獲得比較多高校的重視，可以認(rèn)為是數(shù)學(xué)學(xué)科的關(guān)鍵課程集。根據(jù)開設(shè)課程的頻數(shù)和相關(guān)排序，從表1 還可以歸納出以下幾個(gè)結(jié)論。（ 1）相對(duì)公認(rèn)的最關(guān)鍵課程是泛函分析、動(dòng)力系統(tǒng)、隨機(jī)過(guò)程，這也是近些年來(lái)數(shù)學(xué)學(xué)科各個(gè)分支方向的熱門課程。（2）數(shù)值計(jì)算、最優(yōu)化方法、統(tǒng)計(jì)分析等基本數(shù)學(xué)技術(shù)與動(dòng)力系統(tǒng)、小波分析、有限元方法等前沿課程代表的先進(jìn)方法在數(shù)學(xué)學(xué)科

7、獲得同等重要的地位，在28 門課程中的次序不相上下，所占比例也比較接近。（3）純數(shù)學(xué)課程保持了相當(dāng)?shù)谋壤?shù)學(xué)作為學(xué)科自我發(fā)展的純數(shù)學(xué)方向的課程，比如代數(shù)拓?fù)洹⒔粨Q代數(shù)、黎曼幾何、代數(shù)學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、微分幾何等都 得到了重點(diǎn)關(guān)注。二、依據(jù)開設(shè)課程相關(guān)性的高校聚類因?yàn)檎n程數(shù)目多達(dá)到 664 門，而各個(gè)高校開設(shè)課程數(shù)量相對(duì)于這個(gè)數(shù)字而言只能是小比例，以其中的關(guān)鍵課程或者熱門課程為基礎(chǔ)進(jìn)行聚類分析。我們先給出數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析方法的基本描述。第(ii=1,2,，伯)個(gè)學(xué)校關(guān)于n門課程開設(shè)狀態(tài)用一個(gè)n維的向量xi二 (c1,c2)表示，其中cj (j=1,2,m)為0-1變量，cj=0表示該學(xué)校未開設(shè)第j門課程

8、，否則cj=1。將兩所學(xué)校A和B之間相關(guān)距離定義為 d=1-r2 ，即實(shí)數(shù) 1 與相關(guān)系數(shù)r 的平方的差。兩所學(xué)校相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值越高，這兩所學(xué)校的距離就越短。采用 R語(yǔ)言的iGraph軟 件包編程實(shí)現(xiàn)聚類分析。其中聚類算法采用力導(dǎo)引布局的FR算法，輸入這 19 個(gè)學(xué)校的相關(guān)距離矩陣，繪制出聚類結(jié)果圖。為了讓圖像更加簡(jiǎn)潔地體現(xiàn)聚類效果，僅畫出相關(guān)距離小于 0.9 的聚類結(jié)果。繪圖中邊的長(zhǎng)度與A和B之間的相關(guān)距離相對(duì)應(yīng)。取表1中排序前15 (n=15) 門關(guān)鍵課程進(jìn)行可視分析，從圖 3(a) 可以看出，在相關(guān)距離小于 0.9 的水平上， 19 個(gè)學(xué)校可以分為六個(gè)類：第一類是北京大學(xué)、四川大學(xué)、 武

9、漢大學(xué)、華東理工大學(xué)、武漢理工大學(xué)；第二類是蘭州大學(xué)、山東 大學(xué)；第三類是浙江大學(xué)、南京大學(xué)、北京科技大學(xué)、上海交通大學(xué) 和北京航空航天大學(xué)；第四類是哈爾濱工業(yè)大學(xué)、北京交通大學(xué)、北 京工業(yè)大學(xué)；第五類是西安交通大學(xué)、南開大學(xué)和吉林大學(xué)；第六類是復(fù)旦大學(xué)。這個(gè)聚類是按照這15 門課程的開設(shè)情況作出的，能夠從課程設(shè)置方面體現(xiàn)出一些異同之處。如果需要找出更深層次的信息，需要結(jié)合各個(gè)學(xué)校的培養(yǎng)目標(biāo)進(jìn)行分析。若重點(diǎn)考慮其中至少有6 個(gè)或者6個(gè)以上學(xué)校開設(shè)的課程，則有 37門(n=37),這37門課程為 基礎(chǔ)進(jìn)行聚類分析。由FR算法可以繪制聚類結(jié)果如圖3 (b)所示。與 圖3 (a)相比較，聚類結(jié)果有些

10、變化，比如學(xué)校被分為8類，其原因是向量維數(shù)增加， 0 分量的個(gè)數(shù)增加，學(xué)校之間的相關(guān)性削弱，從而相 關(guān)距離增加。三、關(guān)鍵數(shù)學(xué)課程的中美比較分析哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)系的數(shù)學(xué)課程5 中包含在表1 中 28 門課程的是復(fù)分析、代數(shù)拓?fù)洹⒋鷶?shù)學(xué)、李群和李代數(shù)、微分幾何等5 門。面向研究生開設(shè)的課程有32門，其中有代數(shù)K-理論和流形拓?fù)洹⑺阈g(shù)統(tǒng)計(jì)專題、代數(shù)幾何中的相交理論、結(jié)的代數(shù)不變量等12 門新課程，這些新的課程與學(xué)科的新進(jìn)展、當(dāng)前社會(huì)和科技新需求緊密結(jié)合。學(xué)校還開設(shè)了供研究生與本科生同修的數(shù)學(xué)課程30 門，包括一些經(jīng)典的數(shù)學(xué)課程，比如泛函分析、動(dòng)力系統(tǒng)、組合論、線性代數(shù)及其應(yīng)用、概率論等。在這 30 門課

11、程中開設(shè)了統(tǒng)計(jì)軟件的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等5 門新課程。新課程的開設(shè)以及研究生與本科生大量課程的同修是哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)系與國(guó)內(nèi)課程設(shè)置上的兩個(gè)不同點(diǎn)。加州大學(xué)伯克利分校數(shù)學(xué)學(xué)科研究生課程65 門6，其中在表1 的課程有 8 門課程，分別是動(dòng)力系統(tǒng)，偏微分方程，代數(shù)拓?fù)洌仃嚪治雠c計(jì)算，黎曼幾何，調(diào)和分析，微分方程數(shù)值解, 李群。 65 門課程中包含數(shù)學(xué)課程熱點(diǎn)話題、代數(shù)專題、拓?fù)鋵ｎ}、微分幾何專題等特色課程，其授課內(nèi)容是由任課教師自主選定的各個(gè)方向的高級(jí)話題，因此其內(nèi)容因時(shí)因人而有所變化。對(duì)比這兩所學(xué)校的開設(shè)課程與表1 的關(guān)鍵課程表，可以看出，哈佛大學(xué)和加州大學(xué)伯克利分校的應(yīng)用類課程如小波分析、有限元方法、時(shí)間序列等課程沒(méi)有開設(shè)，它們主要通過(guò)一些專題課程形式來(lái)教授應(yīng)用、前沿、熱點(diǎn)知識(shí)。四、對(duì)自主設(shè)置課程的思考與建議1. 各個(gè)學(xué)校開設(shè)的數(shù)學(xué)專業(yè)課程數(shù)量差異較大，多的 150余門，少的20 多門；各個(gè)高校課程交叉形成的關(guān)鍵課程28 門，其中泛函分析, 動(dòng)力系統(tǒng)，偏微分方程，小波分析，復(fù)分析, 有限元方法，組合優(yōu)化，最優(yōu)化理論，多元統(tǒng)計(jì)獲得半數(shù)以上高校開設(shè)；根據(jù)各個(gè)高校課程交叉的特征對(duì)各個(gè)高校進(jìn)行聚類，能夠直觀分析各個(gè)高校的聚類特征和特色課程；交叉課程基數(shù)越大，聚類越分散。2. 基于哈佛大學(xué)與加州伯克利分校數(shù)學(xué)課程，可以看出國(guó)外高校在分析、幾何、代數(shù)三大傳統(tǒng)方向的基