1、指數函數概念：一般地，函數 y=aAx （a>0,且aw 1）叫做指數函數，其中 x是自變量，函數 的定義域是Ro注意：L指數函數對外形要求嚴格，前系數要為1,否則不能為指數函數。2.指數函數的定義僅是形式定義。指數函數的圖像與性質：.（I）定義域：R位點（。）即A“H J皮 （1）Zi R匕足增函數（4）6- R工是減函數規律：1.當兩個指數函數中的 a互為倒數時，兩個函數關于 y軸對稱、但這 兩個函數都不具有奇偶性。-4 -3 -2 I 23 42 .當a>1時，底數越大，圖像上升的越快，在 y軸的右側，圖像越靠近 y軸；當0vav1時，底數越小，圖像下降的越快，在y軸的左側，

2、圖像越靠近 y軸。在y軸右邊 底大圖高”；在y軸左邊 底大圖低”。Ox3 .四字口訣：“大增小減”。即：當a> 1時，圖像在R上是增函數；當0vav1時, 圖像在R上是減函數。4 .指數函數既不是奇函數也不是偶函數。比較募式大小的方法：1 .當底數相同時，則利用指數函數的單調性進行比較；2 .當底數中含有字母時要注意 分類討論；3 .當底數不同，指數也不同時，則需要引入中間量進行比較；4 .對多個數進行比較，可用 0或1作為中間量進行比較底數的平移：在指數上加上一個數，圖像會向左平移；減去一個數，圖像會向右平移。在f(X)后加上一個數，圖像會向上平移；減去一個數，圖像會向下平移。對數函數

3、1 .對數函數的概念由于指數函數y=ax在定義域(-8, +8)上是單調函數，所以它存在反函數，我們把指數函數 y=ax(a>0, aw 1)的反函數稱為對數函數，并記為y=log ax(a >0, aw 1).因為指數函數y=ax的定義域為(-00, +oo),值域為(0, +oo),所以對數函數 y=logax的 定義域為(0, +00),值域為(-OO, +OO).2 .對數函數的圖像與性質對數函數與指數函數互為反函數，因此它們的圖像對稱于直線y=x.據此即可以畫出對數函數的圖像，并推知它的性質.為了研究對數函數y=logax(a>0, aw 1)的性質，我們在同一直角

4、坐標系中作出函數y=log 2x, y=log 例，y=log 10x,y=log 1 x,y=log 1 x 的草圖210由草圖，再結合指數函數的圖像和性質，可以歸納、分析出對數函數y=logax(a>0, awi)的圖像的特征和性質.見下表.圖象a> 1a< 1X=1K-io*ry I&gax (Oa<l)1 磨。)*性 質(1)x >0(2)當 x=1 時，y=0(3)當 x>1 時，y>00<x<1 時，y<0(3)當 x>1 時，y<00<x<1 時，y>0(4)在(0, +8)上是增函

5、數(4)在(0, +8)上是減函數補 充性 質設 y1=logax y2=logbx 其中 a> 1, b> 1(或 0vav1 0vbv1)當x>1時“底大圖低”即若a> b則y>y2當0vxv 1時“底大圖圖”即若a>b,則yo>y2比較對數大小的常用方法有：(1)若底數為同一常數，則可由對數函數的單調性直接進行判斷.(2)若底數為同一字母，則按對數函數的單調性對底數進行分類討論.(3)若底數不同、真數相同，則可用換底公式化為同底再進行比較.(4)若底數、真數都不相同，則常借助 1、0、-1等中間量進行比較.3指數函數與對數函數對比名稱指數函數對數

6、函數一式y=ax(a>0, aw 1)y=log ax(a > 0, aw 1)定義域(-OO, +oo)(0, +00)值域(0, +8)(-OO, +OO)當a>1時，當a> 1時函的1( x 0)0(x 1)值ax 1( x 0)10g a x 0(x 1)變1(x 0)0(x 1)化當0vav1時，當0v av 1時，情1(x 0)0(x 1)況xa 1(x 0)10g a x 0(x 1)1(x 0)0(x 1)單調性當a>1時，ax是增函數；當a> 1時，logax是增函數；當0vav1時，ax是減函數.當0vav 1時，logax是減函數.圖像

7、y=ax的圖像與y=logax的圖像關于直線y=x對稱.號函數幕函數的圖像與性質哥函數y xn隨著n的不同，定義域、值域都會發生變化，可以采取按性質和圖像分1 1類記憶的萬法.熟練掌握 y x ,當n 2, 1, 一，一，3的圖像和性質，列表如下.2 3從中可以歸納出以下結論： 它們都過點1,1 ,除原點外，任何幕函數圖像與坐標軸都不相交，任何幕函數圖像都不過第四象限.小 11 a -,一,1, 2,3時，哥函數圖像過原點且在0,上是增函數.3 2小1 一a -, 1, 2時，哥函數圖像不過原點且在0, 上是減函數.2任何兩個幕函數最多有三個公共點.y xn奇函數偶函數非奇非偶函數! 

8、7; 1TRgT _,T j. /；：,-31,產，. r1咨 1D5 l定義域RRR1#* ' F：J奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第I象限的增減 性在第I象限 單調遞增在第I象限 單調遞增在第I象限 單調遞增在第I象限 單調遞增在第I象限 單調遞減哥函數y x （X R,是常數）的圖像在第一象限的分布規律是：所有備函數y X （ x R,是常數）的圖像都過點（1,1） ;當 2時函數y x的圖像都過原點（0,0）；當 1時，y x的的圖像在第一象限是第一象限的平分線（如c2）；當2,3時，y x的的圖像在第一象限是“ 凹型”曲線（如Cl）1當 2時，y x的的圖像在第一象限是“ 凸型”曲

9、線（如c3）當 1時，y x的的圖像不過原點（0，0）,且在第一象限是“下滑”曲線（如c4）當 0時，哥函數y x有下列性質：（1）圖象都通過點（0,0）,（1,1）;（2）在第一象限內都是增函數；（3）在第一象限內，1時，圖象是向下凸的；01時，圖象是向上凸的；（4）在A象限內，過點 （1,1）后, 圖象向右上方無限伸展。當 0時，哥函數y x有下列性質：（1）圖象都通過點（1,1）;（2）在第一象限內都是減函數，圖象是向下凸的；（3）在第一象限內，圖象向上與y軸無限地接近；向右無限地與 X軸無限地接近；（4）在A象限內，過點 ）后， 越大，圖象下落的速度越快。無論 取任何實數，幕函數y x

10、的圖象必然經過第一象限，并且一定不經過第四象限對號函數0,+ 8）的圖象似符號“一b函數y ax （a>o,b>0）叫做對號函數，因其在（ x而得名，利用對號函數的圖象及均值不等式,當x>0時，ax2、b （當且僅當ax . a時取等號），由此可得函數y ,abax 一 x(a>0,b>0,x C R+)的性質：bi一皿一時，函數yabb ax (a>0,b>0,xC R )有取小值 21一,特別地，當 a=b=1b ）上是減函數，在區間（ ab時函數有最小值2。函數y ax - （a>0,b>0）在區間（0,x+ °°

11、）上是增函數。bb因為函數y ax (a>0,b>0)是奇函數，所以可得函數 y ax (a>0,b>0,x e R-) xx的性質：- b . bb 當x 時，函數y ax (a>0,b>0,x C R )有取大值-2y ,特別地，當a=b=1 :axa時函數有最大值-2。函數y ax (a>0,b>0)在區間(-°°, -、口)上是增函數，在區x' ab 間(-I一 , 0)上是減函 a奇函數和偶函數(1)如果對于函數f(x)的定義域內的任意一個x值，都有f( x)= (x).那么就稱f(x)為奇函數.如果對于函數

12、f(x)的定義域內的任意一個x值，者B有f(-x)=f(x),那么就稱f(x)為偶函數.說明：(1)由奇函數、偶函數的定義可知，只有當f(x)的定義域是關于原點成對稱的若干區間 時，才有可能是奇(2)判斷是不是奇函數或偶函數，不能輕率從事，例如判斷f(x)是不易的.為了便于判斷有時可采取如下辦法：計算f(x)+f( -x),視其結果而說明是否是奇函數.用這個方法判斷此函數較為方便：f(x)(3)判斷函數的奇偶性時，還應注意是否對定義域內的任何x值，當xW0時，顯然有f( x)= f(x),但當x=0時，f(x)=f(x)=1 ,，f(x)為非奇非偶函數.(4)奇函數的圖象特征是關于坐標原點為對

13、稱的中心對稱圖形；偶函數的圖象特征是關于y軸為對稱軸的對稱圖形.(5)函數的單調性與奇偶性綜合應用時，尤其要注意由它們的定義出發來進行論證.例 如果函數f(x)是奇函數，并且在(0, +8)上是增函數，試判斷在( 8, 0)上的增減性.解設 x1, x2 (-°°, 0),且 x1 V x2 V 0則有x1 >- x2>0,f(x)在(0, +8)上是增函數，.f(-x1)>f(-x2)又 f(x)是奇函數，f(x)= - f(x)對任意x成立，=f(x1) >- f(x2) .f(x1)<f(x2).f(x)在( 8, 0)上也為增函數.由此

14、可得出結論：一個奇函數若在(0, +8)上是增函數，則在( 8, 0)上也必是增函數， 即奇函數在(0, +8)上與( 8, 0)上的奇偶性相同.類似地可以證明，偶函數在(0, +8)和( 8, 0)上的奇偶性恰好相反.時，f(x)的解析式解x< 0,- x>0.又f(x)是奇函數，f( x尸一f(x).偶函數圖象對稱性的拓廣與應用我們知道，如果對于函數y = f(x)定義域內任意一個X,都有 f( x)=f(x),那么函數y = f(x)就叫做偶函數.偶函數的圖象關 于y軸對稱，反之亦真.由此可拓廣如下：如果存在常數a, b,對于函數y = f(x)定義域內任意一個x, a+x,

15、 b-x 仍在定義域丸且3 40他-班 那么函藪V = E的圖象關于直卷對稱鼻(這 樣的函數我們不妨稱之為廣義偶函數)反之亦真.京+ k證明設Pg EW)是函數圖象上任一點，則它關于直線黑=一的對稱點為F(a+b-x , f(x),而 f(a +b x)=fa +(bx) =fb (b - x) =f(x),對稱點 P'(a+b-x ,f)仍在函數的圖象上，所以函數y二期)的圖象關于直線乂二土箸對稱.11反之，如符二電)的圖象關于直線戈二審對稱，設川+航通+瑞為圖象上 禽|l任一點，則它關于直縹=一的對禰點為Pfb 宜，因此，£(a+ = £(bX).以上拓廣簡記為：f(a +啰=f(b-啰O函數y =