1、第一章玻爾的量子化條件，索末菲的量子化條件。黑體：能吸收射到其上的全部輻射的物體，這種物體就稱為絕對黑體，簡稱黑體。普朗克量子假說：表述 1：對于一定頻率 的輻射，物體只能以h為能量單位吸收或發射電磁輻射。表述2 ：物體吸收或發射電磁輻射時，只能以量子的方式進行，每個量子的能量為： =h。表述 3：物體吸收或發射電磁輻射時，只能以能量的整數倍來實現，即 ，2 ，3 ， 。光電效應：光照射到金屬上，有電子從金屬上逸出的現象。這種電子稱之為光電子。光電效應有兩個突出的特點：存在臨界頻率 0 ：只有當光的頻率大于一定值v0 時，才有光電子發射出來。若光頻率小于該值時，則不論光強度多大，照射時間多長，

2、都沒有光電子產生。光電子的能量只與光的頻率有關，與光的強度無關。 光的強度只決定光電子數目的多少。愛因斯坦光量子假說：光 (電磁輻射 )不僅在發射和吸收時以能量 E= h 的微粒形式出現， 而且以這種形式在空間以光速 C 傳播，這種粒子叫做光量子，或光子。愛因斯坦方程光電效應機理：當光射到金屬表面上時，能量為E= h 的光子立刻被電子所吸收，電子把這能量的一部分用來克服金屬表面對它的吸引，另一部分就是電子離開金屬表面后的動能。解釋光電效應的兩個典型特點：存在臨界頻率v0：由上式明顯看出，當h - W 0 0 時，即 0 = W 0 / h 時，電子不能脫出金屬表面，從而沒有光電子產生。光電子動

3、能只決定于光子的頻率：上式表明光電子的能量只與光的頻率 有關，而與光的強度無關。康普頓效應：高頻率的X 射線被輕元素如白蠟、石墨中的電子散射后出現的效應。康普頓效應的實驗規律：散射光中，除了原來X 光的波長 外，增加了一個新的波長為 的 X 光，且 ；波長增量 = -隨散射角增大而增大。量子現象凡是普朗克常數 h 在其中起重要作用的現象光具有微粒和波動的雙重性質，這種性質稱為光的波粒二象性與運動粒子相聯系的波稱為德布羅意波或物質波。EhhPnkh2, kn2光譜線： 光經過一系列光學透鏡及棱鏡后，會在底片上留下若干條線，每個線條就是一條光譜線。所有光譜線的總和稱為光譜。線狀光譜：原子光譜是由一

4、條條斷續的光譜線構成的。21.標識線狀光譜：對于確定的原子，在各種激發條件下得到的光譜總是完全一樣的，也就是說，可以表征原子特征的線狀光譜。第二章量子力學中，原子的軌道半徑的含義。波函數的物理意義：某時刻t 在空間某一點 (x,y,z) 波函數模的平方與該時刻t 該地點 (x,y,z)附近單位體積內發現粒子的幾率密度(通常稱為幾率 )dw(x,y,z,t) 成正比。 按照這種解釋， 描寫粒子的波是幾率波。波函數的特性： 波函數乘上一個常數后，并不改變在空間各點找到粒子的幾率，即不改變波函數所描寫的狀態。21 (2.1- 7)波函數的歸一化條件(x, y, z, t) d態疊加原理：若體系具有一

5、系列不同的可能狀態1， 2， n，則這些可能狀態的任意線性組合，也一定是該體系的一個可能的狀態。也可以說， 當體系處于態 時，體系部分地處于態 1， 2， n 中。波函數的標準條件：單值性，有限性和連續性，波函數歸一化。定態： 微觀體系處于具有確定的能量值的狀態稱為定態。定態波函數： 描述定態的波函數稱為定態波函數。 。定態的性質： 由定態波函數給出的幾率密度不隨時間改變。粒子幾率流密度不隨時間改變。任何不顯含時間變量的力學量的平均值不隨時間改變。本征方程、本征值和本征波函數：在量子力學中，若一個算符作用在一個波函數上，等于一個常數乘以該波函數，則稱此方程為該算符的本征方程。常數 fn 為該算

6、符的第n 個本征值。波函數 n 為 fn 相應的本征波函數。束縛態：在無窮遠處為零的波函數所描述的狀態。基態：體系能量最低的態。宇稱： 在一維問題中， 凡波函數 (x) 為 x 的偶函數的態稱為偶 (正 )宇稱態； 凡波函數 (x) 為 x 的奇函數的態稱為奇 (負 )宇稱態。在一維空間內運動的粒子的勢能為( 2x2)/2， 是常數，這種粒子構成的體系稱為線性諧振子。線性諧振子的能級為：En(n12 ),n0,1,2,3,透射系數： 透射波幾率流密度與入射波幾率流密度之比。反射系數： 反射波幾率流密度與入射波幾率流密度之比。隧道效應：粒子在能量E 小于勢壘高度時仍能貫穿勢壘的現象。16量子力學

7、的波函數與經典的波場有何本質性的區別？答: 量子力學的波函數是一種概率波，沒有直接可測的物理意義，它的模方表示概率，才有可測的意義；經典的波場代表一種物理場，有直接可測的物理意義。17什么是量子力學中的定態？它有什么特征？答：定態是一種特殊狀態即能量本征態，在定態下，一切顯含時間的力學量（不管是否為守恒量）的平均值和幾率分布都不隨時間改變， 粒子在空間的幾率密度和幾率流密度也不隨時間改變。第三章算符 : 作用在一個函數上得出另一個函數的運算符號， 量子力學中的算符是作用在波函數上的運算符號。厄密算符的定義： 如果算符?滿足下列等式?為厄密算符。Fdx ，則稱FF dxF式中 和 為任意波函數，

8、x 代表所有的變量，積分范圍是所有變量變化的整個區域。推論：量子力學中表示力學量的算符都是厄密算符。厄密算符的性質：厄密算符的本征值必是實數。厄密算符的屬于不同本征值的兩個本征函數相互正交。簡并：對應于一個本征值有一個以上本征函數的情況。簡并度：對應于同一個本征值的本征函數的數目。氫原子的電離態：氫原子中的電子脫離原子的束縛，成為自由電子的狀態。電離能：電離態與基態能量之差氫原子中在半徑 r 到 r+dr 的球殼內找到電子的概率是： Wr drR2rr 2drnl ( )nl( )在方向 ( ， )附近立體角 d內的概率是：2wlm ( , )d Ylm ( , ) d兩函數 1和 2 正交的

9、條件是：10 式中積分是對變量變化的全部區域進行的，2d則稱函數 和 相互正交。12正交歸一系：滿足正交條件的歸一化本征函數 k 或 l 。厄密算符本征波函數的完全性：如果? 是本n(r) 是厄密算符F 的正交歸一本征波函數，n征值，則任一波函數 (r) 可以按 n(r) 展開為級數的性質。或者說 n(r) 組成完全系。算符與力學量的關系： 當體系處于算符?的本征態 時，力學量 F 有確定值， 這個值就是F算符 ? 在 態中的本征值。力學量在一般的狀態中沒有確定的數值，而有一系列的可能值，F這些可能值就是表示這個力學量的算符的本征值。每個可能值都以確定的幾率出現。算符對易關系：?A , B?

10、? ?。A BB A可對易算符：如果不對易算符：如果? ?A , B? ?A , B0?，則稱算符 A與 B 是可對易的；0?，則稱算符 A 與 B 是不對易的。兩力學量同時有確定值的條件：定理 1：如果兩個算符F? 和 G? 有一組共同本征函數 n，而且 n 組成完全系，則算符對易。定理 2：如果兩個算符F? 和 G? 對易，則這兩個算符有組成完全系的共同本征函數。測不準關系：當兩個算符不對易時，它們不能同時有確定值，( F)22k 2( G )4量子力學中力學量運動守恒定律形式是：d FF1? ?0dttiF , H量子力學中的能量守恒定律形式是：d H?1H? , H?0dti空間反演：

11、把一個波函數的所有坐標自變量改變符號(如 r r)的運算。宇稱算符：表示空間反演運算的算符。宇稱守恒：體系狀態的宇稱不隨時間改變。16.相關關系式：?i?2，p, L0,(x, y, z)L,?L x, Lyi Lz?0， (x, y, z)綜合寫成：? ?L y, Lzi L xL，LL L i L?Lz , L xi L y?0, (L ,?Ly, zi x;?0,(L, p?i?Ly, pzpx;?2?x, px f (x)2i px f (x),x, y, z)?i z;?, xi zLx , yLy?yi x?xi y?zi yLz,Lz,Lx,;x, y, z)?Lx, pyi p

12、z;Ly, pxi pz?Lz, pyi pxLz, pxi py;Lx, pzi py?x, px f ( x) pxi f ( x) pxpx f (x) ,p L L p 2i p第四章基底：設 e1, e2, e3 為線性無關的三個向量，空間內任何向量v 必是 e1, e2, e3 的線性組合，則 e1 , e2, e3 稱為空間的基底。正交規范基底：若基底的向量互相垂直，且每一向量的長度等于 1，這樣的基底叫做正交規范基底。希耳伯特空間：如果把本征波函數 m 看成類似于幾何學中的一個矢量( 這就是波函數有時稱為態矢量或態矢的原因)，則波函數的集合 m構成的一個線性空間。表象：量子力學

13、中，態和力學量的具體表示方式。第五章1.斯塔克效應：在外電場中，原子光譜產生分裂的現象。2.分別寫出非簡并態的一級、二級能量修正表達式。3.周期微擾產生躍遷的條件是：mk或mk，說明只有當外界微擾含有頻率mk 時，體系才能從k 態躍遷到m 態，這時體系吸收或發射的能量是mk ，這表明周期微擾產生的躍遷是一個共振躍遷。4.光的吸收現象：在光的照射下，原子可能吸收光的能量由較低的能級躍遷到較高的能級的現象。5.原子的受激輻射( 躍遷 )現象：在光的照射下，原子從較高的能級躍遷到較低的能級而放出光的現象。6.原子的自發輻射( 躍遷 )現象：在無光照射時，處于激發態的原子躍遷到較低能級而發光的現象。7

14、.自發發射系數A：表示原子在單位時間內，由 能級自發躍遷到 能級，并發射出能mkmk量為mk 的光子的幾率。8.受 激發 射系 數 Bmk ： 作用于 原子的 光波 在d 頻 率范圍 內 的能 量密 度是I ( )d，則在單位時間內，原子由能級受激躍遷到能級 、并發射出能量為mk的mk光子的幾率是Bmk I (mk ) 。9.吸收系數 Bkm：原子由低能級kmmk 躍遷到高能級 、并吸收能量為的光子的幾率是Bkm I (mk ) 。第七章斯特恩 -革拉赫實驗證明電子存在自旋理由。塞曼效應：在外磁場中，每一條光譜線劈裂成一組相鄰譜線的現象。簡單 (正常 )塞曼效應：無外磁場時的一條光譜線，在磁場

15、中將分裂為三條光譜線。產生的條件是：當外磁場足夠大時，自旋和軌道運動間相互作用可以忽略。復雜 (反常 )塞曼效應：無外磁場時的一條光譜線，在磁場中將分裂為更多條光譜線。產生的條件是：在弱外磁場中，必須考慮自旋和軌道運動間相互作用。兩個電子自旋角動量耦合的自旋總角動量S：Ss(s1)， sss，ss1，01212所以兩個電子自旋角動量耦合的自旋總角動量只能有兩個可能值。兩個電子軌道角動量耦合的軌道總角動量L ：Ll(l1) , ll1l2, l1l21, l1l22, l1l2對于兩個電子，就有幾個可能的軌道總角動量。電子自旋角動量與軌道角動量耦合為一個總角動量J1：Jls , l1s，s111

16、1112每個電子只有兩個J1 值。LS 耦合總角動量J：Jj( j1) ,jls, ls 1, ls2, lsjj 耦合總角動量J：Jj( j1) ,jj1j2, j1j21, j1j22, j1j2價電子：原子最外層的電子。原子的化學性質以及光譜特性都決定于價電子。內層電子：原子中除價電子外的剩余電子。原子實：原子核與內層電子組成一個完整而穩固的結構。電子組態：價電子所處的各種狀態。原子態：原子中電子體系的狀態。原子態符號：用來描述原子狀態的符號。原子態符號規則：用軌道總量子數l、自旋總量子數s 和總角動量量子數j 表示軌道總量子數l=0,1,2,，對應的原子態符號為S,P,D ,F,H ,

17、I,K,L, ;原子態符號左上角的數碼表示重數，大小為2s +1, 表示能級的個數。原子態符號右下角是j 值 ，表示能級對應的j 值 。形式為： 2s 1Sj , 2s 1Pj, 2s 1Dj , 2s 1F j,光譜的精細結構： 用分辨率足夠高的儀器觀察類氫原子的光譜線，會發現每一條光譜線并不是簡單的一條線，而是由二條或三條線組成的結構，這種結構稱為光譜的精細結構。原子態能級的排序(洪特定則 )：(1) 從同一電子組態形成的、具有相同L 值的能級中，那重數最高的，即S 值最大的能級位置最低；(2) 從同一電子組態形成的、具有不同L 值的能級中，那具有最大L 值的位置最低。輻射躍遷的普用選擇定

18、則：1、選擇定則：原子光譜表明，原子中電子的躍遷僅發生在滿足一定條件的狀態之間，這些條件稱為選擇定則。2、原子的宇稱：如果原子中各電子的l 量子數相加，得到偶數，則原子處于偶宇稱狀態；如果是奇數，則原子處于奇宇稱狀態。3、普遍的選擇定則：躍遷只能發生在不同宇稱的狀態間，偶宇稱到奇宇稱，或奇宇稱到偶宇稱。電子能否有躍遷首先要考慮這一條，然后按照耦合類型再有以下定則。 LS 耦合選擇定則： S 0 ，要求單一態電子只能躍遷到單一態，三重態電子只能躍遷到三重態。 l 0, 1 ，當 l 0 時，要考慮宇稱奇偶性改變的要求。j0,1 ，j0 至 j0 的躍遷是禁止的。jj 耦合選擇定則：j1j20,1

19、j0,1 ， j0 至 j0 的躍遷是禁止的。全同粒子：質量、電荷、自旋等固有性質完全相同微觀粒子。全同粒子的特性：全同粒子具有不可區分性，只有當全同粒子的波函數完全不重疊時，才是可以區分的。21.全同性原理 : 在全同粒子所組成的體系中，兩全同粒子相互代換不引起物理狀態的改變。22.對稱波函數：設qi 表示第 i個粒子的坐標和自旋，(q1, ,qi,qj, ,t)表示體系的波函數。如果兩粒子互換后波函數不變，則是 q 的對稱波函數。23.反對稱波函數：設qi 表示第 i 個粒子的坐標和自旋，(q1, ,qi,qj, ,t) 表示體系的波函數。如果兩粒子互換后波函數變號，則 是 q 的反對稱波

20、函數。24.對稱性守恒原理：描寫全同粒子體系狀態的波函數只能是對稱的或反對稱的，它們的對稱性不隨時間改變。如果體系在某一時刻處于對稱(反對稱 )的狀態， 則它將永遠處于對稱(反對稱 )的狀態上。25.費密子：自旋為2或奇數倍的全同粒子。費密子的特點：組成體系的波函數是反對稱2的，服從費密狄拉克統計。26.玻色子：自旋為零、或整數倍的全同粒子。玻色子的特點：組成體系的波函數是對稱的，服從玻色愛因斯坦統計。27.交換簡并：由全同粒子相互交換而產生的簡并。28.泡利不相容原理：不能有兩個或兩個以上的費密子處于同一狀態。29.交換能的出現，是由于全同粒子的波函數必須是對稱波函數或反對稱波函數的緣故。3

21、0.交換能J 與交換密度有關，其大小決定于兩個電子波函數重疊的程度。重疊程度越大，交換能就越大。31.LS 耦合引起的精細結構分析。如n=3 能級中，有一個p 電子和 d 電子所引起的能級差別(原子態 )。32. 對氫原子，不考慮電子的自旋，能級的簡并度，考慮自旋但不考慮自旋與軌道角動量的耦合時，能級的簡并度，如再考慮自旋與軌道角動量的耦合，能級的簡并度。33. 反常塞曼效應的特點，引起的原因。(堿金屬原子能級偶數分裂；光譜線偶數條；分裂能級間距與能級有關；由于電子具有自旋。)量子力學期末試題及答案一一、（20 分）已知氫原子在 t0 時處于狀態( x,0)12 ( x)121 ( x)023

22、( x)1303130其中，n (x) 為該氫原子的第 n 個能量本征態。求能量及自旋z 分量的取值概率與平均值，寫出 t0 時的波函數。解已知氫原子的本征值為Ene41， n 1,2,3,（ 1）22n2將 t0 時的波函數寫成矩陣形式12( x,0)3 2 x33 x2（ 2）1x3利用歸一化條件c21dx32* x233* x2312 x2x*x33312x（ 3）31124c7c229999于是，歸一化后的波函數為91x2x12x23x323377（ 4）( x,0)247xx17 13能量的可能取值為E1 , E2 , E3 ，相應的取值幾率為W E1,04;W E2, 0 1;W

23、3E ,02（ 5）777能量平均值為E 04 E11 E 22 E3777（ 6）e4411121161 e4227174795042自旋 z 分量的可能取值為,，相應的取值幾率為22W s, 01 23W; s, 04（ 7）z2777z27自旋 z 分量的平均值為sz034（ 8）727214t 0 時的波函數12 x expi E2 t23x expi E3 t77（ 9）( x, t )4i1 x expE1t7二. （ 20 分） 質量為 m 的粒子在如下一維勢阱中運動V0 0.x0V xV0 ,0x a0,xa若已知該粒子在此勢阱中有一個能量EV0的狀態，試確定此勢阱的寬度a 。

24、2解對于V0E0 的情況，三個區域中的波函數分別為1x02xA sin kx（1）3xB expx其中，k2m(E V 0 ) ;2m E（2）利用波函數再 x0 處的連接條件知，n， n0,1,2,。在 xa 處，利用波函數及其一階導數連續的條件2a3a2a3（ 3）a得到Asin kanB expaAk cos kanB（ 4）expa于是有tan kak（5）此即能量滿足的超越方程。當E1V0時，由于2m V0 am V0tan1m V0（ 6）故m V0n 1 , 2 ,3 ,an4（ 7）最后得到勢阱的寬度an（ 8）三、（20 分）證明如下關系式14m V0（1）任意角動量算符?滿

25、足?。jjj i j證明 對 x 分量有? ? ?jjj yj zj z j y =i j xx同理可知，對 y 與 z 分量亦有相應的結果，故欲證之式成立。投影算符 ?n是任意正交歸一的完備本pn n n 是一個厄米算符， 其中，征函數系。證明 在任意的兩個狀態與之下，投影算符 ?的矩陣元為pn?nnpn而投影算符 ?的矩陣元為pn 的共軛算符 pn?*?*pnpnpnn*n*nnn n顯然，兩者的矩陣元是相同的，由與的任意性可知投影算符p?n是厄米算符。利用k*xkxxx 證明xp?x mnxmkp?x kn ，其中，kx為kk任意正交歸一完備本征函數系。證明?dx*?xxp x mnmx

26、 xp x ndx*x x dxx?mx p x n xdx*x x dxx?n xmx p xdx*x x dx*x?n xmkkk x p xdx*x xkx*?n xmdxkx p xkxmkp?xknk四、（20 分）在 L2 與 Lz 表象中，在軌道角動量量子數l1 的子空間中，分別計算算符 L?x 、 L?y 與 L?z 的矩陣元，進而求出它們的本征值與相應的本征矢。解在 L2 與 Lz 表象下，當軌道角動量量子數l1 時， m1,0, 1，顯然，算符 L?x 、 L?y 與 L?z 皆為三維矩陣。由于在自身表象中，故?z 是對角矩陣，且其對角元為相應的本征值，于是L有?10000

27、0（ 1）Lz001相應的本征解為Lz;Lz0 ;Lz;1100001（2）00101對于算符 L?x 、 L?y 而言，需要用到升降算符，即?1?Lx2LL（ 3）1?Ly2iLL而?（ 4）L l ml l1m m1 , l m1當 l 1,m 1,0, 1時，顯然，算符 ? 、 ? 的對角元皆為零，并且，Lx Ly?1, 1?11, 101 , 1Lx1 ,Ly?（ 5）1 , 11 , 101 , 1Lx1Ly, 1只有當量子數 m 相差 1時矩陣元才不為零，即1 ,?1 , 0?01 , 1?1,11,01Lx1L,xL x1 , 01L, 1x2?1 , 1?i（ 6）1 , 0L

28、y1Ly, 11 , 021 ,?1 , 0?0i1L y1L,y1 , 12于是得到算符 L?x 、 L?y 的矩陣形式如下0100i0?101?i0i（7）Lx;Ly20102 0i0?L y 滿足的本征方程為0i0c1c1i0ic 2c 2（ 8）2i0c 3c30相應的久期方程為i0i2i（9）202i02將其化為320（）10得到三個本征值分別為1;20;3（11）將它們分別代回本征方程，得到相應的本征矢為i11i10;1（12）12 ;2232212ii?L x 滿足的本征方程為010c1c1101c 2c 2210c 3c 30（13）相應的久期方程為0202202（14）將其化

29、為320（15）得到三個本征值分別為1;20;3（16）將它們分別代回本征方程，得到相應的本征矢為1111112 ;0 ;2（17）12223 2111五、（20 分）由兩個質量皆為、角頻率皆為的線諧振子構成的體系，?x1 x 2 （ x 1 , x 2 分別為兩個線諧振子的坐標）后，用微擾論加上微擾項 W求體系基態能量至二級修正、第二激發態能量至一級修正。提示：線諧振子基底之下坐標算符的矩陣元為1nn1m x n2m,n 12m,n 1式中，。解體系的哈密頓算符為?HH 0W其中?1221222H 02p?1p?22x1x2?x1 x2W?的解為已知 H0En0n 1nx1 , x2n1x1

30、n2x2其中n1 , n2 , n 0,1,2,1,2,3, f n將前三個能量與波函數具體寫出來E00;00 x10 x2E102 ,110 x11 x2121x10x2E203 ,212 x10 x2220x12x2231x11x2對于基態而言， n1 n2n0 ， f 01，體系無簡并。（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）（ 5）利用公式m x1nn1n2m,n 12m,n 1可知10?00E0Wf n0?0E02W nn WE00En0n 01顯然，求和號中不為零的矩陣元只有?23?00 W23 W22于是得到基態能量的二級修正為2122E0E00E204 48 2 3第二激發態為三度簡并

31、，能量一級修正滿足的久期方程為W11 E21W12W13W21W22 E21W230W31W32W33 E21其中W1 1W 2 2W 3 3W 12W 021W1 3W 3 1W 2 3W 3 222將上式代入（ 10）式得到10E2220E212202222E21整理之， E21 滿足32E214 E210于是得到第二激發態能量的一級修正為E2112 ;E2210;E2312（ 6）（ 7）（ 8）（ 9）（10）（11）（12）（13）（14）量子力學期末試題及答案二一、填空題（本大題共10 小題，每小題 3 分，共 30 分）1、A,B 兩束光， A 的波長A3 10 9 m， B的波

32、長B4 10 10 m ，請問哪束光的能量更高？A.2、微觀粒子的波函數應滿足的三個標準條件是單值性，連續性，有限性.3、一粒子的波函數( x)3x2e x ，請問該粒子是否處在動量的本征態？否.4、粒子穿過方勢壘，請問透射系數隨著勢壘的加高減小還是增大？減小.5、假如兩力學量算符具有共同的本征函數，則此這個算符是否對易？對易.、對易關系?2， ? ?6 L, L 0 L , L i L ， ,?.zxyzLx yi z7、已知 x, pxi,則 xpx.28、算符在其自身表象中的表示是否為對角矩陣？是.9、已知泡利算符分量10y 的矩陣表達式z， x,01分別為 x01， y0i.10i010、寫出氧原子（原子序數z8 ）的電子排布 :1s2 2s2 2 p4 .二、解答題（本大題共 6 小題，共 70 分）, x0,1、一粒子在一維勢場 U (x)0,0xa 中運動，求粒子的能級和對應的波函數。, xa解：一位無限深勢阱中，定態薛定諤方程d 2(x) 22 (U E) (x)（ 1）（2 分）dx2在阱外， x0, xa ,U ( x)，若波函數 ( x)d 2, 這是沒有o , 由 (1) 式得2dx意義的。因此 ,在阱外必有(x)0。 （2分）在阱內 , 0 x