1、實驗3 FFT算法的應用實驗目的：加深對離散信號的DFT的理解及其FFT算法的運用。實驗原理：N點序列的DFT和IDFT變換定義式如下：N-l1 N-1XI 幻= 叱夕，x=ZX 伙叱丁N &_0- nk利用旋轉因子w： =e具有周期性，可以得到快速算法(FFT) 0在MATLAB中，可以用函數群fft (x, N)和x=ifft (X, N)計算N點序列的DFT正、反 變換。例1對連續的單一頻率周期信號按采樣頻率采樣，截取長度N分別選N=20和*二16,觀察其DFT結果的幅度譜。解 此時離散序列，即k=8。用MATLAB計算并作圖，函數fft用于計算離散傅里葉變換DFT,程序如下：k=8;n

2、l=0:l:19;xal=s in(2*pi*nl/k);subplot (2, 2, 1)plot (nl, xal)xlabel C t/T) ;ylabel (, x(n)J);xkl=fft(xal);xkl=abs(xkl);subplot (2, 2, 2)stem(nl, xkl)xlabel ( k) ; ylabel ( X (k);n2= 0:1:15;xa2=s in(2*pi*n2/k);subplot (2, 2, 3)plot (n2, xa2)xlabel C t/T ) ; ylabel ( x(n);xk2=fft(xa2);xk2=abs(xk2);subp

3、lot (2, 2, 4)stem(n2, xk2)xlabel C k) ; ylabel ( X(k);計算結果示于圖2.1, （a）和（b）分別是八上20時的截取信號和DFT結果,由于截取了兩個半周期，頻譜出現泄漏；（c）和（d）分別是P16時的截取信號和DFT結果, 由于截取了兩個整周期，得到單一譜線的頻譜上述頻譜的誤差主要是由于時域中對信號的 非整周期截斷產生的頻譜泄漏。實驗內容:（1） 2N點實數序列cos（竺 7） + L cos（至 19）, = 0,1,2,2N 1N 2 N0,其它N=64o用一個64點的復數FFT程序，一次算出X（Z） =。口N卜可，并繪出|X（切（2）已

4、知某序列X（）在單位圓上的64等分樣點的Z變換為1-0&，-*包=2-63用N點IFFT程序計算X（n） = IDFTX （%）,繪出和X（H）o實驗要求：利用MATLAB編程完成計算，繪出相應圖形。并與理論計算相比較，說明實驗結 果的原因。（1） 用以下代碼實現可得圖6T所示的DFT圖0 N=64; n=0:2*N-l; x=cos(2*pi*7*n/N)+l/2*cos(2*pi*19*n/N); X=fft (x, 128); k=n; stem(k, abs (X) grid xlabel C k*); ylabel C Xk);理論分析如下:由歐拉公式得:xn = cos 有 x 7

5、/0 + geos(三xl9n)對 pn = e，其2N點的DFT變換為:*-j黑盟L黑-Mpm= pne 小= 小“=0=0/ 二 x2M21一6 2當 2Z W in 時，“ =0j(2kn)當2%=加時，BPp2k = 2N由此可得當k=14, 38, 90,1可時有值其余為0(OSk 4 2N-1 )x14 = a-114 = 64, 乂38=凡90 = 32與圖6-1有相同的結論。(2)用以下代碼可得圖6-2 N=64; k=0:N-l; X=l./(l-0. 8*exp(-j*2*pi*k/N); x = if ft (X, 64); n=k; stem(n, abs (x) gr

6、id圖6-2 xlabelC n );ylabelC xn1);理論分析如下:由M=，,其z變換為X(z) = 一1可得1 一 Z,其 N=64 點的 DFT 為：63 把“ 1-0.8641Xk = y K 乒 再念:1-0.81641-0.8e 得X(q) = X(%) = -j2in，k = J,2,631 UX其IDFT為:m=匚焉乂0.8 5 = 0,1,2 63)比較用IFFT函數時，得其結果是復數求其模值與理論值進行比較得: xl=l/(l-0.8N)*0. 8. delta=xl-abs (x)delta =1.0e-015 *Columns 1 through 900. 11

7、100. 22200. 11100. 22200.16650. 11100. 0278-0. 0555Columns 10 through 18-0. 1110-0. 0416-0. 0833-0. 0833-0. 0625-0. 0278-0. 0347-0. 01390. 0035Columns 19 through 270. 00350. 01730. 0087-0.0347-0. 0755-0. 0668-0. 0572-0. 01000. 0507Columns 28 through 360. 06940. 09820. 12120. 15940.12320. 12310. 13170. 12760. 0911Columns 37 through 450. 03950. 05380. 00980. 0245-0. 0054-0. 0737-0. 0950-0. 1385-0. 1163Columns 46 through 54-0. 0917-0. 0359-0. 0523-0. 0418-0. 0133-0. 0745-0. 0846-0. 0455-0. 0836Columns 55 through 63-0. 0689-0. 0843-0. 1010-0. 0895-0. 0400-0. 0358-0. 01560.