1、第第2章章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布 在第一章里，我們研究了隨機事件及其概率，建立了概率論中的一些基本概念，通過隨機事件的概率計算使我們初步了解了如何定量描述和研究隨機現象及其統計規律的基本方法然而實際中由一個隨機試驗導出的隨機事件是多種多樣的，因此，想通過隨機事件概率的計算來達到了解隨機現象的規律性顯得很不方便 本章，我們將引進概率論中的一個重要概念隨機變量隨機變量的引進是概率論發展史上的 重大事件，它使概率論的研究從隨機事件轉變為隨機變量，使隨機試驗的結果數量化，這有利于我們用分析的方法來研究隨機現象的統計規律 本章我們將介紹隨機變量的概念、隨機變量的分布及一些常見的典型分布，給出

2、分布函數的概念及計算，最后給出隨機變量函數的分布教學要求：教學要求： 理解并掌握隨機變量的概念理解并掌握隨機變量的概念;隨機事件可以采取數量的標識。如：隨機事件可以采取數量的標識。如：抽樣檢查產品時廢品的個數。抽樣檢查產品時廢品的個數。擲骰子出現的點數。擲骰子出現的點數。對沒有數量標識的事件，可以人為加上數量標志。對沒有數量標識的事件，可以人為加上數量標志。產品為優質品記為產品為優質品記為1，次品記為，次品記為2，廢品記為，廢品記為3。天氣下雨記為天氣下雨記為1，不下雨記為，不下雨記為0。 一、 隨機變量的概念 隨機試驗的結果本身有兩種表達形式：一種是數值型，一種是描述型為了全面地研究隨機試驗

3、的結果，揭示客觀存在著的統計規律性，我們將隨機試驗的結果數量化，引入隨機變量的概念. 實際中試驗的結果不管是哪種形式，我們總可以設法使其結果與唯一的實數對應起來，將它轉化為數值型這樣，不管隨機試驗可能出現的結果是否為數值型，我們總可以在試驗的樣本空間上定義一個函數，使試驗的每一個結果都與唯一的實數對應起來Ex1 (1) 擲一枚骰子，觀察出現的點數擲一枚骰子，觀察出現的點數.)6(,),2(),1(621點點出現出現點點出現出現點點出現出現eeeS 引入引入: 654321 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1)(eeeeeeeeeeeeeXX,33來表示來表示可用可用點點出現出現且事

4、件且事件 X.44來表示來表示可用可用出現點數不大于出現點數不大于事件事件 X（3 3）某燈泡廠所產的一批燈泡中燈泡的壽命）某燈泡廠所產的一批燈泡中燈泡的壽命X X。X X 的可能取值為的可能取值為 0,+ 0,+ ) )（2 2）某電話總機在一分鐘內收到的呼叫次數）某電話總機在一分鐘內收到的呼叫次數X.X.X X 的可能取值為的可能取值為 0 0，1 1，2 2，.（4 4）在）在00，11區間上隨機取點，該點的坐標區間上隨機取點，該點的坐標X.X.X X 的可能取值為的可能取值為 0 0，11上的全體實數。上的全體實數。2. 定義定義 .)(,)(,上的隨機變量上的隨機變量叫做樣本空間叫做

5、樣本空間則將單值實函數則將單值實函數與之對應與之對應有一個實數有一個實數如果對于每一個如果對于每一個的樣本空間為的樣本空間為設隨機試驗設隨機試驗SeXXeXSeSE .X記為記為3. 注意注意 (1)實質上，隨機變量就是把樣本空間進行了量化實質上，隨機變量就是把樣本空間進行了量化. . ,)2(來表示來表示母母隨機變量通常用大寫字隨機變量通常用大寫字ZYX.,表示它們可能取的值表示它們可能取的值用小寫字母用小寫字母zyx(3)隨機變量為一個實值函數，定義域為樣本空間隨機變量為一個實值函數，定義域為樣本空間. . ;)(是單值函數是單值函數eXX 自變量自變量e取哪一點具有隨機性，由于隨機變量取

6、值取哪一點具有隨機性，由于隨機變量取值有一定的概率，對于取某一點又有統計規律性；有一定的概率，對于取某一點又有統計規律性； .)(法則法則一般是人為規定的對應一般是人為規定的對應eXX (5)有了隨機變量，隨機事件都可用隨機變量來表示有了隨機變量，隨機事件都可用隨機變量來表示. .,:等等比如比如xXxX (4)(6)隨機變量的分類隨機變量的分類: : 離散型隨機變量離散型隨機變量：隨機變量所取的一切可能值為有限多個或可列個隨機變量所取的一切可能值為有限多個或可列個. . 如如ex1中（中（1）、（）、（2）連續型隨機變量連續型隨機變量：隨機變量所取的一切可能值可以充滿某個空間隨機變量所取的一

7、切可能值可以充滿某個空間. .如如ex1中中（3 3）、（）、（4 4） 其他類型隨機變量其他類型隨機變量. . 教學要求：教學要求：1. 理解離散型隨機變量的分布律及性質理解離散型隨機變量的分布律及性質; 2. 掌握幾個常用的離散型分布掌握幾個常用的離散型分布; 3. 會應用概率分布計算有關事件的概率會應用概率分布計算有關事件的概率; 一、離散型隨機變量的概率分布一、離散型隨機變量的概率分布 定義定義 設離散型隨機變量設離散型隨機變量X的所有可能取值為的所有可能取值為 ), 2 , 1( kxk相應的概率為相應的概率為, 2 , 1 , kpxXPkk稱上式為隨機變量稱上式為隨機變量X的概率

8、分布的概率分布或或分布律分布律. . 注意注意 1.概率分布可用表格表示為概率分布可用表格表示為: : Xkp1x2xnx1p2pnp2.概率分布滿足兩個條件概率分布滿足兩個條件: : );, 2 , 1( , 10)1( kpk. 1)2(1 kkp以上兩式即為概率分布的性質以上兩式即為概率分布的性質. . ex1. 設隨機變量設隨機變量X的分布律為的分布律為 X02 .2P X求P414121Solution. .412 XPXPex2.將將 1 枚硬幣擲枚硬幣擲 3 次，令次，令X -3 -1 1 3 kP X：出現的正面次數與反面次數之差：出現的正面次數與反面次數之差試求：試求： （1

9、）X 的分布律；的分布律；解：解： X 的可能取值為的可能取值為81838381-3， - 1，1，3并且分布率為并且分布率為 .35 .0)2( XP 1 XP.83 35 . 0XPex3. 從一裝有從一裝有4個紅球，個紅球，2個白球的口袋中，按以下兩個白球的口袋中，按以下兩 種方式取出種方式取出5個球：個球：(1) 每取一個，記下顏色后放回，再取下一個；每取一個，記下顏色后放回，再取下一個；(2) 取后不放回；取后不放回； 求取出球中紅球個數求取出球中紅球個數X的分布律的分布律.Solution. X012345P556254115624C53225624C52335624C544562

10、4C5564X34P562234CCC561244CCC練習：一練習：一袋中有袋中有5 5個乒乓球，編號分別為個乒乓球，編號分別為1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，從中隨機抽取，從中隨機抽取3 3個，以個，以X X表示取出的表示取出的3 3個球中最大個球中最大的號碼，求的號碼，求X X的的分布律分布律3511310P XC233513410CP XC243516510CP XCex4.設隨機變量設隨機變量 X 的分布律為的分布律為 ， 2141 ncnXPn試試求求常常數數 c解：解：由分布率的性質，得由分布率的性質，得 11411nnncnXP該級數為等比級數，故有該級數為等比級數，故

11、有 1411nnc341141cc 所以所以3 c練習：練習： 設隨機變量設隨機變量X的分布律為的分布律為,1,2,aP XkkNN試確定常數試確定常數a. .11NNkkaP XkN1a 1aNN二、幾個常用的離散型分布二、幾個常用的離散型分布 1. 0-1-1分布分布 or or 兩點分布兩點分布設隨機變量設隨機變量X只能取兩個值只能取兩個值, 它的分布律是它的分布律是Xkp01qp,1pq 則稱則稱X服從參數為服從參數為p的的0-1分布或兩點分布分布或兩點分布,)., 1(pBX記為記為2. 伯努利試驗與伯努利試驗與二項分布二項分布 伯努利試驗的定義伯努利試驗的定義: 在一固定不變的條件

12、下做一種試驗（在一固定不變的條件下做一種試驗（n次）次） ;:)1(AA與與有兩個有兩個每次試驗的可能結果只每次試驗的可能結果只; 1,)(,)()2( qpqAPpAP(3)各次試驗的結果互不影響各次試驗的結果互不影響, ,即相互獨立即相互獨立. . 這樣一串試驗稱為這樣一串試驗稱為n重伯努利試驗重伯努利試驗. . 當當n=1時時, ,稱為兩點分布稱為兩點分布. . 在在n重貝努利試驗中重貝努利試驗中A出現出現k次的概率公式次的概率公式 .1,)( ,pqpAPqpCkXPknkkn 其中其中Proof. 根據獨立事件概率的乘法定理，在根據獨立事件概率的乘法定理，在n次試驗中，次試驗中，事件

13、事件A在指定的在指定的k次實驗中發生，而在其余的次實驗中發生，而在其余的n-k次試驗中不發生的概率為次試驗中不發生的概率為 ,knkqp 而事件而事件A在在n次試驗中發生次試驗中發生k次，而不限定哪次，而不限定哪k次，所次，所以應有以應有 ,種種不不同同方方式式knC由此有由此有 .1 ,pqqpCkXPknkkn 注意到注意到: k的取值為的取值為0，1，2,n，于是，于是 )()1()0()(0nPPPkPnnnnkn . 1)( nqp二項分布二項分布設隨機變量設隨機變量X的分布律是的分布律是)., 2 , 1 , 0( ,1 ,nkpqqpCkXPknkkn 則稱則稱X服從參數為服從參

14、數為n,p的二項分布的二項分布,).,(pnBX記為記為3. 泊松分布泊松分布(Poisson)分布分布 設隨機變量設隨機變量X的分布律是的分布律是)., 2 , 1 , 0( , 0 ,! kekkXPk 則稱則稱X服從參數為服從參數為 的泊松分布的泊松分布, ).( X記為記為4. 幾何分布幾何分布 設隨機變量設隨機變量X的分布律是的分布律是)., 2 , 1( ,)1(1 kppkXPk則稱則稱X服從參數為服從參數為p的幾何分布的幾何分布, ).(pGX記為記為注意注意: 1. 兩點分布是二項分布的特殊情況，二項分布是兩點兩點分布是二項分布的特殊情況，二項分布是兩點 分布的推廣分布的推廣

15、. 2. 泊松分布是概率論中最重要的分布之一。在實際泊松分布是概率論中最重要的分布之一。在實際應用泊松分布主要用來描述大量重復試驗中稀有事應用泊松分布主要用來描述大量重復試驗中稀有事件（即概率較小的事件）出現的次數。如某時間段件（即概率較小的事件）出現的次數。如某時間段中來到公用設施前要求提供服務的人數、某時間段中來到公用設施前要求提供服務的人數、某時間段內系統發生故障的次數、商店里每天賣出的貴重商內系統發生故障的次數、商店里每天賣出的貴重商品的件數、書籍中出現的印刷錯誤個數等。此外，品的件數、書籍中出現的印刷錯誤個數等。此外，在管理科學中，泊松分布也具有十分重要的地位。在管理科學中，泊松分布

16、也具有十分重要的地位。 泊松分布的概率計算問題可通過查泊松分布表泊松分布的概率計算問題可通過查泊松分布表（見附表（見附表2）完成。）完成。泊松定理泊松定理 設設 0是一常數，是一常數，n是任意整數，設是任意整數，設npn=，則，則對任意一固定的非負整數對任意一固定的非負整數k，有，有 ekppCkknnknknn!1limknknnkknnn 1!)1()1(時時，當當對對于于固固定定的的 nk證明證明knknnnknnk 111121111!11111121n111 knnennkn 有有由由npn knnknknppC 1定理的條件定理的條件npn=，意味著，意味著n很大時候很大時候pn必

17、定很小。必定很小。因此當因此當n很大，很大，p很小時有近似公式很小時有近似公式 ekppCkknkkn!1其中其中=np。 ekk!在實際計算中，當在實際計算中，當 時用時用 （=np）作為作為 的近似值效果很好。的近似值效果很好。而當而當 時效果更佳。時效果更佳。 05. 020n p， knnknknppC 110np100n ， ekk!的值有表可查。的值有表可查。 ekppCkknnknknn!1lim從而從而ex5. 一張考卷上有一張考卷上有5道選擇題，每道題列出道選擇題，每道題列出4個可能個可能答案，其中只有一個答案是正確的某學生靠猜測答案，其中只有一個答案是正確的某學生靠猜測能答

18、對能答對4道題以上的概率是多少？道題以上的概率是多少？,對對的的題題數數表表示示該該學學生生靠靠猜猜測測能能答答設設X ，答答對對一一道道題題 A則答則答5道題相當于做道題相當于做5重重Bernoulli試驗試驗 415，則則BX 41 AP則則解：解：每答一道題相當于做一次每答一道題相當于做一次Bernoulli試驗，試驗，所以所以 44 XPP道題道題至少能答對至少能答對 54 XPXP5445414341 C641 ex6. 若某人做某事的成功率為若某人做某事的成功率為1%，他重復努力，他重復努力400次，次，則至少成功一次的概率為則至少成功一次的概率為400110 =1 0.990.9

19、820P XP X 成功次數服從二項概率成功次數服從二項概率 (400,0.01)B有百分之一的希望，就要做百分之百的努力有百分之一的希望，就要做百分之百的努力 ex7. 一大批產品的次品率為一大批產品的次品率為0.1，現從中取，現從中取出出15件試求下列事件的概率：件試求下列事件的概率： B= 取出的取出的15件產品中恰有件產品中恰有2件次品件次品 C= 取出的取出的15件產品中至少有件產品中至少有2件次品件次品 ,取取出出一一件件產產品品為為次次品品 A . 1 . 0 AP則則 由于從一大批產品中取由于從一大批產品中取15件產品，故可近似看作件產品，故可近似看作是一是一15重重Berno

20、ulli試驗試驗解：解：所以，所以， 1322159 . 01 . 0 CBP CPCP 1141151500159 . 01 . 09 . 01 . 01 CCex8. 假設一廠家生產的每臺儀器，以概率假設一廠家生產的每臺儀器，以概率0.7可以直接可以直接出廠；以概率出廠；以概率0.3需進一步調試，經調試后以概率需進一步調試，經調試后以概率0.8可以出廠，以概率可以出廠，以概率0.2定為不合格品不能出廠，現該廠定為不合格品不能出廠，現該廠新生產了新生產了1000臺儀器（假設各臺儀器的生產過程相互臺儀器（假設各臺儀器的生產過程相互獨立），求獨立），求:(1)全部能出廠的概率全部能出廠的概率 ;

21、(2)其中恰好有兩件不能出廠的概率其中恰好有兩件不能出廠的概率 ;(3)其中至少有兩件不能出廠的概率其中至少有兩件不能出廠的概率 .Solution. 設設A=儀器能出廠儀器能出廠， B1 =儀器能直接出廠儀器能直接出廠,B2=儀器需進一步調試儀器需進一步調試,.21SBB 則則, 7 . 0)(1 BP且且3 . 0)(2 BP, 1)|(1 BAP, 8 . 0)|(2 BAP由全概率公式得由全概率公式得: .94. 0)|()()|()()(2211 BAPBPBAPBPAP設設X為所生產的為所生產的1000臺儀器中能出廠的臺數，則臺儀器中能出廠的臺數，則X作為作為1000次獨立試驗中儀

22、器能出廠的次數，為次獨立試驗中儀器能出廠的次數，為貝努利試驗，貝努利試驗，,94. 0 p并且并且).94. 0 ,1000( BX即即;)94. 0(1000)1(1000 XP ;)06. 0()94. 0(21000)2(29989981000CXP 998010009991)3(kXPXPkXP .)94. 0()06. 0()94. 0(110009999991000 C 已知某電話交換臺每分鐘接到的呼喚次數已知某電話交換臺每分鐘接到的呼喚次數X X服從服從4 的泊松分布，分別的泊松分布，分別 求（求（1 1）每分鐘內恰好接到）每分鐘內恰好接到3 3次呼喚的概率；（次呼喚的概率；（2

23、 2）每分鐘不超過）每分鐘不超過4 4次的概率次的概率(4)(0)(1)(2)(3)(4)P XP XP XP XP XP X4,3k()!kP Xkek344(3)3!P Xeex9.解解0.195630.628838ex10.設一女工照管設一女工照管800個紗錠，若每一個紗錠單位時間個紗錠，若每一個紗錠單位時間內紗線被扯斷的概率為內紗線被扯斷的概率為0.005，求單位時間內扯斷次數，求單位時間內扯斷次數不大于不大于10的概率的概率.Solution. 設設X為單位時間內扯斷次數，則為單位時間內扯斷次數，則).4()005. 0 ,800( BX)10( XP所所求求概概率率為為0.9971

24、60查表ex11. 有同類設備有同類設備300臺，各臺工作狀態相互獨立。已知臺，各臺工作狀態相互獨立。已知每臺設備發生故障的概率為每臺設備發生故障的概率為0.01，若一臺設備發生故障，若一臺設備發生故障需要一人去處理，問至少需要配備多少工人，才能保證需要一人去處理，問至少需要配備多少工人，才能保證設備發生故障而不能及時修理的概率小于設備發生故障而不能及時修理的概率小于0.01？ 130001. 0!3!1111NkkNkkNkknkknkekeppCNXPNXP 查表可知，滿足上式最小的查表可知，滿足上式最小的N是是8。至少需配備至少需配備8個工人才能滿足要求。個工人才能滿足要求。 解：解：

25、設設X表示同一時刻發生故障的設備臺數，依題意知表示同一時刻發生故障的設備臺數，依題意知XB(300,0.01)，若配備，若配備N位維修人員，所需解決的問題位維修人員，所需解決的問題是確定最小的是確定最小的N，使得：，使得：PXN0.01 （=np=3） 從一批次品率為從一批次品率為p p的產品中，有放回抽的產品中，有放回抽樣直到抽到次品為止。求抽到次品時，已樣直到抽到次品為止。求抽到次品時，已抽取的次數抽取的次數X X的分布律。的分布律。 解解 記記A Ai i= =“第第i i次次取到正品取到正品”,i=1,2,3,i=1,2,3, 則則 A Ai i , , i=1,2,3,i=1,2,3

26、, 是相互獨立的！是相互獨立的！ 且且X X的的所有所有可能取值為可能取值為 )(121kkAAAAP( ( X=k )X=k )對應著事件對應著事件 kkAAAA121ex12.教學要求：教學要求：理解隨機變量分布函數的概念及性質理解隨機變量分布函數的概念及性質. 一、分布函數的概念一、分布函數的概念 對于離散隨機變量對于離散隨機變量X，我們可以用分布律來描述概率分布，我們可以用分布律來描述概率分布，對于非離散型隨機變量由于其可能取的值不能一一列出，因對于非離散型隨機變量由于其可能取的值不能一一列出，因此想采用分布律的形式來描述其概率分布是不可能的然而此想采用分布律的形式來描述其概率分布是不

27、可能的然而,我們可以轉而去研究該隨機變量在一個區間內取值的概我們可以轉而去研究該隨機變量在一個區間內取值的概率如率如,考慮對于任意實數考慮對于任意實數 （ ），落在區間），落在區間 上上的概率的概率 , 但由于但由于 = 因此我們只需考慮因此我們只需考慮 和和 形式的概率就可以了，形式的概率就可以了，而而 與與 具有相同的形式，因此，我們有下面的具有相同的形式，因此，我們有下面的概念概念. 21xx，21xx 21xx，21xXxP21xXxP12xXPxXP2xXP1xXP2xXP1xXP1. 分布函數的定義分布函數的定義 .)( ,的分布函數的分布函數稱為稱為函數函數是任意實數是任意實數是

28、一個隨機變量是一個隨機變量設設XxXPxFxX 注意注意:;1 , 0),()()1(值域為值域為的定義域為的定義域為分布函數分布函數xF.)()2(00 xXPxF 性質性質2. , 1)(0 xF, 0)(lim)( xFFx. 1)(lim)( xFFx性質性質1. .)(為單調不減函數為單調不減函數xF).()(,2121xFxFxx 時時即即當當性質性質3. .)(是右連續的是右連續的xF).()(lim)0(000 xFxFxFxx 即即證明：證明：:,)1(2121得得則則如如xXxXxx 21xXPxXP 21xFxF 11(2) 01lim0lim01 2xnnnnnnF x

29、F xF xF xFnAXnnAAA 由的定義易得。利用的單調性,要證，只要證。考慮事件，則，)(lim)(lim)(limnnnxAPnFxF 0)(1 nnAP可類似證明極限1)(limxFx xFnxFn )1(lim110lim()lim()nnnnF xF xPAn xFxXP 只只須須證證明明：的的單單調調性性，為為證證此此性性質質由由xF)3(，令令211 nnxXAn，則則11xXAAAnnnn 則則為兩個實數為兩個實數設設,ba),()(aFbFbXaP ),0()( aFaFaXP),(1aFaXP ),0(1 aFaXP),0( bFbXP),0()( aFbFbXaP)

30、.()0(aFbFbXaP Proof. )(aXbXPbXaP aXPbXP ).()(aFbF 性質性質4. 1limaXkaPaXPk )1()(limkaFaFk ).0()( aFaF XaPaXP).(1)()(aFaFF )( XaaXPaXP)(1)0()(aFaFaF ).0(1 aF同理可證另外的等式同理可證另外的等式. . ex1.設設X是隨機變量，已知它的分布函數為是隨機變量，已知它的分布函數為F(x)，試，試用分布函數表示下列事件的概率：用分布函數表示下列事件的概率：4 )3( ;512 )2( ;1 )1(2 XXXSolution. 111 )1( XPXP).1

31、()01( FF2512 )2( XPXP).2(1F 224 )3(2 XPXP).02()2( FFex2.設隨機變量設隨機變量X 的分布函數為的分布函數為 2 120 sin0 0)( xxxAxxF.6| XPA及及求求Solution. ,2sin)2(AAF ,1)02( F由分布函數的右連續性，可得由分布函數的右連續性，可得 .1 A666 XPXP而而)6()06( FF.2106sin 求求: (1) 常數常數A，B的值；的值； (2) P(0X1)練習練習1：設隨機變量設隨機變量X的分布函數為：的分布函數為：xBarctgxAxF,)(1)(0)() 1 (FF由性質解：1

32、)2(0)2(BABA121BA)0() 1 () 10()2(FFXP410,10,0)()(xxxxxFC練習練習2:下列函數中可作為隨機變量分布函數的是下列函數中可作為隨機變量分布函數的是 ( )arctgxxFBxxFA2143)()(11)()(212)()(arctgxxFD10)()(FA 說明：021)()(FB 12)()(FD ) 0()(lim)1)(, 0)()()(00FxFiiiFFiixFiCx單增為正確答案易證C二二. 離散型隨機變量的分布函數離散型隨機變量的分布函數 xxkxxkkkpxXPxXPxF)( xxxxxppxxxpxx 1 032212111分布

33、函數的特點：分布函數的特點：F(x)為一階梯形右連續函數，跳躍點為一階梯形右連續函數，跳躍點在在x=xk處，跳躍值為處，跳躍值為pk.由概率分布得出了分布函數，同樣分布函數也可惟一由概率分布得出了分布函數，同樣分布函數也可惟一確定確定xk及及pk, 即惟一決定分布律即惟一決定分布律.如圖所示如圖所示x)(xF1x2x3xoex3.設隨機變量設隨機變量X的分布律為的分布律為,2/16/13/1210ipX求求).(xF解解)(xXPxF 當當0 x時時, , xX故故0)( xF當當10 x時時, ,310)( XPxXPxF21613110)( XPXPxF當當21 x時時, ,當當2 x時時

34、, ,1210)( XPXPXPxF故故,2, 121, 2/110, 3/10, 0)( xxxxxF)(xFx1/61/21/3121 1/621O)(xF的圖形是階的圖形是階在在躍躍, ,2, 1, 0 x處有跳處有跳其躍度分別其躍度分別,0 XP,1 XP.2 XP梯狀的圖形梯狀的圖形, ,等于等于練習練習.設隨機變量設隨機變量X的分布律為的分布律為X02 P414121求求X的分布函數的分布函數.Solution. . 12 4320 410 0)( xxxxxFex4.設隨機變量設隨機變量X的分布函數為的分布函數為,3, 132,19/1521,19/91, 0)( xxxxxF求

35、求X的概率分布的概率分布. .解解由于由于)(xF是一個階梯型函數是一個階梯型函數, , 故知故知X是一是一個離散型隨機變量個離散型隨機變量, ,)(xF的跳躍點分別為的跳躍點分別為 1, 2, 3,對應的跳躍高度分別為對應的跳躍高度分別為 9/19, , 6/19, , 4/19, , 如圖如圖. .3211199/196/194/)(xFx.19/419/619/9321ipX故故X的概率分布為的概率分布為X 0 1 2P 0.4 0.4 0.2解：解：0, 00.4, 01( )0.8, 121, 2xxF xxx 練習練習.已知 X 的分布函數如下,求 X 的分布列.ex5. 考慮如下

36、試驗：在區間考慮如下試驗：在區間0，1上任取一點，記錄它上任取一點，記錄它的坐標的坐標X。那么。那么X是一隨機變量，根據試驗條件可以認為是一隨機變量，根據試驗條件可以認為X取到取到0，1上任一點的可能性相同。求上任一點的可能性相同。求X的分布函數。的分布函數。 當當x0時時 0 xF時時當當10 x xxXPxXPxF 0時時當當1 x 110 XPxXPxF解解 ： 由幾何概率的計算不難求出由幾何概率的計算不難求出X的分布函數的分布函數 1 110 0 0 xxxxxF所以：所以：教學要求：教學要求：1. 理解連續型隨機變量的概率密度及性質理解連續型隨機變量的概率密度及性質;2. 掌握正態分

37、布、均勻分布和指數分布掌握正態分布、均勻分布和指數分布; 3. 會應用概率密度計算有關事件的概率會應用概率密度計算有關事件的概率. .密度密度連續型隨機變量的概率連續型隨機變量的概率一一 .幾種常用的連續型分布幾種常用的連續型分布二二 .正態分布正態分布三三 .注意事項及課堂練習注意事項及課堂練習四四一、連續型隨機變量的概率密度一、連續型隨機變量的概率密度 連續型隨機變量連續型隨機變量X所有可能取值充滿一個區間所有可能取值充滿一個區間, 對這對這種類型的隨機變量種類型的隨機變量, 不能象離散型隨機變量那樣不能象離散型隨機變量那樣, 以以指定它取每個值概率的方式指定它取每個值概率的方式, 去給出

38、其概率分布去給出其概率分布, 而而是通過給出所謂是通過給出所謂“概率密度函數概率密度函數”的方式來討論的方式來討論.1. 連續型隨機變量及其密度函數的定義連續型隨機變量及其密度函數的定義.,)(,)()( ,),(),(簡稱概率密度簡稱概率密度概率密度函數概率密度函數的的稱為稱為其中函數其中函數為連續型隨機變量為連續型隨機變量則稱則稱有有使對于任意實數使對于任意實數函數函數存在非負存在非負的分布函數的分布函數如果對于隨機變量如果對于隨機變量XxfXdttfxXPxFxxfxFXx 2. 概率密度函數的性質概率密度函數的性質; 0)( )1( xf; 1)( )2( dxxf這兩條性質是判定一個

39、這兩條性質是判定一個函數函數 f(x)是否為某是否為某r.vX的的概率密度函數的充要條件概率密度函數的充要條件. f (x)xo面積為面積為1;)()()( )3(211221 xxdxxfxFxFxXxP);()(,)( )4(xfxFxf 的連續點處的連續點處在在;)(,)(不存在不存在的不連續點處的不連續點處在在xFxf )()(lim)(0000證明證明用用xxFxxFxFx ; 0)0()(, )5( aFaFaXPa對任意實數對任意實數.)( 2121212121 xxdxxfxXxPxXxPxXxPxXxP從而從而注意注意: (1) F(x)為連續函數為連續函數; (2) 概率為

40、概率為0的事件，不一定是不可能事件；的事件，不一定是不可能事件；(3) 對于連續型隨機變量，求區間上的概率時可以不對于連續型隨機變量，求區間上的概率時可以不 考慮端點的情況考慮端點的情況. 即有即有(4) 可由分布函數求分布密度，對于可由分布函數求分布密度，對于 不存在不存在 的點可人為的補充定義的點可人為的補充定義. . )(xF badxxfbXaPbXaPbXaPbXaP)( 故故 X的密度的密度 f(x) 在在 x 這一點的值，恰好是這一點的值，恰好是X落在區間落在區間 上的概率與區間長度上的概率與區間長度 之比的極限之比的極限. 這里，如果把概率理解為質量，這里，如果把概率理解為質量

41、， f (x)相當于線密度相當于線密度.x ,(xxx 若若x是是 f(x)的連續點，則：的連續點，則：xxxXxPx )(lim0 x)(lim0 xxxxdttf=f(x)(5). 對對 f(x)的進一步理解的進一步理解: 要注意的是，密度函數要注意的是，密度函數 f (x)在某點處在某點處a的高度，并不反映的高度，并不反映X取值的概率取值的概率. 但是，這但是，這個高度越大，則個高度越大，則X取取a附近的值的概率就越附近的值的概率就越大大. 也可以說，在某點密度曲線的高度反也可以說，在某點密度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度映了概率集中在該點附近的程度. f (x)xo若不計高階

42、無窮小，有：若不計高階無窮小，有：xxfxxXxP)( 它表示隨機變量它表示隨機變量 X 取值于取值于 的的概率近似等于概率近似等于 .,(xxxxxf)(xxf)(在連續型在連續型r.v理論中所起的作用與理論中所起的作用與kkpxXP)(在離散型在離散型r.v理論中所起的理論中所起的作用相類似作用相類似.ex1.設設X的分布函數為的分布函數為,1 110 0 0)( xxxxxF求求X的分布密度的分布密度).(xf解解),()(xFxf 而端點處情況可人為規定而端點處情況可人為規定. 其它其它 010 1)(xxf. 010 1)( 其它其它xxfor xdttfxXPxF)()()(解解:

43、 其它其它0,11,12)(2xxxf 求求 : F(x) 設連續型隨機變量設連續型隨機變量 X 的密度函數為的密度函數為 f (x)ex2.1x 當當時時,( )0F x 11,x 當當 xdttdtxF121120)( 21arcsin112 xxx 1, 111,21arcsin111, 0)(2xxxxxxxF 即得所求的分布函數為即得所求的分布函數為:112112( )0101F xdtt dtdt 1x 當當時時,ex3.設隨機變量設隨機變量X的密度函數為的密度函數為 其它其它 022 cos)( xxaxf.40)3(),()2( ,)1( XPxFa求求解解得得由由1)()1(

44、 dxxf,2cos122adxxa .21 a; 00)(,2)2( dxxFxx時時當當 dxxfxFxx )()(,22時時當當 );1(sin21cos212 xdxxx dxxfxFxx )()(,2時時當當 . 1cos2122 dxx 2 122 )1(sin212 0)( xxxxxF,42)0()4(40)3( FFXP .42cos214040 dxxXP 或或練習：練習：設隨機變量X的概率密度為1|x|01|x|x1A)x(f2 求(1)A; (2)P(-1/2X1/2); 解解:(1)由性質2得:1121dxx1Adx)x(f即11xarcsinAA=1,所以 A=1/

45、(2)P(-1/2X1/2)=2/12/1dx)x(f2/12/12dxx112/12/1xarcsin1=1/(/6+/6)=1/3.)3(;2)2(;,)1(:., 1,arcsin, 0)(的概率密度的概率密度隨機變量隨機變量的值的值系數系數求求的分布函數為的分布函數為設連續型隨機變量設連續型隨機變量XaXaPBAaxaxaaxBAaxxFX ex4.),(lim)(xFaFax 故有故有解解 (1) 因為因為 X 是連續型隨機變量是連續型隨機變量, )(lim)(xFaFax ,)(連續連續所以所以xF aaBAarcsin aaBAarcsin即即BA2 , 0 BA2 , 1 .1

46、 B ., 1,arcsin121, 0)(axaxaaxaxxF 所所以以,21 A解之得解之得)2(aF 0)2arcsin(121 aa6121 2)2(aXaP )( aF .32 )()(xFxf 的概率密度為的概率密度為隨機變量隨機變量 X)3( ., 0,122其其它它axaxa 二、幾種常用的連續型分布二、幾種常用的連續型分布 1. 均勻分布均勻分布 若若 r.vX的概率密度為：的概率密度為：其它, 0,1)(bxaabxf)(xfab則稱則稱X服從區間服從區間( a, b)上的均勻分布，記作：上的均勻分布，記作： X U(a, b)它的實際背景是：它的實際背景是： r.v X

47、 取值在區間取值在區間(a, b) 上，并且上，并且取值在取值在(a, b)中任意小區間內的概率與這個小區間的中任意小區間內的概率與這個小區間的長度成正比長度成正比. 則則 X 具有具有(a,b)上的上的均勻分布均勻分布.其分布函數為其分布函數為: bxbxaabaxaxxF , 1 , , 0)(概率密度函數概率密度函數f(x)與分布函數與分布函數F(x)的圖形可用圖示的圖形可用圖示abO xfabO xF1ex5.某公共汽車站從上午某公共汽車站從上午7時起，每時起，每15分鐘來一班車，分鐘來一班車，即即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等時刻有汽車到達此站，等時刻有汽車到達此站，

48、如果乘客到達此站時間如果乘客到達此站時間 X 是是7:00 到到 7:30 之間的均勻之間的均勻隨機變量隨機變量, 試求他候車時間少于試求他候車時間少于5 分鐘的概率分鐘的概率.解解依題意，依題意，以以7:00為為起點起點0，以分為單位，以分為單位其它其它,)(0300301xxf0, 30 .XU 為使候車時間為使候車時間X少于少于 5 分鐘，乘客必須在分鐘，乘客必須在 7:10 到到 7:15 之間，或在之間，或在7:25 到到 7:30 之間到達車站之間到達車站.所求概率為：所求概率為：30251510XPXP3130130130251510dxdx即乘客候車時間少于即乘客候車時間少于5

49、 分鐘的概率是分鐘的概率是1/3.從上午從上午7時起，每時起，每15分鐘來一班車，即分鐘來一班車，即 7:00，7:15，7:30等時刻有汽車到達汽車站，等時刻有汽車到達汽車站，ex6. 設隨機變量設隨機變量XU1, 6 ，求一元二次方程，求一元二次方程 t 2+Xt +1= 0有實根的概率。有實根的概率。 解解 當當=X2-40時，方程有實根。所求概率為時，方程有實根。所求概率為P XP XXP XP X2(40)(22)(2)(2) 或或而而X的密度函數為的密度函數為1,16,( )50,xf x 其其它它. .662214(2)( )55P Xf x dxdx (2)0P X 24(40

50、)5P X 從而從而另解另解22(40)1(40)P XP X1( 22)PX 22211141( )11555f x dxdx xf x1,16,( )50, 其其它它. .ex7. 設隨機變量設隨機變量 X 在在 2, 5 上服從均勻分布，現對上服從均勻分布，現對 X 進行三次獨立觀測進行三次獨立觀測 ,試求至少有兩次觀測值大于試求至少有兩次觀測值大于3 的的概率概率. X 的分布密度函數為的分布密度函數為 ., 0, 52,31)(其其他他xxf設設 A 表示表示“對對 X 的觀測值大于的觀測值大于 3 ”, Y 表示表示3次獨次獨立觀測中觀測值大于立觀測中觀測值大于3的次數的次數.解解

51、)(3XPAP由由于于,32d3153 x則則23,.3YB2 YP.2720 因而有因而有22322133C 303322133C 2. 指數分布指數分布 若若 r.vX的概率密度為：的概率密度為： 0 , 00 ,1)(xxexfx .,0的指數分布的指數分布服從參數為服從參數為則稱則稱為常數為常數其中其中 X ).( EX記為記為其分布函數為其分布函數為: 0 , 00 ,1)(xxexFx 指數分布常用于可靠性統計研究中，如元件的壽命指數分布常用于可靠性統計研究中，如元件的壽命.設連續型隨機變量設連續型隨機變量X具有概率密度具有概率密度0( )(0)00 xxef xx為常數則稱則稱X

52、服從參數為服從參數為 的指數分布。的指數分布。0001)( xxexFx 指數分布的另一常見的定義方式指數分布的另一常見的定義方式其分布函數為其分布函數為 f(x)和和F(x)可用圖形表示可用圖形表示)(xfxO )(xFxO1ex8. 電子元件的壽命X(年）服從參數為1/3的指數分布(1)求該電子元件壽命超過2年的概率。 (2)已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用兩年的概率為多少？解解: :, 0003)(3xxexfx,.32) 1 (623edxeXPx65 . 135 . 33335 . 15 . 1, 5 . 35 . 1|5 . 3)2(edxedxeXPXXPXXPxxe

53、x9.設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間(以分計以分計)服服 從指數分布，其密度函數為從指數分布，其密度函數為 其它其它 00 51)(51xexfx某顧客等待時間超過某顧客等待時間超過10分鐘，他就離開分鐘，他就離開.一個月他去銀一個月他去銀行行5次次.以以X表示一個月內他未等到服務而離去的次數，表示一個月內他未等到服務而離去的次數，寫出寫出X的分布律并求的分布律并求 .1 XP解解以以Y表示顧客在某銀行的窗口等待服務的時間，表示顧客在某銀行的窗口等待服務的時間， 則顧客未等到服務而離去的概率為則顧客未等到服務而離去的概率為 10 YPp.5121051 e

54、dxex的的分分布布律律為為X).5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0( )1(5225 keeCkXPkkk011 XPXP5205)1(1 eC.)1(152 e 正態分布是概率統計中最重要的分布，一方面，正態分布是正態分布是概率統計中最重要的分布，一方面，正態分布是自然界最常見的一種分布，例如測量的誤差，炮彈彈落點的分自然界最常見的一種分布，例如測量的誤差，炮彈彈落點的分布，電子管或半導體器件中熱噪聲電流和電壓，人的生理特征布，電子管或半導體器件中熱噪聲電流和電壓，人的生理特征的尺寸：身高，體重等；農作物的收獲量；工廠產品的尺寸：的尺寸：身高，體重等；農作物的收獲量；工廠產品的尺寸

55、：直徑，長度，寬度，高度；直徑，長度，寬度，高度；都近似服從正態分布。一般說來都近似服從正態分布。一般說來，若影響某個數量指標，若影響某個數量指標的的隨機因素很多，而每個因素所起的作隨機因素很多，而每個因素所起的作用不太大，則用不太大，則這個這個指標服從正態分布，這點可以利用概率論的指標服從正態分布，這點可以利用概率論的極限定理加以證明，另一方面，極限定理加以證明，另一方面， 正態分布具有許多良好的性質正態分布具有許多良好的性質，許多分布可以利用正態分布來近似，另外一些分布又可以通，許多分布可以利用正態分布來近似，另外一些分布又可以通過正態分布來導出，因此在理論研究中，過正態分布來導出，因此在

56、理論研究中， 正態分布十分重要。正態分布十分重要。三、正態分布三、正態分布 1. 正態分布的定義正態分布的定義 如果連續型隨機變量如果連續型隨機變量X的概率密度為的概率密度為 )( 21)(222)( xexfx .,)0(,分布或高斯分布分布或高斯分布的正態的正態服從參數為服從參數為則稱則稱為常數為常數其中其中 X ).,(2 NX記為記為得得令令特別地特別地1, 0, )( 21)(22 xexx 稱稱X服從標準正態分布服從標準正態分布.).1 , 0( NX記為記為2. 正態分布的分布函數正態分布的分布函數 .d21)( ),(222)(2 xttexFXNX 的分布函數為的分布函數為則

57、則若若.d21)( ),1 , 0(22 xttexXNX 的分布函數為的分布函數為則則若若XN(,2) 密度函數為密度函數為 ， x e21xf 2x22（1 1） 圖形關于圖形關于x =對稱。對稱。 X單調減，單調減，（2 2）X=時有時有最大值最大值 M=M= 21（3 3）固定）固定,變小變小, 圖形陡峭圖形陡峭 變大變大, 圖形平坦圖形平坦.3. 正態分布的簡單性質正態分布的簡單性質 （4 4）固定）固定 ,增大圖形往右平移，增大圖形往右平移，減小圖形往減小圖形往 左平移左平移xf(x)0增大增大減小減小 x dxe21xF x2x22,)()(XN(,2） 其 分 布 函 數 圖

58、形 為 和和 的圖形如圖所示。的圖形如圖所示。 )(x )( x )(x xO)(x xO21aa ( ),0,( )()xxxx顯然，為偶函數 關于對稱 即(5) ()1( );xx 證證dtexxt 2221)( dyexyyt 2221 令令-xdyexy 22211 ).(1x (x).)()(，可以查表求值xxXP 例如查表可得例如查表可得 ).( 101 ).(750 ).(101X750P0.8643226607734017501.).( 637702266086430750101.).().( )()(1221xxxXxP1)(2)()(xxxxXP)(1 2xxXP另外還有幾

59、個重要公式：另外還有幾個重要公式： 當當X N (0,1), );()( )6( xxF證證dtexFxt 222)(21)( dzexzzt 2221).( x可見可見則則若若),(2 NX)()(aFbFbXaP ).()( ab因此可用標準正態分布表計算一般正態分布事件的概率因此可用標準正態分布表計算一般正態分布事件的概率.);(1)( )7( xxf);1 , 0(,),( )8(2NYXYNX則則若若 210.(108,9)(108,3 ),exXNN設;6 .1171 .101)1( XP求求;9 . 0)2( aXPa使使求求.01. 0|)3( aaXPa使使求求解解)1 .1

60、01()6 .117(6 .1171 .101)1(FFXP )31081 .101()31086 .117( )3 . 2()2 . 3( .9886. 00107. 09993. 0 查查表表)()2(aFaXP , 9 . 0)3108( a,28. 13108 a查查表表得得.84.111 a02|)3( XPaXPaaXP)0()2(1FaF )3108()31082(1 a,01. 0)31082(1 a,99. 0)31082( a,33. 231082 a查表得查表得.495.57 a練習練習1:1:2 (2, ), (24)0.3, (0).XNPXP X若隨機變量且求802