1、1 側向思維法指變換思維的角度、方向，側向思維法指變換思維的角度、方向，避免鉆牛角尖的思維方法。比如過去的圓珠避免鉆牛角尖的思維方法。比如過去的圓珠筆，寫到一定程度之后就會漏油，原因是筆筆，寫到一定程度之后就會漏油，原因是筆珠的磨損造成了間隙，人們想了許多辦法，珠的磨損造成了間隙，人們想了許多辦法，增加筆珠的耐磨性等都不能解決。后來增加筆珠的耐磨性等都不能解決。后來中田中田藤三郎藤三郎發現總是在寫到大約兩萬字的時候開發現總是在寫到大約兩萬字的時候開始漏油，于是把筆芯做得只能容許寫一萬五始漏油，于是把筆芯做得只能容許寫一萬五千字，油墨沒有了還漏什么？于是，問題徹千字，油墨沒有了還漏什么？于是，問

2、題徹底解決。這是側向思維的典型例子。底解決。這是側向思維的典型例子。2dxuvuvdxvu 則則vduuvudv 則則具有連續導數具有連續導數及及設設,xvxu證證uvvuvuvuuvvuvduuvudvxdxcosxxsinxdxdxsinxsinxCxxxcossinxdxxcos求求例例1 1設設,ux ,dvxsindxdxcosdx v即即. vxsin 解：解：1 1、公式推導、公式推導32 2、實際操作步驟：、實際操作步驟： 上例中，要湊出上例中，要湊出dvdv，是個逆向思維的過程，這里試給出一，是個逆向思維的過程，這里試給出一個個“程序程序”，使思維更加流暢。，使思維更加流暢。

3、 （1 1）使用第一類換元積分法湊微分（見上節）使用第一類換元積分法湊微分（見上節） （2 2）如果結果可以用換元法解，則求出原函數；若不能積如果結果可以用換元法解，則求出原函數；若不能積出，則試用分部積分公式代入。出，則試用分部積分公式代入。 （3 3）要注意優先湊微分的順序：要注意優先湊微分的順序： 指數函數、弦函數指數函數、弦函數 優先于優先于 冪函數；冪函數； 冪函數冪函數 優先于優先于 對數函數、反三角函數。對數函數、反三角函數。如，例如，例1 1中：若先把中：若先把x湊微分，則有：湊微分，則有：dxxxxx)sin(2cos222xdxxxxsin212sin22 xdxxcos)

4、2(cos2 xxd)(cos2cos222xdxxx 可以看出：最后面的積分與原來的積分屬于同一種類型，而可以看出：最后面的積分與原來的積分屬于同一種類型，而且冪函數因式的次數還增高了，積分結果將難以求出。且冪函數因式的次數還增高了，積分結果將難以求出。4dxxex求求例例3 3dxxex解解：xxdedxexexxCexexx被積函數是冪函數與指數函數或者弦函數的乘積，被積函數是冪函數與指數函數或者弦函數的乘積，應該先將指數函數或者弦函數湊微分。應該先將指數函數或者弦函數湊微分。解解dxexx2xdex2xdxeexxx22Cexeexxxx22Cxxex222dxexx2求求例例4 4例

5、例2 2 求求 xdxx2tan解：解： xdxx2tandxxx1sec2xdxxdxx2sec221tanxxxd221tantanxdxxxxCxxxx221coslntan5xdxxln求求解解xdxxln2ln2xxddxxxxx12ln222xdxxx21ln22Cxxx4ln222例例5 5被積函數是冪函數與對數函數或者反三角函數的乘積，被積函數是冪函數與對數函數或者反三角函數的乘積， 應該先將冪函數湊微分。應該先將冪函數湊微分。xdxxarctan2求求例例6 6解解xdxxarctan22arctan xdxdxxxxx2221arctanCxxxxarctanarctan2

6、dxxxx22111arctandxxxxx11) 1(arctan2226例例7 7* * xdxarcsin求求Cxxx21221arcsin2211121arcsinxdxxxCxxx21arcsin解解dxxxxx21arcsinxdxarcsin例例8 8 xdxxxarctan122求求解解xdxxxdxxxarctan111arctan1222xxdxdxarctanarctanarctan22arctan211arctanxdxxxxxCxxxx22arctan211ln21arctan7xdxsinex求求例例9 9xdxexsinxdexcosxxdexexxcoscosx

7、dexexxsincosxdxexexexxxsinsincos解解 法法1 是不是優先湊微分的順序出了問題？換過來試一下：是不是優先湊微分的順序出了問題？換過來試一下： 法法2 xdxsinexxxdesinxdxexexxcossinxxexdxecossinxdxexexexxxsincossin 兩種方法都出現了兩種方法都出現了“循環循環”，移項可以把該積分，移項可以把該積分“解解”出來。出來。 Cxxexdxexxcossin21sin移項時應該給等式的右邊添加任意常數移項時應該給等式的右邊添加任意常數 C 被積函數是指數函數與弦函數的乘積，可選任一函數湊微分。被積函數是指數函數與弦

8、函數的乘積，可選任一函數湊微分。8xdxex3cos2求求例例1010解解 xxxdexdxeI223cos213cosxdxexexx3sin33cos2122xxxdexe223sin433cos21dxexexxexxx2223cos3433sin433cos21Ixexexx493sin433cos2122移項得移項得 CxexeIxx3sin1333cos13222CbxbbxabaebxdxeCbxbbxabaebxdxeaxaxaxaxcossinsinsincoscos22229下面也是出現下面也是出現“循環循環”的例子。的例子。xdxsec3求求解解xdxsec3xtanxd

9、secxxdtanxsecxtanxsec2xdxsecxsecxtanxsec12xdxsecxsecxtanxsec3xtanxseclnxxdsecxtanxsec3Cxxxxxxdtanseclntansec21sec3移項、兩邊同除以系數，得移項、兩邊同除以系數，得例例11 11 10 NnInaxxnaInnn )12(212221證明遞推公式證明遞推公式解解dxaxInn221nnaxxdaxx22221 1222221 nnaxxnax122222)( nnnInanIaxxdxaxnadxaxnaxxnnn122222221212dxaxaaxnaxxnn122222222d

10、xaxnxaxxnn1222222 nnnInaxxnaI)12(212221解得：解得：nnaxdxI22若：若：例例121211CaxaaxxaIaaxxaI arctan1212121222122222進而可遞推出進而可遞推出In CaxarctanaaxdxI1221由例由例1111、例、例1212：很多不屬于基本題型：很多不屬于基本題型、的的 不定積分，根據具體情況可以用分部積分法，使不定積分不定積分，根據具體情況可以用分部積分法，使不定積分變得簡單。變得簡單。12dxex求求例例13解解tx 令令tdtdx,tx22則則dxexdttet2Ctet12Cxex12分部積分法分部積分法解解例例14求求 dxxxxxex23sincossincosdxxxxxex23sincossincos xdxxexdxxexxsectancossinsinxdexdexxsecsinsindxexexxsinsinxdxexxexxco