1、 廈門大學數學科學學院廈門大學數學科學學院 杜妮杜妮2022-3-722022-3-73 2022-3-74 2022-3-752022-3-76線性方程組為線性方程組為主線主線如何判斷方程組是否如何判斷方程組是否有解有解解的結構解的結構2022-3-77 （行列式）（行列式）1n nnAxb求解1m nnAxb求解2022-3-78l 定義 Ax=b的系數矩陣: A; 增廣矩陣:l 解的判定(1)( )( ),;r Ar An 若若則則方方程程組組有有且且只只有有一一組組解解)(bAA ;,)()()2(則則方方程程組組有有無無窮窮多多組組解解若若nArAr ., )()()3(則方程組無解

2、則方程組無解若若ArAr ,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa2022-3-79l 解的結構_特解+導出組通解.,:,0,21221121可可取取任任意意數數其其中中的的所所有有解解可可表表為為則則的的一一個個解解為為的的一一個個基基礎礎解解系系為為rnrnrnrnaaaaaabAxbAxAx nArArbAbAxnm )()(, 0,K,設設2022-3-7101、討論一個向量能否由一組向量線性表示的問題經常轉化為非齊次線性方程組解的存在性及唯一性問題。123212312312311101,1,1,11123問 取何值時，（

3、1） 可由，線性表示且表達式唯一；（ ） 可由，線性表示且表達式不唯一；（ ） 不能由，線性表示。例：設2022-3-71111, .(1),1.(2),1,1.n rn rAxbAxbnrAxbXnr 設 是非齊次線性方程組的一個解是其導出組的一個基礎 解系證明是方程組的個線性無關的解方程組的任一解都可以表示為這個解的線性組合 而且組合系數之和為例例2、對非齊次線性方程組解的結構的進一步分析對非齊次線性方程組解的結構的進一步分析2022-3-712注注 (1)本例給出了非齊次線性方程組的解向量組成本例給出了非齊次線性方程組的解向量組成的向量組的極大無關組。的向量組的極大無關組。(2)對非齊次

4、線性方程組，有時也把如題中所給對非齊次線性方程組，有時也把如題中所給的個解稱為其基礎解系，所不同的是它的的個解稱為其基礎解系，所不同的是它的線性組合只有當線性組合系數之和為線性組合只有當線性組合系數之和為1時，才是方程時，才是方程組的解組的解1nr 2022-3-7133、方程組、方程組Ax=0的解全是的解全是Bx=0的解的充要條件的解的充要條件是是B的行向量可由的行向量可由A的行向量線性表示的行向量線性表示.例例 對實矩陣對實矩陣Amn, 證明證明 方程組方程組Ax=0的解與的解與Bx=0同解的充要條件是同解的充要條件是A的行向量組與的行向量組與B的行向量組等價的行向量組等價.(). (TR

5、 A AR A2022-3-7144、線性映射的核線性映射的核Kn mA 例例 設設 . 定義線性映射定義線性映射A :則則Ker A即為即為Ax=0的解空間的解空間.11KK,mnXAX注：由同構的思想，求線性映射的核空間的問題可轉注：由同構的思想，求線性映射的核空間的問題可轉化為求上述化為求上述Ker A的問題的問題.2022-3-715例例 是是V的一組基的一組基, 是是U的一組基的一組基, 求求12345, 1234, (V,U),L 1234512341213221113(,)(,)112222351710 Ker . 2022-3-716例例：設設V是四維行向量空間是四維行向量空間, 內積為標準內積內積為標準內積, 求求V中與中與矩陣矩陣的每個行向