1、1988 年全國碩士研究生入學統一考試數學試題參考解答及評分標準數 學（試卷一）一(本題滿分 15 分，每小題 5 分)¥( x - 3)n(1) 求冪級數 å的收斂域.nn=1n ×3( x - 3)n+1解：因 lim( n +1) ×3n+1= limnx - 3=1x - 3, 故1x -3<1即0 < x < 6 時，( x - 3)nn ®¥n®¥3( n +1)33n ×3n冪級數收斂.3 分¥1當 x = 0 時，原級數成為交錯級數 å( -1)n，是

2、收斂的.4 分n=1n¥1當 x = 6 時，原級數成為調和級數 å，是發散的.5 分n=1n所以，所求的收斂域為0, 6).(2) 已知 f(x)= e x 2 ,f j( x)=1-x,且 j (x) ³ 0.求 j (x)并寫出它的定義域.解：由 ej( x)2 =1- x ，得 j( x) =3 分ln(1 - x) .由 ln(1 - x) ³ 0 ，得1 - x ³1 即 x £ 0 .5 分所以j( x) = ln(1 - x) ，其定義域為 ( -¥, 0).(3)設 S 為曲面 x2 + y2 + z2 =

3、1 的外側，計算曲面積分 I = òòx3dydz + y3dxdx+ z3dxdy.s解：根據高斯公式，并利用球面坐標計算三重積分，有I = 3òòò( x 2+ y 2 + z 2 )dv （其中 W 是由 S 所圍成的區域）2 分W2 pp1= 3ò0dqò0d jò0 r 2 × r 2 sin jdr4 分12p.5 分= 51988 年 第 1 頁二、填空題：(本題滿分 12 分，每小題 3 分)(1)若f(t)= lim t (1+1)2tx ，則¢2txf (t) = (2t +

4、1)ex®¥2,-1<x£0(2)設 f(x)是周期為 2 的周期函數，它在區間 (-1,1上的定 f(x)= x3 ,0<x£1 ,則 f(x)的付立葉級數在 x=1 處收斂于2.3x3 -11(3)設 f(x)是連續函數，且 ò0f (t)dt = x, 則 f(7)=.12(4) 設 4*4 矩陣 A= (a,g 2,g 3,g 4 ) ，B= (b,g 2,g3,g 4 ) ，其中，a, b,g 2 ,g 3,g 4 均為 4 維列向量，且已知行列式A= 4,B=1,則行列式A + B=.40 .三、選擇題 ( 本題滿分 1

5、5 分，每小題 3 分)(1)若函數 y=f(x)有 f ¢(x) =1，則當 Dx ® 0 時，該函 x= x處的微分 dy 是(B)020(A) 與 Dx 等價的無窮小(B) 與 Dx 同階的無窮小(C) 比 Dx 低階的無窮小(D) 比 Dx 高階的無窮小(2)設 y = f ( x) 是方程 y¢¢ - 2 y¢ + 4 y= 0 的一個解，若 f ( x) > 0 ，且 f ¢(x0 ) = 0 ，則函數f ( x) 在點 x0(A)(A) 取得極大值(B) 取得極小值(C) 某個鄰域內單調增加(D) 某個鄰域內單調減

6、少(3)設有空間區域 W : x2+ y2 + z2 £ R2, z ³ 0; 及 W : x2+ y2 + z2 £ R2 , x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0, 則 (C)12(A)òòòW xdv = 4òòòWxdv(B)òòòWydv = 4òòòWydv1212(C)òòòW zdv = 4òòòWzdv(D)òò

7、42;Wxyzdv = 4òòòWxyzdv1212¥(4)若 åan (x -1)n 在 x=-1 處收斂，則此級數在 x=2 處(B)n=1(A) 條件收斂(B) 絕對收斂(C) 發散(D) 收斂性不能確定(5) n 維向量組 a1 , a2 , , as (3 £ s £ n) 線性無關的充分必要條件是(D)(A) 有一組不全為 0 的數 k1 , k 2 , , ks , 使 k1 a1 + k2a2 + + ksas ¹ 0 .(B) a1 , a2 , ,as 中任意兩個向量都線性無關.(C) a1 ,

8、 a2 , ,as 中存在一個向量，它不能用其余向量線性表出.(D) a1 , a2 , ,as 中任意一個向量都不能用其余向量線性表出.四(本題滿分 6 分)1988 年 第 2 頁設 u = yf (x) + xg(y) ，其中 f,g 具有二階連續導數，求 x¶2 u+ y¶2u.yx¶x 2¶x¶y解：¶uæ xöæy öyæy ö= f¢ç÷+ g ç÷-g¢ç÷.¶x

9、2; yøè x øxè x ø¶2 u1æ x öy 2æy ö=f¢¢ç÷ +g¢¢ç÷.¶x2yx3è y øè x ø¶2uxæ x öyæ y ö= -f ¢¢ç÷ -g¢¢ç÷.¶x¶yy2x2è

10、y øè x ø所以 x ׶2 u+ y׶2u= 0 .¶x 2¶x¶y2 分3 分5 分6 分五、(本題滿分 8 分)設函數 y=y(x)滿足微分方程 y¢¢-3y¢+ 2y = 2ex , 且圖形在點(0，1)處的切線與曲線y = x2- x +1在該點的切線重合，求函數 y = y(x).解：對應齊次方程的通解為 Y = C e x +C e2x .2 分12設原方程的特解為 y* = Axex ,3 分得 A = -2 .4 分故原方程通解為 y ( x

11、) = C e x+C e2 x - 2xe2x .5 分12又已知有公共切線得 y |x =0 =1, y¢| x=0 = -1，7 分ì c + c= 1,即 í 12解得 c1 = 1, c2= 0 .8 分îc1 + 2c2 =1所以 y = (1 -2 x)e2x .六、(本題滿分 9 分)k設位于點(0，1)的質點 A 對質點 M 的引力大小為 r 2 (k>0 為常數，r 為質點 A 與 M 之間的距離)，質點 M 沿曲線 y = 2x - x2 自 B(2,0)運動到 O(0，0).求在此運動過程中質點 A對質 M 點的引力所做的功

12、.解： MA =0 - x,1 - y2 分r = x 2 + (1 - y) 2 .因引力 f 的方向與 MA 一致，故 f =k-x,1 - y .4 分r31988 年 第 3 頁從而W = òBOk -xdx + (1 - y ) dy6 分3r= k ×(1 -1) .9 分5七、(本題滿分 6 分)æ100 öæ10 0öç÷ç÷已知 AP = PB ,其中 B = ç000 ÷, P = ç2-1 0÷ 求 A 及 A5 .ç00&

13、#247;ç21 1÷è-1øèøæ 100ö解：先求出 P-1 =ç2-10÷ .2 分ç÷ç-411÷èøæ100 öæ10 0 öæ 10 0 ö因 AP = PB ，故 A = PBP-1 =ç2-10÷ç000 ÷ç2-1 0÷ç÷ç÷ç÷ç

14、;211÷ç0÷ç-41 1÷èøè0 -1 ø èøæ10 0 öæ 10 0 öæ10 0 ö=ç20 0 ÷ç2-1 0÷= ç20 0÷ .4 分ç÷ç÷ç÷ç2÷ç1 1÷ç6÷è0 -1 øè -4ø

15、;è-1 -1ø5個5個從而 A5 = AAAAA =（PBP -1）(PBP -1 ) (PBP -1 ) = PB 5 P -1 =PBP -1 =A .6 分八、(本題滿分 8 分)æ200 öæ200öç÷ç÷已知矩陣 A = ç001÷ 與 B= ç0y0÷ 相似，ç0 1 x÷ç0 0÷èøè-1ø(1) 求 x 與 y； (2)求一個滿足 P-1 AP = B 的

16、可逆矩陣 P .解：(1) 因 A 與 B 相似，故| lE - A |=| lE - B | ，即1 分l - 200l - 2000l-1=0l - y0，0-1 l - x00l +1亦即 (l -2)(l2 - xl -1) = (l -2)(l2 +(1 - y)l - y) .1988 年 第 4 頁æ 200 öæ 200ö比較兩邊的系數得 x = 0, y = 1 .此時 A =ç001÷， B =ç010÷.3 分ç÷ç÷ç0 10÷&#

17、231;0 0÷èøè-1ø(2) 從 B 可以看出 A 的特征值 l = 2,1, -1 .4 分æ1 ö對 l = 2 ，可求得 A 的特征向量為 p1 = çç 0 ÷÷ .çè 0 ÷ø æ 0 ö對 l =1 ，可求得 A 的特征向量為 p2 = çç1 ÷÷ .çè1 ÷øæ0ö對 l = -1 ，可求得 A 的特征

18、向量為 p=ç1÷ .7 分3ç÷ç÷è-1ø因上述 p1 , p 2 , p3 是屬于不同特征值的特征向量，故它們線性無關.æ100ö令 P = ( p , p , p ) =ç011÷，則 P 可逆，且有 P-1 AP = B .8 分123ç÷ç0 1÷è-1ø九、(本題滿分 9 分)設函數 f (x) 在區間 a, b上連續，且在 (a, b) 內有 f ¢(x) > 0 .證明：在 (a, b) 內存在唯一的x ，使曲線 y = f (x) 與兩直線 y = (x ), x = a 所圍平面圖形