1、大數定理與中心極限定理典型題解（全面版）資料第四章 大數定理與中心極限定理典型題解1 計算器在進行時，將每個加數舍入，最靠近它的整數，設所有舍入誤差 相互獨立且在(0.5,0.5)上服從均勻分布，將1500個數相加，問誤差總和的絕對 值超過15的概率是多少？解 設第k個加數的舍入誤差為 Xk(k 1,2,1500),已知Xk在(0.5,0.5)上服從均勻分布，故知E(Xk)0,D(Xk)1500Xk，由中心極限定理,當n充分時有近似公式x(x)，P X 1500 0150012于是P x15 1 P x 15P 15 01 PX 015 X15150 1500 "12.1500 11

2、21500 215(15).1500.兀)" '1500 兀2 (一!51 2 (1.342) 21 0.90991500120.1802.即誤差總和的絕對值超過15的概率近似地為0.1802 .2. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的長度不小于3m，現在從這批木柱 中地取100根，求其中至少有30根短于3m的概率.解 以X記被抽取的100根木柱長度短于3m的根數，則X b(100,0.2).于是由中心極限定理得PX 30P30 X 30 100 0.2PJ100 0.2 0.8X 100 0.2100 0.2 30 20()(、16)100 0.2 0.8 .100 0.

3、2 0.81(2.5)1 0.9938 0.0062.3. 將一枚硬幣投擲49次，(I )求至多出現28次正面的概率；(II )求出現20-25次正面的概率.解 以X表示49次投擲中出現正面的次數，則有 X b(49, 12). (I )由中心極限定理得2849 (2)(1)0.8413 ;1114922P X 28(II )由中心極限定理得20fl2549O2490.5557 0.0985 0.4572.4. 某廠有同號機器100臺，且獨立工作，在一段時間內每臺正常工作的概 率為0.8 .求正常工作的機器超過85臺的概率.解 設 為100臺中正常工作的機器數，則B(100,0.8)，且 np

4、 E 80, npq D 16 .80485 804由中心極限定理可得所求概率為0 80 P 851P0851 P-41 (1.25)( 20)0.1056.5. 一生產線生產的產品成箱包裝，每箱的重量是隨機的.假設每箱平均重 50kg，標準差5kg .若用最大載重量5t的汽車承運最多可以裝多少箱才能保障 不超載的概率大于0.977 .解 設n為每輛車所裝的箱數,i (i 1,2, n)是裝運的第i箱的重量，且E i 50, D i 25 . n箱的總重量n有 E 50n,D 25n，由中心極限定理近似服從正態分布N(50n,25n).現求使下面不等式成立的P5000P50n5 n500050

5、n5n1000 10n0.977查正態分布表得100010n從而n 98.0199，即最大可以裝98箱.6. 設一大批產品中一級品率為10%，現從中任取500件，這500件中一件 級品的比例與10%之差的絕對值小于2%的概率.E 50, D 45由中心極限定理得p|莎 01 002 P 50 10 p牆 總52 (1.49) 1 0.8638.7設一袋味精的重量是隨機變量，平均值 100g,標準差2g求100袋味精 的重量超過10.05kg的概率.解 設i(i 1,2,100)第i袋味精的重量，100袋的總重量12100 ,而E i100, D i4，所以所求概率為P100501P010050

6、10 100P.而100100 10010050 100 10022一 100 21 (2.5)(500)1 0.993790.00621.8.本200頁的書，每頁上的錯誤數服從參數為 0.1的泊松分布，求該書 的錯誤數大于15個的概率.解 設 為該書的總錯誤數，則E 20，D 20,于是所求概率為P151P0150 201 P-V2020”2015 2020 1 (1.12)(4.47)0.8686.9.某射手打靶,得10分，9分，8分，7分，6分的概率分別為0.5,0.3,0.1,0.05,0.05.現射擊100次，求總分多于880分的概率.解 設為100次射擊的總分數，依題意，E915,

7、 D122.75 .根據中心極限定理得0 915915P 8801P09151 PV122.75.122.75880 915122.75 '1( 3.16)0.9992.10. 一生產過程的次品率為12%，隨機地自這一生產過程生產的產品中取出 120只，求次品不多余15只的概率.解 以X記120只產品中的次品數，貝U X B(120,0.12).所需求的概率為X 120 0.12PX 15 -120Oh0.8815 120 0.12一120一0.12一0.88(0.17)0.5675.11 某種難度很大的心臟手術成功率為 0.9，對100個病人進行這種手術,以X記手術成功的人數.求P8

8、4 X 95.解依題意有95 100 0.984 100 0.9P84 X95(.100 0.9 0.1 )()、100 0.9 0.1(1.67)(2)0.9525 0.9772 10.9297.12. 在一零件商店中，其結帳柜臺替各顧客服務的時間(以分計)是相互獨立的隨機變量，均值為1.5，方差為1.求對100位顧客的總服務時間不多余 2 小時的概率.解 以Xi(i 1,2,100)記對第i位顧客的服務時間.按題設需求概率為100P Xi 120i 1(120 150)(10)120 100 1.5100廠100i 1 Xi 100 1.5L1iL>500 1(3) 0.0013.1

9、3. 某種電子元件的壽命服從數學期望為 2的指數分布，各元件的壽命相互 獨立，隨機取100只元件，求這100只元件的壽命之和大于180的概率.解 設X為100只元件的壽命之和，則E(X) 200, D(X) 400，則所求概率為PX 180)1P0 X 1801 ( 1)( 10)0.8413.1 。蘭。V400X 200,400180 20040014. 某工廠有200臺同類型的機器，每臺機的實際工作時間只占全部工作時 間的75%，各臺機器是否工作是相互獨立的，求一時刻有144至160臺機器正在工作的概率.解 設隨機變量丫表示任一時刻正在工作的機器的臺數，則丫服從二項分布B(200,0.75

10、).所以所求概率為P144 丫 160(_160_200_0.75_.200 0.75 0.25(_144_200_0.75-200 0.75 0.25(1.63)( 0.98)0.7849.15. 在次品率為丄的一大批產品中，任意抽取300件產品，利用中心極限定6理計算抽取的產品中次品書在 4060之間的概率.解 設X為300件產品中次品的件數，依題意知2501X B(300, ), E(X) 50, D(X)6利用中心極限定理得、1.0 ；2. - ；3. 121；4.正態分布；5.設x:100次中出現正面的次數，Xb(100-)，21x 100 - 2100 1近似N(0,1)，5則 P

11、(x 60)P(x 100 -2100 1 12 260 100 1. 2)100 1 1V 2 22) 1=1-0.97725=0.02275近似n6.0.2/ . nN(0,1)，所以P(Xna 0.1)P( 0.1Xna 0.1) P(0.10.2/ . nXna0.1P(Xna 0.1)0.95，即(島)0.95,1.96n 3.92215.3664，答案:16二、1、去掉2、0.2/ n_0)2 (0.2/n> 1()0.9752三、1、設xi :第i次射擊時命中的炮彈的個數i 1,2,100，E(Xi)2，,DCxT)1.5，由中心極限定理知:100Xi 100i 1.100

12、 1.52近似 N(0,1)題目所求為100P(180 Xii 1220) P(°°15100Xi 200i 1220 200)1542()1=0.81643Xi 200P(i 1152、1 )設xi :第i個數的誤差，i 1,2,1500, Xi U ( 0.5,0.5)，E(xJ 0D(xJ11215001500Xi1500 0Xi近似由中心極限定理知：i1i 1N(0,1)150015001500P(Xii 115) 1 P(Xii 115)15001 P( 15 Xii 115) 1Xii 15.5(1 (1-0.90988 ) =0.18024=22 210的概率

13、為0.9 ,2）設n個數加在一起時誤差總和絕對值小于n(儒)P(10（忌）0.9Xi10) P(巴121500Xii 1 i 10)n n12 120.9，0.95，查表可得n441一 13、設x: 6000只元件中合格品的個數 xb（6000,），由中心極限定理知:1x 6000 -6156 66000x 1000近似50/ . 364、設洛：第i箱的重量，設最多可裝 n箱，E(xJ50 ,3)由中心極限定理知:nXi n 50近似 L1 N(0,1)，、n 5nXi 50nPC1-5jn5000 50n、(5000 50n、)( 丿5jn0.977(100；0n)0.977，(2)0.97

14、7，n=995、設x : 400臺中故障的臺數x b(400,0.02),由中心極限定理知:仝 400 °.°2 n(0,1)400 0.02 0.98查表即可P(x 2)1 P(xx 400 0.022) 1 P(E020.98400 0.02.400一0.020.98)2 400 0.02(400.00.98)b(100,0.2),由中心極限定理知:2020近似.100 0.2 0.8N(0,1)P(1430)P(0201.5201.5)(2.5)1.5)x 11x 1000P(6000 6 五)P(x 1000 60) PEr=0.98124(2.5)(1.5)1=0

15、.9937+0.9332-仁0.92697、設x: n個部件中正常工作的個數x b(n,0.9),由中心極限定理知:x 0.9 n0.1 nx詢近似N(0,1)03、nP(xn0.8)0.95，xP( 0.8) P(x n0.8n)x 0.9n0.8n 0.9nP( 03 n0.3 n )(0.3n)(03)0.3、n)0.95查表可得n 25508、E( k)0.03, D( k)0.03，由中心極限定理知:k 500.03 近似k 1N(0,1)，50k 50 0.03P(y 3) P(=50：0.033_50_0.03)1；50 ,0.03(3_50_0.03” 50 : 0.031(1

16、155)1C1.5)=0.1129、設x:10000盞燈中開著的個數x b(10000,0.7),由中心極限定理知:x 100000.710000 0.7 0.3x 7000近似2100N(0,1),P(6800 x 7200) P(68007000J2100x 700021007200_7000).2100200 曲1=0.9999910、設x:10000件中不合格的個數,x b(10000,0.005)由中心極限定理知：丄 10000 0.005 n(0,1)，V10000 0.005 0.095P(x 70)P(x 10000 0.005.10000.000.09570 10000 0.

17、005.100000.005一0.09520(Tr)查表即可11、設應預備n件，x:10000人中需用商品的件數xb(10000,0.6)，P(x n)P(_x_10000_0.6_10000 0.6 0.4n 10000 0.610000 0.6 0.4(n_6000).240099.7%查表可求得第五章大數定理及中心極限定理2:題略。10 解：以 Xi(i 1,2,10)記第i個產品的長度。以L記10件產品的總長度：Li 1按題設E(Xi)2,D(Xi)0.0025.由定理四可知L 10 2,?0 0.05近似的服從N(0,1)分布，故產品合格的概率為p P(|L 201 0.1)P(_0

18、.1_而 0.05_L_20_而 0.050.1 0.1(一10一0.05)(：10一0.05)(0.63)( 0.63)2 0.7357 1 0.47144:題略。解：以Xi(i 1,2，,5000)記第i只零件的質量，以 W記5000只零件的總質量:5000W Xii 1按題設 E(Xi)0.5,D(Xi)0.01,由定理四，可知W 5000 0.5X 5000 0.1近似的服從N(0,1)分布，故所求概率為:P(W 2510) 1 P(W 2510)P(W 5000 0.5 ,5000 0.10 2)2510 5000 0.5),5000 0.11 0.9213 0.07877:題略。解

19、 ( 1)將觀察一個部件是否正常工作看成是一次實驗，由于各部件是否正常工作是相互獨立的，因而觀察100個部件是否正常工作，是100重伯努利實驗，以X表示100個部件中正常工作的部件數，則X b(100,0.9)，按題意需求概率 P(X 85)，由棣莫佛拉普拉斯定理知 一X 100 0.9-，近似的服從N(0,1)分布，故所求概率為:J100 0.9 0.1P(X 85)X 100 0.9.10。0.90.1100 0.9.1000.90./P(85 X )85 100 0.9 P(,100 0.9 0.151( 3)0.9525(2)設正常工作的部件個數是m，則m0.8m時才可以正常工作，由題

20、得P(m 0.8m)1P(m 0.8m)0.95P(m 0.8n)0.8n np )np(1 p)1(0.95所以24.5從而解得n所以，n至少為25才可以使系統的可靠性不低于 9:題略。0.95。nXi 解軍：由定理可知，當n充分大時，1Vn1 n-Xin i 1- N(0,1)，-X即-N(0,1)由題設D(X400(i1,2,n)，即有400,X是 20N(0,1)，20 nP(|X |P( 1 x1P(20nX20(1)0.9751故需要120n(1.96),1.96 ,20 n1536.64。所以n因為n為正整數，故n至少為第六章 大數定律和中心極限定理研究隨機變量序列的各種極限 （

21、 或收斂性 ） 的理論 . 我們知道 , 概率 論是研究隨機現象統計規律的學科 然而隨機現象統計規律性只有在相 同條件下進行大量重復的試驗或觀 察才能顯現出來 , 這就要用到極限 去刻劃 . 隨機現象在大量重復試驗 中呈現明顯的規律性 , 這只是一個 信念 , 其確切含義和理論根據是什 么？現在就來解決這些問題 . 極限定理是概率論中最重要的理論 它在概率論與數理統計的理論研究 與應用中起著十分重要的作用 .第一節 契比雪夫不等式這里介紹一個重要的不等式 - 契比雪夫不等式 , 它是大數定律和 中心極限定理的理論基礎 .定理 設隨機變量X存在數學期望EX和方差DX ,則對任意正數, 成立P|

22、XEX| DX ,此式稱為契比雪夫不等式. 或等價地P| X EX |1P| X EX |1證明（1）當X為離散型隨機變量分布律為PX X Pi , i 1,2,則有P| X EX| PX x|Xi EX|Xi EX|(XiEX)2PXXi(Xi EX)2PXXiDX(2)當X為連續型隨機變量 概率密度為f(x), 則有P| X EX| |X EX|f (x)dx|X EX|(XEX)22f (x)dx2(x EX) f (x)dxDX2例P| X EX | a DX_dx_ 丄,(a 0)'、 2 2(a DX ) a從上述證明方法中，還可以看 出(類似可證),成立P| X|(0,k

23、P| X EX| E|X|kk,1)E(|X EX|k)(0,k 1)；等形式的不等式（車貝謝夫,車貝曉夫，切比雪夫） 例設隨機序列Xn和隨機變量X ,如果imEIXn Xf 0，則對任意 0,有 limP|Xn XI 0n證明因為對任意0，成立P| Xn X| EX Xf2 ，2利用條件|imE|Xn X| 0，即得成立nim P| XnX |0定理 設隨機變量X的數學期望EX和方差DX均存在，且DX 0, 則有 PX EX 1 .證明由車比謝夫不等式P| X EX |DX2 ,得0 P|X1EX| -nDX（丄）2n 1,2,P| X EX| 1 o, n 1,2,n1又| X EX| 0

24、| X EX| -,n 1n '0P| X EX | 0 P( | X EX | 1)n 1nP| X EX| -0,n 1n于是 P| X EX| 01,即 PX EX 1.(P(A1 A.) P(A) P(A2)P(AA2)P(A1)P(A2),P(AA A3)P(A) P(A2)P(A3),P( A)P(Ai)i 1i 1八第二節大數定律在第一章中我們指出，隨機事件的頻率fn(A)仏，當n 時,nfn(A)具有某種穩定性和統計概n率的定義 5.它們的真正含義，在當 時無法說清楚，現在就來說清楚這 個問題對于這一點，大數定理將 給于理論上的依據.下面只介紹大 數定理的最基本情形定理

25、一(契比雪夫大數定律)設Xi,X2, ,Xn,是相互獨立的 隨機變量序列，每一個Xi都有有限 的方差，且有公共的上界，即D(Xi) C，i 1,2，n，則對任意0，成立nnlimP| Xi - EXi|1，n i 1 n i 1nninm P| - Xi - EXi |0 .n i 1 n i 11 n證明令 Yn Xin i 1由數學期望的性質，有nnEY E( Xi) EXi，n '1n因 X1,X2, ,Xn, 由方差的性質，得到1 nDYn D( Xi)n i 11 n2i 1相互獨立,12nc g ,n |1 n利用契比雪夫不等式，可得11 P| XinDXi,i 11nEX

26、,|P| Yn EYn |DYn在上式中,令n1 Ijm P|-n,即得XiEXi|n i 1定義依次序列出的隨機變量：X1,X2, ,Xn,簡記為Xn,簡稱 隨機（變量）序列Xn.定義對于隨機（變量）序列X” 和隨機變量X（或常數a）,若對任 意 0,有l”mP|Xn X| 1（或lim P| Xn a| 1）則稱隨機（變量）序列Xn依概率收斂于X（或常數a）.（等價于 lim P| Xn X| 0）簡記為X” P X,（n ）（或 XnP a,（n ）推論（辛欽大數定律）若隨機 變量序列Xi,X2, ,Xn,獨立同分 布,且存在有限的數學期望和方差EXi ,DXi 2, （i 1,2,）

27、則對任意 0,有lim P| X |1 ,1 n其中X - Xi .證明由數學期望和方差的性質及 條件，有1 nEXE(Xi)n i 1nnEXi ,n i1n i 11 nDXD( Xi)1 n 22n i1n i11 n -DXi n i1對任意 o,有P| X EX| DX 1 2n1 P|X |于是成立inm P| X| 1 ,即X依概率收斂于常數.這個結論將在第八章中用到 ， 是用樣本均值作為總體均值 的點 估計的理論依據.定理二(貝努里大數定律)設 九是n次獨立重復試驗中事件 A發 生的次數，p是事件A在每次試驗中 發生的概率，則對任意0,成立lim P| -Ap| 1 .n證明引

28、人隨機變量1,第i次試驗中A發生Xi0,第i次試驗中A不發生則n次試驗中事件 A發生的次數XiX2X-,，-由于是獨立試驗,所以Xi,X2, ,X- 相互獨立，且都服從相同的(0 1) 分布,即PXi 1 p,PXi 01 p,i 1,2,于是EXi p,2 11 2 1 DXi p（i p） p p - e p）-424利用契比雪夫大數定律的推論，得lnm P| 丄 p| nlim P|Xp| 1貝努里大數定律表明：事件A發生的頻率n依概率收斂于事件An第三節中心極限定理在對大量隨機現象的研究中發 現,如果一個量是由大量相互獨立 的隨機因素所造成，而每一個別因 素在總影響中所起的作用較小，那

29、么這種量通常都服從或近似服從正 態分布.例如測量誤差、炮彈的彈著 點、人體體重等都服從正態分布，這 種現象就是中心極限定理的客觀背設隨機變量Xi,X2, ,Xn,獨立 同分布,且Xi N( , 2),(i 1,2,)n記YnXi , (EYn n ,DYn n 2),i 1Yn* Yn D：Yn Yn nn稱為Yn的標準化，則有 Yn*N(0,1)Fy；(X)PYn X (x)對任意實數x,有Yn n 、 limPY x*lim PYnx lim Fx)te'dt(x).一般地，有下述結果。定理三(同分布的中心極限定理)設隨機變量X1,X2, ,Xn,獨立同 分布,且存在有限的數學期望

30、和方EXi ,DXi(i 1,2,)n記YnXi , (EYnYni 1Yn EYn.DYnYnn , DYn n2),稱為Yn的標F/X) PYn、一準化,則對任意實數X,有Yn nIjm p=*lim PYnre'dt2XX變量Xlim FYn*(x)nn(x).定理表明,當n充分大時,隨機Xinni 1近似地服從標準正n態分布N(0,1).因此,Xi近似地服i 1從正態分布N(n ,n 2).由此可見,正 態分布在概率論中占有重要的地位.定理四(De Moivre-Laplace 定 理) 設n是n次獨立重復試驗中事件 a 發生的次數，p是事件A在每次試驗 中發生的概率，則對任意

31、區間a,b, 成立inmpa 爲(爲b1 e'dt (b)(a)證明引人隨機變量1,第i次試驗中A發生0,第i次試驗中A不發生則n次試驗中事件 A發生的次數X1x2Xn ,由于是獨立試驗,所以X1,X2, ,X相互獨立，且都服從相同的(0 1) 分布,即PXi 1 p,PXi 01 p,i 1,2, ,n于是EXi P，DXi p(1 P)由定理三，即得計XnXi npJ|mP&r7)*(x)，x 1專2 e dt于是對任意區間a,b,有l|m Panp叩(1p)bt2e 2dt(b)(a).近似計算公式N npnp M np ,p)PNP Nnp(1 p) np(1 p) n

32、p(1MnpnpM npn p(1 p)n p(1 p)(M np )n p(1 p)例1某計算機系統有120個終端, n p(1 p)g .每個終端有5%1 勺時間在使用，若各終端使用與否是相互獨立的，試求有10個以上的終端在使用的概率. 解以X表示使用終端的個數， 引人隨機變量1,第i個終端在使用0,第i個終端不使用1,2, ,120 ,Xi X2X120由于使用與否是獨立的，所以 X1,X2, X。相互獨立,且都服從相同的(0 1)分布,即PXi 1 p 0.05,PXi 0 1 p,i 1,2, ,120 于是,所求概率為PX 101 PX 101 P X npVnp(1 p)由中心極

33、限定理得PX 10110 np n p(1 p),PX 10X np10 np n p(1 p)1例2現有一大批種子,其中良種占1 P Jn p(1 p)(10 np )n p(1 p)(10 120 0.05 )(120 0.05 0.95)(1.68)1 0.9535 0.0465 .1.現從中任選6000粒，試問在這些6種子中,良種所占的比例與1之誤差6小于1%|勺概率是多少？ 解設X表示良種個數， 則1X B(n, p), n 6000, p -,6 所求概率為X iP| 0.01P| X np I n 0.01n 0.01np(1 p)6000 0.01I1 56000I6 6n 6

34、pp丿歸|np(1 p)P| X nP I np(1 p)(2.078)( 2.078)2 (2.078) 12 0.98 10.96 .例3設有30個電子器件Di, D2, D30,它們的使用情況如下：Di損壞，D2接著使用；D2損壞，D3接 著使用等等設器件Di的使用壽命服 從參數 0.1（單位：h1）的指數分布 令T為30個器件使用的總時數，問T超 過350h的概率是多少？解設Xi為器件D i的使用壽命，Xi服從參數 0.1（單位:h1）的指數分布，立，X1，X2，X30 相互獨XnTX1X2n30，EXi1 110，0.12DXi丄110020.1由中心極限定理得PT 3501 PT

35、3501 Pd35丄nn1C3500)V30 1011(0.91)1 0.81680.1814 .例4某單位設置一 總機，共 有200架 分機.設每個 分機 有5%的時間要使用外線通話，假定 每個分機是否使用外線通話是相互獨立的，問總機需要安裝多少 條外線才能以90%的概率保證每個分機都能即時使用解依題意設X為同時使用的 分機個數， 則 X B(n, p),n 200, p 0.05,設安裝了 N條外線， 引人隨機變量1,第i個分機在使用'0,第i個分機不使用i 1,2, ,200 ,XiX2由于使用與否是獨立的,所以 Xi, X2, X200相互獨立,且都服從相同的(0 1)分布,即PXi 1 p 0.05,PXi 01 p,i 1,2,200,X N保證每個分機都能即時 使用,PX N 0.9 ,0.9 PX NP X npn p(1p)N np np(1 p)N np np(1 p)(N 200 0.05 )(200 0.05 0.95)N 10*N 103.08),查標準正態分布表乙.9N 10N 1.28 3.08 10 13.94,