1、第三章方差分析（初稿）3.1單因素方差分析的數學模型首先讓我們看兩個例子：例3.1 設甲、乙、丙三塊麥田的基本苗數（按面積大小抽取樣本點數）得表3.1，問三塊地的基本苗數是否有顯著差別？表3.1三塊麥田的基本苗數甲乙丙2120242925222425282223252529213031262724.2626.20.21.例3.2為了研究淬火溫度和等溫溫度對銑刀硬度的影響三種不同淬火溫度和三種等溫溫度淬火，測得銑刀平均硬度如表3.2，檢驗淬火溫度及等溫溫度是否對硬度y有顯著影響。 表3.2 淬火溫度與等溫溫度對硬度的影響淬火溫度等溫溫度B1B2B3A1646668A2666867A3656768

2、這兩個例子和以前回歸分析的問題不同首先，它們都只考察某種因素(地塊、淬火溫度、等溫溫度)在一系列試驗中對產品某個指標(壽命、得率)的影響是否顯著，而不要求建立回歸方程；其次，這些因素可以不是定量的(如地塊)，即或這些因素是定量(如淬火溫度與等溫溫度)但其數值也不作為回歸中變量的觀察值，而只是代表一種處理（試驗方案）；最后，當因素確定后，可以作反復的試驗。這兩個例子和以前均值假設檢驗也不同，均值假設檢驗不考慮因素問題，而方差分析要考慮。 在許多科學研究中都遇到和這兩個例子類似的問題。尤其是科學研究中常涉及許多因素，例如研究作物栽培時，要考慮播種期、品種、土質、施肥方式、灌溉方式對產量的影響；在化

3、學反應中要觀察原料成分、劑量、催化劑、溫度、壓力，攪拌速度等對得率的影響。這些因素中要選出影響大的，以進一步安排更細致的試驗，而判斷一個因素的影響“是否大”的主要方法就是方差分析。 我們所考察的。影響產品指標的因素(如產地，溫度等)也稱為因子，用大寫字母A,B,C表示，例1有一個因子（地塊），例2有2個因子（如淬火溫度與等溫溫度）。因素所能處的狀況，如甲、乙、丙；60，65，70，75，稱為因子的水平，簡稱為水平。例1的因子有三個水平（甲、乙、丙），例2每個因子恰也有3個水平，水平常以表示。因子也可以看成是一種變量，其取值不是數，而是水平。例如“產地”是一個變量，它取的值是“北京”、“上海”、

4、“南京”等。這種變量稱為屬性變量，定性變量或分類變量本節只討論一個因子，即一個分類變量的方差分析單因子方差分析。方差分析的目的在于找出自變量與因變量之間的線性關系，或自變量對因變量的實驗效果。這種實驗效果可分為：主效果、交互效果、鑲嵌效果。Qualitative Variable(自變量，又稱獨立變量、定性變量)，Classification Variable(分類變量，其數值多半是不連續的。Response Variable（因變量，又稱反應變量，其數值則是連續的）一般地，假設因素A有k個水平：。第j個水平做實驗次，得指標y，的個數據。例3.1中。通常作如下假設：（1） 同一個水平下得到的觀

5、測值，是由于實驗過程中各種偶然因素的干擾及測量誤差所致，每次實驗中這些偶然因素的總和稱為實驗誤差，它們是方差相同的零均值正態隨機變量；（2） 所有誤差相互獨立；（3） 由于水平的不同，可能會給一個定量的確定性的影響，其大小是未知的。于是我們建立單因子方差分析數學模型 （3.1）其中相互獨立，。(4.1)式稱為單因素方差分析的數學模型。判斷這個因素的影響是否顯著就是要檢驗假設：,不全相等令 ，容易證明是的最小二乘估計 作方差分解并令，即:-總的誤差平方和組內差，反映試驗誤差影響的大小。-組間差，反映因素A的各個水平不同引起的誤差，若A的水平引起的誤差顯著時，就比較大，反之就比較小。則有：分別稱為

6、組內差和組間差。組內差又稱為誤差，用以估計實驗誤差影響的大小；組間差反映因素A的水平不同引起的系統差異。若A的水平不同引起的系統差異(即組間的差距)顯著時，SSA就比較大；反之，當A引起的系統差異不顯著時，SSA就比較小而SSE主要是由試驗誤差引起的。SSA由k個平方之和形成，但有一個恒等式約束，只有k-1個自由度；同理SSE有n-k個自由度。下列定理給出SSA/SSE的分布定理： 對于所給的模型，若成立時，則 如果F的值超過臨界值（通常取為），就否定；當F超過時，就稱為高度顯著。當成立時，F的值不應太大，若F的值大于臨界值時，就應否定，即認為間存在顯著差異。一般總用方差分析表表示計算結果，其

7、形式為：方差來源平方和自由度均方F值臨界值因素AK-1F誤差N-K總和N-13.2 方差分析的計算方差分析的計算一般都很復雜，可用SAS軟件計算。SAS中有GLM，ANOVA和NESTED等過程可用方差分析。其中GLM過程和ANOVA最常用。3.2.1 PROC ANOVAPROC ANOVA 執行對均衡數據的方差分析，其應變量取連續值。所謂均衡數據是指對每個類變量的組合有同樣多的響應變量觀察值數。如果數據的非均衡的就要用PROC GLM,做方差分析。ANOVA的語法為： PROC ANOVA DATA= SAS-data-set MANOVA MULTIPASS OUTSTAT= SAS-d

8、ata-set; CLASS variables; /* required */ MODEL dependents=effects / options; /* required */ ABSORB variables; BY variable-list; FREQ variable; MANOVA H= effects E= effect M= equations. MNAMES= names PREFIX= name / options; MEANS effects / options; REPEATED factorname levels(levelvalues) transformati

9、on<,.> / options;TEST H= effects E= effect;其中PROC ANOVA、CLASS variables和MODEL dependents=effects / options是必須的。CLASS variables給出分類變量名，這些變量可以是數值的也可以是字符型的，而且CLASS必須在MODEL語句之前。MODEL dependents=effects ，給出應變量和自變量。其后有若干選項。322 PROC GLMPROC GLM 用最小二乘法擬合線性模型。該過程可以用來做回歸、方差分析、協方差分析等。PROC GLM是在廣義線性模型的框架下

10、分析數據。處理的數據可以是類變量、離散變量或連續變量。其只要功能是：A、simple regression B、 multiple regression C、 analysis of variance (ANOVA), especially for unbalanced data D、 analysis of covariance E、response-surface models F、weighted regression G、 polynomial regression H、 partial correlation I、 multivariate analysis of variance

11、(MANOVA) J、repeated measures analysis of variance. 其語法為：PROC GLM options ; CLASS variable-list; MODEL dependents= independents / options; /* required */ ABSORB variable-list; BY variable-list; FREQ variable; ID variable-list; WEIGHT variable; CONTRAST 'label' effect values. / options; ESTIMA

12、TE 'label' effect values. / options; LSMEANS effects / options; MANOVA H= effects E= effect M= equations. MNAMES= names PREFIX= name / options; MEANS effects / options; OUTPUT OUT= SAS-data-set keywords= names. ; RANDOM effects / options; REPEATED factorname levels (levelvalues) transformati

13、on<,.> / options;TEST H= effects E= effect / options;其中PROC GLM options 、CLASS variable-list、MODEL dependents= independents /是必須的。MODEL dependents= independents 的選項有：NOINT INTERCEPT NOUNI SOLUTION TOLERANCE E E1 E2 E3 E4 SS1 SS2 SS3 SS4 ALPHA= p CLM CLI P XPX INVERSE SINGULAR= value ZETA= valu

14、e *|上述選項可分為五大類：第一類選項 與截距的界定有關，有兩個選項：（1） NOINT 要求GLM將截距的參數排除在模型之外（2） INT要求GLM印出截距的統計鑒定。第二類選項 與報表的打印有關，有三個選項：（1） NOUNI（2） SOLUTION（3） TOLERANCE第三類選項與原假設的檢驗有關，有九個：E E1E2E3E4SS1SS2SS3SS4第四類選項與控制計算過程有關：XPXINVERSE第五類選項可用來調整統計的精度：ZETAGLM過程主要有四個語句：PROC GLM，CLASS，MODEL和LSMEANS語句PROC GLM語句用以調用GLM過程，有許多選項，其中DA

15、TA選項用以說明GLM過程所加工的數據集。CLASS語句說明哪些變量是分類變量。方差分析中的因素都是分類變量，響應變量和協方差分析中的協變量不是分類變量。例如class x z;就指示計算機把因子x ,z作為分類變量。MODEL語句中有等號，等號前是響應變量.LSMEANS語句用以求待估參數的最小二乘估計。323 計算實例例3.1（續），可用下列SAS程序dataseed;input area $ y;cards;甲21甲 29甲 24甲 22甲 25甲 30甲 27甲 26乙 20乙 25乙 25乙 23乙 29乙 31乙 24乙 26乙 20乙 21丙 24丙 22丙 28丙 25丙 21

16、丙 26;procglm;class area;model y=area;run;執行此程序后，得到的主要輸出有The GLM ProcedureDependent Variable: y Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model 2 6.7666667 3.3833333 0.32 0.7314Error 21 223.7333333 10.6539683 Corrected Total 23 230.5000000 R-Square Coeff Var Root MSE y Mean 0.029356 13.1

17、8805 3.264042 24.75000 Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F area 2 6.76666667 3.38333333 0.32 0.7314 Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F area 2 6.76666667 3.38333333 0.32 0.7314其中DF列表示自由度，Som of Squares列表示平方和。從 Error行DF列可查得誤差自由度為2，從Som of Squares列可查得誤差（殘差平方和）為223.7333333

18、；由area 行DF列可查得組間查自由度為21，從Type III SS列可查得組間差為6.76666667，從F Value列查得F值為0.32；從 Pr > F查得自由度為(2 ，21)的 F分布隨機變量大于0.32的概率為0.7314。它們構成表3.3。表3.3 例3.1的方差分析表方差來源平方和自由度均方F值F分布隨機變量大于1.14的概率因素area6.7666666723.383333330.320.7314誤差223.73333332110.6539683總和230.500000023表3.3中自由度為(2 ，21)的 F分布隨機變量大于0.32的概率為0.7314，大于0

19、.05，所以地塊因素（area）作用不顯著，即由于地塊不同，基本苗數沒有差異。例3.1的SAS程序也可簡化為data seed;/*建立數據庫seed*/do area=1to3;/*循環語句開始，area=1，2，3分別表示甲乙丙三地塊*/input y ;/*讀入y的值*/output;/*將area 、y的值存入建立數據庫seed*/end;/*結束循環*/cards;2120242925222425282223252529213031262724.2626.20.21.;procglm;class area;model y=area;run;例33 本文件（CLOVER）包含一個自變量

20、及一個因變量。自變量是苜蓿的培養基，下分六種（即3DOK1， 3DOK4，3DOK5，。，COMPOS等，因變量是紅色苜蓿內氮氣的含量。這是一個平衡的實驗設計，我們用ANOVAC程序執行單因素的方差分析，并比較各培養基組的平均氮氣含量。 data clover; input strain $ nitrogen ; cards; 3dok1 19.4 3dok1 32.6 3dok1 27.0 3dok1 32.1 3dok1 33.0 3dok5 17.7 3dok5 24.8 3dok5 27.9 3dok5 25.2 3dok5 24.3 3dok4 17.0 3dok4 19.4 3do

21、k4 9.1 3dok4 11.9 3dok4 15.8 3dok7 20.7 3dok7 21.0 3dok7 20.5 3dok7 18.8 3dok7 18.6 3dok13 14.3 3dok13 14.4 3dok13 11.8 3dok13 11.6 3dok13 14.2 compos 17.3 compos 19.4 compos 19.1 compos 16.9 compos 20.8 ; proc anova; class strain; model nitrogen=strain; means strain / duncan waller; means strain /

22、lsd tukey cldiff; run;結果分析：六組含氮量經F檢驗后證明不盡相同。3DOK5組與3DOK4，3DOK13兩組也有顯著的不同。3DOK7與3DOK5組的平均數近似，3DOK4與3DOK13兩組的結果十分接近。其他的不能達成共識。這個例子是均衡數據，既可以用ANOVA也可以用GLM實現，而前一個 例子是非均衡數據只能用GLM進行計算。SAS的GLM過程采用采用啞變量方法，以便作方差分析和協方差分析。該過程的數學原理是建立一般線性模型（類似回歸模型）： （3.2）并用最小二乘法求解。在方差分析問題中，引進的變量都是示性變量，即只取0或1的變量。GLM過程對每一因子的每一水平，通

23、過class語句產生1個示性變量。對于例4.1的計算，一般線性模型是其中對于地塊甲=1，否則為0；對于地塊乙=1，否則為0；對于地塊丙=1，否則為0。從而設計矩陣是1100110011001100110011001010101010101010101010101010101010101010100110011001100110011001 對于一般線性模型，由于設計矩陣不滿秩，的解不是唯一的，但殘差平方和是唯一確定的，從而F檢驗可行。這從以下例3.1的一般線性模型計算可見。 令。為使S最小，分別對偏導得、注意到是是示性函數，=+,所以的解不是唯一的。由、分別可得代入可得最小值。SAS-GLM過

24、程的假設檢驗總要用到3型平方和(Type III SS)。3型平方和定義如下：設方差分析問題有m個因子，不包含某個因子一般線性模型的殘差平方和減去包含全體因子一般線性模型的殘差平方和之差稱為該因子的3型平方和。例3.1中Type III SS計算步驟如下：先求不含地塊因子的最小值=223.7333333再求求不含地塊因子的最小值= 230.5000000Type III SS=230.5-223.7333333=6.76666667參見復旦大學編，概率論，第二冊，第一分冊29頁，定理4(Cochran)，37頁定理5。3.3 多因子方差分析實際問題中往往要考慮多因素的影響，例如，檢驗藥效時，要

25、用多種劑量的藥對不同品種動物試驗觀察其效果；化工反應要考慮反應溫度、濃度、反應時間等對得率的影響。和單因子方差分析一樣，需要檢驗這些因子的影響是否顯著，這就是多因子方差分析問題。例3.2中的因子就是淬火溫度及等溫溫度，是雙因子分析問題。由于因素越多，公式越復雜，我們著重介紹兩因素的方差分析，更多因素的方差分析的原理是一樣的，用SAS計算的程序也是相同的。331一般雙因素無重復試驗無交互作用的模型設有兩個因子A、B，各有p、q個水平，時y的觀測值為。假設：（1） A的第I個水平使y增加；（2） B的第j個水平使y增加 ；（3） 試驗誤差是方差相等均值為零的正態隨機變量；（4） 試驗誤差相互獨立。

26、則得到模型為：要檢驗因素A、B的影響是否顯著，就相當于分別檢驗以下假設：，不全為零；，不全為零。令，可以證明：是的最小二乘估計；是的最小二乘估計。作方差分解并令，其中SSA稱為A的組間差，它由p個平方和組成，有一等式約束，自由度是p一1，反映A引起的系統差異；SSB稱B的組間差，反映B引起的系統差異，自由度是q一1；SSE稱為誤差，反映各種隨機因素引起的差異，由pq個平方和組成，包含(p+q-1) 個等式(等式可用上述等式中前p個之和減去后q-1個之和而得)所以自由度為(p-1(q-1)即有： 則有方差分解：其中反映了A引起的系統誤差，反映了B引起的系統誤差，反映了其它隨機誤差。我們有定理：定

27、理3。2： 當為真時，有：當當為真時，有：可由是否超過臨界值，判斷響應的假設是否成立。上述結果可以類似地用方差分析表的形式給出。例5.2（續），可用下列SAS程序data quench;do eqt=1to3;do qut=1to3;input hard ;output;end;end;cards;64 66 6866 68 6765 67 68;procglm;class eqt qut;model hard=eqt qut;run; 執行此程序得到的主要輸出有Dependent Variable: hard Sum of Source DF Squares Mean Square F Va

28、lue Pr > F Model 4 13.11111111 3.27777778 4.21 0.0962 Error 4 3.11111111 0.77777778 Corrected Total 8 16.22222222 R-Square Coeff Var Root MSE hard Mean 0.808219 1.325084 0.881917 66.55556 Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F eqt 2 1.55555556 0.77777778 1.00 0.4444 qut 2 11.55555556 5

29、.77777778 7.43 0.0450 Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F eqt 2 1.55555556 0.77777778 1.00 0.4444 qut 2 11.55555556 5.77777778 7.43 0.0450從 Error行DF列可查得誤差自由度為4，從Som of Squares列可查得誤差（殘差平方和）為3.11111111。由eqt行DF列可查得等溫溫度組間差自由度為2，從Type III SS列可查得組間差為1.55555556，從F Value列查得等溫溫度F值為1.00；從 Pr &

30、gt; F查得自由度為(2 ，2)的 F分布隨機變量大于1.0的概率為0.444 4。由qut行DF列可查得淬火溫度組間差自由度為2，從Type III SS列可查得淬火溫度組間差為11.55555556，從F Value列查得淬火溫度F值為7.43；從 Pr > F查得自由度為(2 ，2)的 F分布隨機變量大于7.43的概率為0.0450。對于例3.2全部計算結果可以列成方差分析表表35.4表3.4方差來源平方和自由度平均平方和F臨界值因素A（等溫溫度）1.555620.77781.0=6.94因素B（淬火溫度）11.555625.77787.43=6.94誤差3.111040.777

31、8總和16.22228由表3.4可見：不否定，否定從而B因素的作用是顯著的，A因素的作用不顯著，即淬火溫度對銑刀硬度有顯著影響，而等溫溫度(即悶火溫度)沒有顯著影響模型式的優點是不需做重復試驗，即對A,B不同水平，每一組合只需做一次試驗，這大大節省人力、物力，但也有缺點，如例4.3所示。 對于多因子方差分析，GLM過程對每一因子的每一水平，通過class語句產生1個示性變量。例3.2中有6個示性變量（3個示性變量表示等溫溫度，3個示性變量表示沾火溫度）。一般線性模型是由于設計矩陣不滿秩，解不唯一。但殘差平方和是唯一確定的，從而F檢驗可行。 例3.2中Type III SS計算步驟如下：先求包含

32、所有因子的最小值=3.1111再求不含等溫溫度因子的最小值=4.66667等溫溫度因子的3型平方和就是Type III SS=4.66667-3.11111=1.55556然后求不含沾火溫度因子的最小值=14.66667沾火溫度因子的3型平方和就是Type III SS=14.66667-3.11111=11.55556332 雙因素有重復試驗有交互作用模型例3.4對三種推進器（、）和四種燃料（、）試驗火箭的射程，得表5.5。推進器M與燃料F的作用是否顯著?表3.5 火箭的射程推進器燃料58.2，52.656.2，41.265.3，60.849.1，42.854.1，50.551.69，48.

33、460.1，58.370.9，73.239.2，40.775.8，71.558.2，51.048.7，41.4以F與M為因素按模型(4.4)式分析時，可采用SAS程序data rockey;do f=1to4;do m=1to3;do rep=1to2;input r;output;end;end;end;cards;58.2 52.6 56.2 41.2 65.3 60.849.1 42.8 54.1 50.5 51.6 48.460.1 58.3 70.9 73.2 39.2 40.775.8 71.5 58.2 51.0 48.7 41.4;procglm;class f m;model

34、 r=f m;run;從所得結果可見推進器和燃料引起的射程差異不顯著，是否這些推進器和燃料對射程的影響不大呢?并不是這樣的，從表（4.5）中可見，和的組合射程很遠；和的組合射程很近，不同水平的射程值作了平均后就不大不小了的緣故。因而模型(4.4)不能反映推進器和燃料的搭配對射程的影響。為了反映兩種因素搭配后的影響，必須引入“交互作用”的概念。設有兩個因子A、B，各有p、q個水平，對A、B的每個組合作k次重復試驗（為了檢驗交互作用必須有重復實驗）。y的觀測值為。假設：（1） 的第I個水平使y增加；（2） B的第j個水平使y增加 ；（3） 的交互作用使Y增加。（4） 試驗誤差是方差相等均值為零的正

35、態隨機變量；（5） 試驗誤差相互獨立。于是有數學模型：其中分別稱為因子A、B的主效應；稱為A與B的交互效應。當考慮交互作用時，方差分析問題就要檢驗，不全為零；，不全為零；，不全為零。并令，其中SSA稱為A的組間差，反映A引起的發散程度，統計它們包含等式個數容易看出，自由度是p一1；SSB稱B的組間差，反映B引起的發散，自由度是q一1；SSAB反映AB交互作用效應引起的發散；自由度是(p-1)(q-1),SSE稱為誤差，反映各種隨機因素引起的發散，自由度是pq(k-1)。則有方差分解：其中反映了A引起的系統誤差，反映了B引起的系統誤差，反映了A與B的交互作用，反映了其它隨機誤差。我們有定理：定理

36、： 當為真時，有：當當為真時，有：當為真時，有可由是否超過臨界值，判斷響應的假設是否成立。而且這3個檢驗是相互獨立的。所以當之一大于臨界值時，A,B因素的主效應或交互作用效應顯著。上述結果可以類似地用方差分析表的形式給出。表5.8 方差分析方差來源平方和自由度平均平方和F因子ASSAp一1SSA(p一1)因子BSSBq一1SSB(q一1)交互作用SSAB(p-1)(q-1)SSAB/(p-1(q-1)誤差SSEpq(k-1)總和TSSPq（k-1）用SAS軟件計算交互作用時，只需在有關因子中加*號。例如MODEL z=a b c a*b;指示計算機把a,b,c作為因子;考慮a,b的交互作用。例

37、3.4 的解：考慮交互作用的方差分析可用下述模型其中，且相互獨立。并用程序data rockey;/*建立數據庫rockey*/do f=1 to 4;/*開始循環，燃料因子取水平1、2、3、4*/do m=1 to 3; /*循環，發動機因子取水平1、2、3*/do rep=1 to 2;/*每個組合重復2次，變量rep計算中不起作用*/input r;/*讀入變量r*/output;end;end;end;cards;58.2 52.6 56.2 41.2 65.3 60.849.1 42.8 54.1 50.5 51.6 48.460.1 58.3 70.9 73.2 39.2 40.7

38、75.8 71.5 58.2 51.0 48.7 41.4;proc glm;class f m;model r=f m f*m;/*對主效應f、m和交互作用效應 f*m*作方差分析/lsmeans f m f*m; /*求主效應f、m和交互作用效應 f*m*的最小二乘估計/run;執行此程序后得到主要輸出如下General Linear Models ProcedureDependent Variable: R Sum of MeanSource DF Squares Square F Value Pr > FModel 11 2401.348333 218.304394 11.06

39、0.0001Error 12 236.950000 19.745833Corrected Total 23 2638.298333 R-Square C.V. Root MSE R Mean 0.910188 8.080549 4.443628 54.99167從 Error行DF列可查得誤差自由度為12，從Som of Squares列可查得誤差（殘差平方和）為236.95，從 Pr > F的值為0.0001可見，一般線性模型的線性關系是高度顯著的。Dependent Variable: RSource DF Type I SS Mean Square F Value Pr >

40、FF 3 261.675000 87.225000 4.42 0.0260M 2 370.980833 185.490417 9.39 0.0035F*M 6 1768.692500 294.782083 14.93 0.0001Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > FF 3 261.675000 87.225000 4.42 0.0260M 2 370.980833 185.490417 9.39 0.0035F*M 6 1768.692500 294.782083 14.93 0.0001由F行DF列可查得燃料組間差自由度為3，

41、從Type III SS列可查得燃料組間差為261.675000，從F Value列查得燃料F值為4.42；從 Pr > F查得發動機自由度為(3 ，12)的 F分布隨機變量大于4.42的概率為0.0260。由M行DF列可查得發動機組間差自由度為2，從Type III SS列可查得發動機組間差為370.980833，從F Value列查得淬火溫度F值為9.39；從 Pr > F列查得自由度為(2 ，12)的 F分布隨機變量大于9.39的概率為0.0035。由F*M行DF列可查得交互作用自由度為6，從Type III SS列可查得交互作用組間差為1768.692500，從F Valu

42、e列查得交互作用F值為14.93；從 Pr > F查得自由度為(2 ，12)的 F分布隨機變量大于14.93的概率為0.0001。此表配合前表即可得例3.3方差分析表表3.4 表3.4 例3.3方差分析表方差來源自由度平方和平均平方和F值Pr>FF(燃料)3261.65700087.2250004.420.0260M(發動機)2370.980933185.490174.390.0035F*M(交互作用)61768.692500294.78208614.93·0.0001SSE(誤差)12236.950019.745833總和232638.29833從方差分析表可見：F(燃

43、料)對應的概率在0.01與0.05之間，說明燃料的作用顯著；M(發動機)及F*M(交互作用)對應的概率小于0.01，說明發動機與交互作用的影響高度顯著。Least Squares Means F R LSMEAN 1 55.7166667 2 49.4166667 3 57.0666667 4 57.7666667上表給出不同燃料的射程均值（的最小二乘估計）。 Least Squares Means M R LSMEAN 1 58.5500000 2 56.9125000 3 49.5125000上表給出不同發動機的射程均值（的最小二乘估計）。 Least Squares Means F M

44、R LSMEAN 1 1 55.4000000 1 2 48.7000000 1 3 63.0500000 2 1 45.9500000 2 2 52.3000000 2 3 50.0000000 3 1 59.2000000 3 2 72.0500000 3 3 39.9500000 4 1 73.6500000 4 2 54.60000004 3 45.0500000上表給出不同燃料與發動機組合的射程均值（的最小二乘估計）。由表可見，最遠的射程是由第四種燃料與第一種發動機組合形成的，平均射程為7365公里。注意：考慮交互作用時，不要寫賦值語句333 PROC ANOVA的進一步討論和實例P

45、ROCANOVA 前面已經做了一些介紹。下面進一步作一些討論。假設有一個平衡的實驗設計，含有三個自變量（A、B、C），因變量以Y記，則此三個因子的主效應方差分析可以用下面的程序來執行：PROC ANOVA；CLASS A B C；MODEL Y=A B C；交互效應的統計模型以上述三個因子為例，其對應的主效應以及交互效應可用下列程序來執行：PROC ANOVA；CLASS A B C ；MODEL Y=A B C A*B B*C A*CA*B*C；當實驗設計含多個自變量時，交互效應會變得繁雜。此時可用“|”來簡化。如上例的MODEL指令可簡化為：MODEL Y=A|B|C；它相當于 MODEL Y=AB