1、第3講 等腰三角形和等邊三角形幾何學(xué)是在不準(zhǔn)確的圖形上進(jìn)行正確推理的藝術(shù)。                波利亞知識方法掃描有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是一種軸對稱圖形，它的底角相等，它的底邊上的高和中線，頂角的平分線重合。三邊相等的三角形叫等邊三角形，等邊三角形三個內(nèi)角都是60º。在出現(xiàn)等腰三角形的題目中，常用的輔助線作出等腰三角形底邊上的高（對稱軸）。這樣可以得到一對全等的直角三角形。根據(jù)題目的條件與結(jié)論，選取合適的對稱軸往

2、往是解題的突破口。此外，在有一個角是60º的情況下，構(gòu)造等邊三角形也是常用的方法。經(jīng)典例題解析例1（2003年重慶市初中數(shù)學(xué)競賽決賽試題）在等邊三角形ABC所在平面內(nèi)確定一點P,使、都是等腰三角形。則滿足條件的點P共有（）（A）1個 （B）4個 （C）7個 （D）10個解 除了等邊三角形ABC的中心外，我們考察BC垂直平分線上的點：P1是A點上方的點，A P1等于等邊三角形ABC的邊長；P1是BC下方的點，A P2等于等邊三角形ABC的邊長；P3也是BC下方的點，三角形P3BC是等邊三角形。在AB，AC的垂直平分線上也各有3個點，一共是3+3+3+1=10個點。選D。例2（2003年

3、全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）如圖，AA，BB分別是EAB，DBC的平分線，若AABBAB，則BAC的度數(shù)為_。解 設(shè)BAC的度數(shù)為x。因ABBB，所以BBD2x，CBD4x。又ABAA，故AABABACBD4x。因AAB（180°x），所以（180°x）4x4x180°。解之得 x12°。評注 本題的結(jié)果告訴我們：兩條外角平分線相等的三角形不一定是等腰三角形。例3（2002年河南省初中數(shù)學(xué)競賽試題）如圖，D為等邊三角形ABC內(nèi)一點，BF=AB，DBF=DBC，求BFD的度數(shù)。解 因ABC是等邊三角形，故AC=BC=AB，ACB=60º。連結(jié)CD。在A

4、CD和BCD中，AC=BC，DA=DB，CD=CD，于是ACDBCD，ACD=BCD=ACB=30º，BF=BC。所以BF=BC。 在BFD和BCD中，BF=BC，DBF=DBC，BD=BD，于是BFDBCD，故BFD=BCD=30º。例4（1999年重慶市初中數(shù)學(xué)競賽試題）如圖，等腰直角ABC中，BAC=90°, AD=AE，AFBE交BC于F，過F作FGCD交BE延長線于點G，求證：BG=AF+FG證明 過C作AB的平行線交AF的延長線于P.在ABE和APC中，因AFBE，故ABE=CAP。又因CPAC,AB=AC，故ABEAPC. 則有BE=AP. 在ABE

5、和ACD中，因AB=AC，AE=AD，BAC=CAB，所以，ABEACD，有ABE =ACD因AEB和CMF分別是ABE和ACD的余角，所以AEB=CMF，則CMF=P。因ACB=45º，故FCP=90º-45º=45º，有MCF=FCP。又FC=FC，所以MCFPCF，則MF=PF。 又因AEB=CMF，知MGE為等腰三角形，所以EG=MG。 由知 BE+EG=AP+MG=AF+FP+MG=AF+FM+MG即 BG=AF+FG。例5（1997年荊州市初中數(shù)學(xué)競賽試題）如圖所示，ABC是邊長為1的等邊三角形，BDC為等腰三角形，頂角BDC=120

6、6;，M,N分別是線段AB,AC上的點，且MDN=60º，延長AC到T，使CT=BM. （1）求證：CTD=BMD;（2）求AMN的周長。解 (1)BDC是頂角BDC=120º的等腰三角形。DBC=DCB=30º.又ABC是等邊三角形，ABC=ACB=60º.MBD=NCD=TCD=90º.又DB=DC,MB=TC,MBDTCD.故CTD=BMD.(2) 由上 MBDTCD得 CDT=BDM,且DT=DM.而 BDC=BDM+MDN+NDC=120º,MDN=60º,BDM+NDC=60º,NDT=CDT+NDC=

7、60º=NDM.NDTNDM. MN=NT=NC+CT=NC+MB.故 AMN的周長=AM+MN+AN =AM+NC+MB+AN =AB+AC=1+1=2.例6（第5屆希望杯數(shù)學(xué)邀請賽試題）如圖，五邊形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，BAE=BCD=120°，ABC+AED=180°，連接AD求證：AD平分CDE證明 延長DE到F， 使得EF=BC，連結(jié)AF，AC。因ABC+AED=180°，而AEF+AED=180°，所以ABC=AEF。在ABC與AEF中，AB=AE，ABC=AEF， BC = EF，所以ABCAEF，于是AC=

8、AF。又CD=BC+DE=EF+DE=DF。在ACD與AFD中，AC=AF，CD= DF，AD=AD，所以ACDAFD，于是ADC=ADF，即AD平分CDE評注 由上面的證法可以看出：題目中的條件BAE=BCD=120°是多余的。 例7（第6屆“祖沖之杯”初中數(shù)學(xué)邀請賽試題）在等腰ABC中，AB=AC，A20°，頂角在AB上取一點D，使AD=BC，求BDC的度數(shù)解 因AD=BC，A20°，故ABC=ACB=80º。如圖作EADABC，連結(jié)EC。則EAD=EDA=80º，AED20° AE=DE=AB=AC。因EAC=EAD-CAB=6

9、0º， 故AEC是等邊三角形。AECACE60º。DEC=CEA-AED=40º，而ED=EA=EC，故EDC=ECD=70º。 于是BDC=180 º-EDC-ADE=180 º-70º-80º=30°。評注 構(gòu)造等邊三角形來解題，是一種重要的解題方法。例8等腰三角形ABC中，AB= AC,A=100，BE是ABC的平分線，求證：AE+ BE=BC證法1 由已知條件不難算出：1=2=20º，5=60º，7=40º 延長BE到G，使BG=BC，連結(jié)CG，不難得到G=80

10、86;，8=40º,6=60º。 在BC上截取BF=BA，連結(jié)EF，易證ABEFBE,從而3=5=60º，EF=AE在EFC與EGC中，4=180º-（5+3）=60º=6，CE=CE，7=8，故EFCEGC，EF=EG，從而EG=AEAE+BE=EG+BE=BG=BC. AE+BE=EG+BE=BG=BC.證法2 由已知條件可以算出：1=2=20º，5=60º,C=40º，在BC上截取BG=BE，連結(jié)EG，計算后可知7 =BEG=80º，4=7-C=40º，于是4=C，EG=GC 又在BC上截

11、取BF=BA，連結(jié)EF.顯然ABEFBE，從而5=3，于是3=60º，又AE=EF. 因6=3+1=60º +20º= 80º =7，故EF=EG，從而AE= GC AE+BE=GC+BG=BC.證法3 在BC上截取BG=BE，連結(jié)EG易求得4=40º，7=80º，從而5=100º=A 過E作EFBC交AB干F，顯然AEF也是等腰三角形，從而AF=AE，于是有FB=EC.又3=1=2，故有 EF=FB.又6=ABC= 40º=4，所以AEFGEC，故有AE=GC AE+BE=GC+BG= BC.證法4 延長BE到G

12、，使EG=EA.不難算出1=2=20º，4=60º。，從而G=5=300º， 再過A作AMBC，M為垂足，由等腰三角形性質(zhì)知M是BC的中點 連結(jié)GA，過B作BNGA，垂足為N，GBN=90º-G=60º，3= GBN-2=60º-20º=40º =ABC.又AB是公共邊，故有RtABNRtABM，從而BN=BM.但BN=BG, BM=BC，BG=BC,即BE+EG=BC，也就是BE+AE=BC.同步訓(xùn)練一 選擇題1（2002年河南省初二數(shù)學(xué)競賽試題）如圖，在RtABC中，ACB=900，D、E點在AB上，AC=AD

13、，BE=BC，則DCE的大小是 ( )(A) 600 (B)450 (C) 300 (D) 隨A的大小而變化2（1997年安徽省初中數(shù)學(xué)競賽試題）如圖，在ABC中，ABC= 60º，ACB= 45º，AD， CF都是高，相交于P，角平分線BE分別交AD，CF于Q，S，則圖中的等腰三角形的個數(shù)是（ ）(A)2 (B) 3 (C)4 (D)53（2000年北京市初二數(shù)學(xué)競賽試題）已知是等邊三角形的一個底角，是頂角為30°的等腰三角形的一個底角，是等腰直角三角形的一個底角，則（A）<<（B）<<（C）<<（D）<<4(19

14、98年“希望杯”數(shù)學(xué)邀請賽試題)等腰三角形的一條腰上的高等于該三角形的某一邊的長度的一半，則其頂角等于（A）30° （B）30°或150° （C）120°或150° （D）30°或120°或150°5(2001年“希望杯”數(shù)學(xué)邀請賽試題)如果一個三角形的外角平分線平行于三角形的一條邊，那么這個三角形一定是（ ）（A）直角三角形（B）等邊三角形（C）等腰三角形（D）等腰直角三角形二 填空題6（1995年昆明市初中數(shù)學(xué)競賽題）如圖，ABC=BCD=60°，AD+BC=30. BD平分ABC，ADBC，則四邊形

15、ABCD的周長為 7（2000年河北省初中數(shù)學(xué)競賽試題）在ABC中，若AB=AC，AD為BC邊上的高，E為AC邊上的一點， 且有AE=AD，已知EDC=12º，則B= 8（2003年重慶市初中數(shù)學(xué)競賽決賽試題）如圖，已知六邊形ABCDEF的各個內(nèi)角等于120度，AB+AF=5,AF+FE=6,AB=CD.則六邊形ABCDEF的周長為 。9(杭州市第三屆“求是杯”初二學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題)已知等腰三角形ABC中,一腰上的高等于1,這條高與底邊的夾角等于45°, ABC的面積等于 .10(1998年“希望杯”數(shù)學(xué)邀請賽試題)如圖, ABC中,AC=BA=5，ACB=80°,O為ABC中一點，OAB=10°，OBA=30°，則線段AO的長是 .三 解答題11（1998年天津市初二數(shù)學(xué)競賽題）如圖，四邊形ABCD中，BC> CD>AD，O為AB中點，AOD=COB=60°求證：CD+AD>BC. 12（1992年“漢江杯”初中數(shù)學(xué)競賽試題）如圖，ABD=ACD=60º ADB=90º-BDC，求證：AB=AC.13(1986年武漢市初中數(shù)學(xué)競賽試題)P是等邊三角形ABC的