1、 位移變分法是取位移為基本未知函數，位移變分法是取位移為基本未知函數，假設位移函數形式，使之滿足位移邊界條假設位移函數形式，使之滿足位移邊界條件，利用位移變分方程確定待定系數，從件，利用位移變分方程確定待定系數，從而求得位移，進而求出形變分量及應力分而求得位移，進而求出形變分量及應力分量的方法。量的方法。5-6 位移變分法mmmmmmyxvByxvvyxuAyxuu).,(),(),(),(00(a)瑞利-里茨法 （1）因位移函數是未知的，在變分法中采用設定位移試設定位移試函數的方法函數的方法，令 1. 1.瑞利瑞利- -里茨法里茨法 其中 為已知的邊界條件， 為在邊界上等于零的設定的x，y的

2、函數， 為互不依賴的2m個系數。 00, u v. 0)( , 0)(,)( ,)(00smsmssvuvvuu（在 上）（在 上）(c)(b)瑞利-里茨法ususmAmB ,mmuvmmmmmmyxvByxvvyxuAyxuu).,(),(),(),(00顯然 u，v已滿足位移邊界條件。而 ， 用來反映位移狀態的變化，故位移的變分為位移的變分為mAmB.,mmmmmmBvvAuu(d)(a)( . d)(dd)(esvfufyxvfufUyxsAyx)( . )(fBBUAAUUmmmmm瑞利-里茨法mAmB 位移的變分通過 ， 的變分來反映，故形變勢能的變分為（2）位移(a)還必須滿足位移

3、變分方程.,mmmmmmBvvAuu(d)將式(d)，( f )代入(e)得.0ddddddAsmmmAsmmmBsvfyxvfBUAsufyxufAUmymymxmx因虛位移（位移變分）中的 ， 是完全任意的、獨立的，為了滿足上式，必須:mAmB)( )2 , 1(.ddd,dddgmsvfyxvfBUsufyxufAUAsymymAsxxmmmm瑞利-里茨法mAmBmAmB式(g)是瑞利瑞利- -里茨變分方程里茨變分方程。它是關于 ，的線性代數方程組，由上式可解出 ， ,從而得到位移的解答。（1）位移試函數設定與前節一致，且u,v 不僅滿足位移不僅滿足位移邊界條件，而且也滿足應力邊界條件邊

4、界條件，而且也滿足應力邊界條件。伽遼金法2.2.伽遼金法伽遼金法（2）待定系數方程由虛功方程可知，()() d dyxyxyxxyAfufvxyxyyx()() d0.xyxxyxyyslmfumlfvs滿足應力邊界條件，則：()() d d =0hyxyxyxxyAfufvxyxyyx（ ）將位移的變分 ， （式(d )）代入，同樣由于 ， 為完全任意的和獨立的變分，得到umAmBv()() d d =0hyxyxyxxyAfufvxyxyyx（ ）)( )2 , 1(. 0dd)(, 0dd)(imyxvfxyyxufyxmyxyAymxyxAx將上式括號內的應力用位移來表示，得伽遼金變分

5、方程伽遼金變分方程: :)( . 0dd)2121(1, 0dd)2121(1222222222222jyxvfyxuxvyvEyxufyxvyuxuEmymxAA)2 , 1(m 式( j )也是關于 ， 的線性代數方程組，從上式解出 ， ，便得到位移的解答。伽遼金法mAmBmAmB)( . 0dd)2121(1, 0dd)2121(1222222222222jyxvfyxuxvyvEyxufyxvyuxuEmymxAA)2 , 1(m例例1 1 圖示矩形板ab，在上邊及右邊受有均布壓力 及 ，而左邊和下邊受有法向連桿的約束。1q2q5-7 位移變分法例題應用瑞利應用瑞利- -里茨法里茨法

6、，設定位移 滿足兩個約束邊界條件 .,111111yBvBvxAuAu. 0)( , 0)(00yxvu例題例題 (a)(b)其余的應力邊界條件及平衡微分方程由下列變分方程變分方程代替（其中 ）：0yxff1111d ,d .yxssUf usAUf vsB(c)對式(c)右邊的積分，應包含所有的應力邊界條件（當 或 處積分為0），0 yxff例題例題 且其中的 ， 應代入相應的邊界方程。將式(a)代入 U ，計算式(c)的左邊項。 共建立兩個方程，求出 和 ，得位位移解答：移解答：1v1u11 BA例題例題 .)(1,)(11221yqqEvxqqEu(d) 對于圖示的簡單問題，式(d)正好

7、是其精確解。).1()( ,0)(,0),( ,0),(2202/bxvuvuvubybyyx例題例題 (e)例例2 2本題全部為位移邊界條件：全部為位移邊界條件：本題以y軸為對稱軸，u應為x的奇函數,v應為x的偶函數。例題例題 (f)設定位移勢函數設定位移勢函數為)().1 ()1 ()1 (),1 ()1 (2222221110111gbybyaxBbyaxvBvvbyabxyaxAuAu 位移(g)已滿足對稱性條件已滿足對稱性條件(f)(f)和全部邊和全部邊界條件界條件(e)(e)。 因 全部為位移邊界條件且均已滿足，從55 式(u)可見，也可應用伽遼金變分法。, 0,usss例題例題

8、將位移(g)代入上式，求出 得出的位移解答與書中用瑞利-里茨法 給出的結果相同。 因 ，故伽遼金變分方程伽遼金變分方程為 . 0dd)2121(2, 0dd)2121(21122200222220022yxvyxuxvyvyxuyxvyuxuabab0yxff,11BA例題例題 (h)解：對a,b列出方程如下：. 02220304, 02235324abbaTTTT解出.(13.25 ,53.28度）baTT例題例題3 3 單位厚度 的深梁，兩側邊固定，上下邊受均布荷載q作用，如圖所示。試用位移變分法求解其位移。（取 ，并設 ）。) 1(2 . 0ba例題例題 qyxbuvbaaoq解：在圖示

9、荷載作用下，深梁的位移應對稱于x軸，而反對稱于y軸。 因此，位移分量u應為 、 的奇函數，而v為 x 、y 的偶函數，x y如圖所示?？梢栽O定位移勢函數如下：,)1 (2322122yAxAAabxyaxu.)1 (2322122yBxBBaxv上式已滿足兩端的約束邊界條件，以及對稱和反對稱性條件。以下按瑞利-里茨法進行計算。, ax, 0),(vu例題例題 假設只取u，v中一項，即將u和v代入形變勢能公式（平面應力問題），得：,)1 (22111abxyaxAuAu).1 (22111axBvBv)961 ()1 ( 24422222211axaxbayAEU)1 (442122311422

10、1axbaxBAaxB).21 (442222221axaxbaxA例題例題 在本題中體力 ，在 邊界上只有 的均布荷載， 。由此，瑞利-里茨方程成為 abdxdyUU001421212342115412BabAabEbaBA0yxffbyqfy0 xf, 01AU.11sydsvfBU例題例題 再積分求U， 應力邊界是 ，且 ，從 到 積分。再將U代入上式，得到兩個求 的方程：bydxds aa11,BA, 01581571621158121112BAbaAabE.38158382112112qaABabE當取 ，且 時，上兩式方程簡化為由此解出 ,位移分量的解答是

11、2 . 0ba , 0353911BA.565111EqaBAEqaA3125. 11.4625. 11EqaB,)1 (3125. 1222axyaxEqau).1 (4625. 122axEqav例題例題 例題例題4 4圖中所示的薄板，厚度 ，三邊固定，一邊受到均布壓力q的作用。試用瑞利-里茨的位移變分法求解，其中取 ， 。10ba 例題例題 aa b xyq解：在瑞利-里茨法中， 設定位移試函數應滿 足位移邊界條件，并 應反映圖示問題的對稱性。取,)(232122xAyAAxyaxu.)(232122xByBByaxv上式已反映了位移對稱于y軸的要求：v為x的偶函數，u為x的奇函數。 僅

12、取各一項進行運算，由于體力 ，面力只存在于AB邊（），因此求解 的位移變分方程為：,)(22111xyaxAuAu.)(22111yaxBvBv0yxffby 例題例題 11,BA當 ，且取泊松系數 時，形變勢能簡化為將u、v 代入,01AU .11ABbyydxvfBU.)(21)()(22221xvyuyvxuEU例題例題 （a）（b）0ba . 221692224422122442211xaaxxAxaaxyAEU.222211yaxxBA222122442122yxBxaaxB aadxdyUU00121533415732212216BaAEa.15211aBA形變勢能U為將U及 代入

13、式(a)，(b)，得)(byqfy, 073211BaA.10334211EaqBaA(c)(d)從式(c)、 (d)解出,106721031EaqA .106796021EaqB ),1 (106721022axEaqxyu).1 (106796022axEqyv例題例題 于是得到位移分量，再求應力分量，取 ，得：0).1 (106710522axaxqyxayqx1067210.0 xy),1 (106796022axqy0y例題例題 在對稱軸上，x=0， ,在 邊界， ,),31 (106721022axayqxuEx),1 (106796022axqyvEy.960)1 (105106

14、71)(222ayaxaxqxvyuExy 本題中，由于u，v中各只取一項，且取 ，因此，求出的位移解的精度較低；而由近似解的位移求應力時，其應力精度要降低一階，其精度更差些。對于實際問題，應取更多的項數進行計算。0總結 1.變分法變分法是彈性力學中另一獨立的求解方法。 在變分法中根據平衡狀態時的能量處于極小值在變分法中根據平衡狀態時的能量處于極小值的條件，建立變分方程的條件，建立變分方程，并進行求解。彈性力學中的變分方程和微分方程是溝通的，可以互相導出。由于變分法得出的常常是近似的解答，所以也將變分法歸入彈性力學的近似解法。教學參考資料教學參考資料 2.有限單元法有限單元法是20世紀中期發展

15、起來的彈性力學近似解法。在有限單元法中在有限單元法中, ,首先將區域離散化，把連續體變換為離散首先將區域離散化，把連續體變換為離散化結構；然后將連續體的能量極小值條件化結構；然后將連續體的能量極小值條件應用到離散化結構，從而建立求解的方法。應用到離散化結構，從而建立求解的方法。 有限單元法應用計算機進行計算，可以有效地解決各種復雜的工程問題。教學參考資料教學參考資料3.3.對于工程技術人員來講，這些彈性對于工程技術人員來講，這些彈性 力學的近似解法，是用來解決實際問題力學的近似解法，是用來解決實際問題的有效手段。因此，讀者不僅要理解，的有效手段。因此，讀者不僅要理解，而且要能應用這些近似解法。

16、而且要能應用這些近似解法。教學參考資料教學參考資料 1.1.變分法是研究泛函及其極值的求解方變分法是研究泛函及其極值的求解方法。法。彈性力學中的位移變分法彈性力學中的位移變分法，是取位 移函數為宗量，由總勢能處于極小值的 條件來導出變分方程，然后進行求解的。 以下列出平面應力問題的有關變分公式 及方程。教學參考資料教學參考資料 （二）本章內容提要（二）本章內容提要2.2.彈性體的功和能彈性體的功和能總勢能外力功外力勢能形變(內力)勢能,pVUE,d)(dd)(syxAyxsvfufyxvfufW.WVAxyxyyyxxyxUd)d(21教學參考資料教學參考資料.dd21212dd2121222

17、222222yxyuxvyvxuyvxuEyxEAAxyyxyx3.3.在虛位移上彈性體的功和能在虛位移上彈性體的功和能 虛位移虛位移( (位移變分位移變分) ) ,是在約束條件允許下，在平衡狀態附近的微小位移增量。虛位移狀態 其中u，v為實際平衡狀態下的位移。vu, ,vvvuuu教學參考資料教學參考資料當虛位移發生時，當虛位移發生時，外力的虛功外力勢能的變分形變勢能的變分.d)(dd)(svfufyxvfufWyxsAyx.dd)(AxyxyyyxxyxU.WV教學參考資料教學參考資料 4.4.變分方程變分方程在封閉系統中，假定沒有非機械能的改變，也沒有動能的改變，則按照能量守恒定律，在虛

18、位移過程中，形變勢能的增加應等于外力勢能的減少，即上式也可以改用下列各形式表示和解釋。位移變分方程位移變分方程.WU.d)(dd)(svfufyxvfufUyxsAyx教學參考資料教學參考資料虛功方程虛功方程最小勢能原理最小勢能原理 其中 ?；蛘弑硎緸椋?d)(dd)(dd)(svfufyxvfufyxyxsAyxAxyxyyyxx0pE, 0p2E.pminEVUEp教學參考資料教學參考資料Ayxyyxyxxyxvfxyufyxdd )()(. 0d)()(svflmufmlsyxyyxyxx位移變分方程的又一形式位移變分方程的又一形式教學參考資料教學參考資料7.7.位移變分法位移變分法 瑞利里茨法瑞利里茨法：設定位移試函數， 預先滿足 上的約束邊界條件，再滿足瑞利里茨變分方程，, ),(),(, ),(),(00mmyxvByxvvyxuAyxuummmmusAsAsxmmymymmxmsvfyxvfBUsufyxufAU.ddd,ddd)2 , 1(m教學參考資料教學參考資料 伽遼金法伽遼金法：設定位移勢函數預先滿足 上的約束邊界條件和 上的應力邊界條 件，再滿足伽遼金變分方程，s. 0dd)2121(1, 0dd)2121(1222222222222yxvfyxuxvyvEyxufyxvyuxuEmymxAA教學參考資料教學參考資料)2